Конспекты курса по функциональному анализу 2009, страница 2

Для указанногопокрытия E любой элемент из покрытия E1 не попадает на E2 . Тогда s(E1 ∪ E2 ) распадается на S(E1 ) и∞∞∞PPPs(E2 ), следовательно|∆n | =|∆nk |+|∆ni | = |E1∗ +|E2 |∗ < |E|∗ +ε, c учетом свойства (2) получаемn=1k=1i=1равенство. 4. ∀ E ∃ G − открытое множество, G ⊃ E :|G|∗ < |E|∗ + ε,∀ ε > 0. В качестве G можно рассмотреть покрытие s(E), покрытие, обладающее требуемым свойством, существует в силу определения |E|∗ . Определение. Множество E ⊆ R1 назовем измеримым, если vneshmera∀ ε > 0 ∃ открытое множество G, G ⊃ E : |G \ E|∗ < εи(2)положимmes(E) = |E|∗ .Замечание.

Для того чтобы mes E = 0 необходимо и достаточно чтобы |E|∗ = 0. Необходимость: очевидно. Достаточность: E ⊂ G, G \ E ⊂ G ⇒ |G \ E|∗ 6 |G|∗ < |E|∗ + ε = ε Лекция 2.Теорема 2.1. Всякое открытое множество на прямой измеримо по Лебегу и его мера есть сумма длин(мер) попарно непересекающихся интервалов образующих его (см. Теорема 1.1 §1).∞F G – открытое, G =∆n . Для доказательства измеримости в качестве открытого множества из опреn=1деления измеримости возьмем само G. (??? а дальше) 4Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)Теорема 2.2.

Объединение конечного или счетного числа измеримых множеств есть измеримое множество.∞∞SSGn , тогда E =En , {En измеримы } → ∀ ε > 0 ∃ Gn (открытое) ⊃ En : |Gn \ En |∗ < 2εn и G =n=1E ⊂ G, G – открытое. G\E ⊂∞S∗(Gn \En ) и по свойству 2 внешней меры |G\E| 6n=1∞Pn=1∗|Gn \En | < ε+n=1∞Pn=112n=εТеорема 2.3. Всякое замкнутое множество на прямой измеримо по Лебегу.(a) Пусть F – замкнутое ограниченное множество. По свойству 4 внешней меры ∃ G– открытое : |G|∗ <∞F|F |∗ + ε, G \ F – открытое множество и по Теореме 1.1 §1 G \ F =∆n .n=1((a + α, b − α), 0 < α <α∆ =∅,α > b−a2b−a2 ,.(nF[a + α, b − α], 0 < α < b−a2 , . Eα =∆αnk – расстояние между любыми∅,α > b−ak=1k=1k=12∗αααдвумя множествами ∆αi и ∆j строго больше нуля.

En ∪ F ⊂ G и по свойству 3 внешней меры |En ∪ F | =|Enα |∗ + |F |∗ 6 |G|∗ < |F |∗ + ε Итак |Enα |∗ < ε перейдем к пределу при α → 0, получаем |En |∗ 6 ε, гдеn∞SP|∆n | = |G \ F |∗ 6 ε.En =∆k перейдем к пределу при n → ∞, получаем, что |E|∗ 6 ε ⇒ |E|∗ =En =nF∆k , Enα =nFα∆αk, ∆ =n=1k=1(b) Пусть F – произвольное замкнутое множество. Fn = F ∪ [−n, n], тогда F =∞SFn , Fn – замкнутое огра-n=1ниченное множество, применим пункт (a) и Теорему 2.2, получим, что F измеримо.Теорема 2.4.

Дополнение измеримого множества измеримо. ∀ n ∈ N ∃ Gn – открытое : E ⊂ Gn и |Gn \E|∗ < n1 , тогда Fn = C{Gn } – замкнутое множество , CE \Fn =∞SC{Fn } \ E = Gn \ E ⇒ |CE \ Fn |∗ < n1 . Введем F =Fn CE \ F ⊂ CE \ Fn ∀ n ∈ N|CE \ F | 6 |CE \ Fn |∗ <n=1⇒ |CE \ F |∗ = 0 CE = (CE \ F ) ∪ F , первое множество измеримо так как его внешняя мера 0, следовательноCE измеримо как конечное объединение измеримых множеств. 1nСледствие 2.1.

Для того чтобы множество E было измеримо необходимо и достаточно чтобы∀ ε > 0 ∃ замкнутое множество G : G ⊂ E и |E \ G|∗ < ε. G ⊂ E, |E \ G|∗ < ε, |E \ G|∗ = |CG \ CE|∗ , где G – открытое множество, следовательно CE измеримо ипо Теореме 2.4 E также измеримо. Теорема 2.5. Пересечение конечного или счетного числа измеримых множеств измеримо.∞∞TS E=En , тогда CE =CEn ,так как En измеримы, то измеримы и CEn , следовательно по Теоремеn=1n=12.2 CE измеримо и по Теореме 2.4 измеримо и E. Теорема 2.6. Разность двух измеримых множеств измерима.

Воспользуемся представлением A \ B = A ∩ CB и Теоремами 2.4 и 2.5. Теорема 2.7. Мера Лебега σ-аддитивна.∞∞FP E=En , покажем, что |E| =|En |.n=1n=1(a) En ограничены: ∀ ε > 0 ∃ Fn замкнутое : Fn ⊂ En , |En \ Fn | < 2εn . En = (En \ Fn ) ∪ Fn ⇒ |En | 6nnnnnPPSSP|En \ Fn | + |Fn | = |Fn | + 2εn ⇒|Ek | <|Fk | + ε = |Fk | + ε,Fk ⊂ E ⇒|Ek | < |E| + ε перейдемk=1∞Pк пределам ε → 0, n → ∞ ⇒k=1k=1k=1k=1|Ek | 6 |E|, а обратное неравенство следует из свойств меры (внешнейk=1меры), следовательно верно равенство.5Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)(b) En – произвольные измеримые непересекающиеся множества. Enk = En ∪ [n, n + 1), тогда E =∞ S∞Sn=1 k=1Enk ,дважды применим пункт (a) и получим необходимое равенство.Определение.(a) Множество G есть множество типа Gδ , если оно представимо в виде счетного пересечения открытыхмножеств.(b) Множество F есть множество типа Fσ , если оно представимо в виде счетного объединения замкнутыхмножеств.Теорема 2.8.

Пусть E – измеримое множество, тогда найдутся содержащееся в нем множество типаFσ и содержащее его множество типа Gδ такие, что их меры равны. ∀ n ∈ N ∃ Gn открытое и Fn замкнутое : Gn ⊃ E ⊃ Fn и |Gn \ E| < n1 , |E \ Fn | < n1 . Тогда положим∞∞TSG=Gn и F =Fn . G\E ⊂ Gn \E ⇒ |G\E| < n1 ⇒ |G\E| = 0 и E \F ⊂ E \Fn ⇒ |E \F | < n1 ⇒ |E \F | = 0.n=1n=1G = (G \ E) ∪ E ⇒ |G| = |E| и E = (E \ F ) ∪ F ⇒ |F | = |E| Теорема 2.9.

Мера Лебега непрерывна(a) Сверху: A1 ⊂ A2 ⊂ . . . , A =∞SAn . Тогда |An | → |A|n=1(b) Снизу: B1 ⊃ B2 ⊃ . . . , B =∞TBn . Тогда |Bn | → |B|, ∃ j : |Bj | < ∞n=1(c) В нуле: C1 ⊂ C2 ⊂ . . . , C =∞SCn = ∅. Тогда |Cn | → 0n=1(a)∞SAn = A1 ∪ A2 \ A1 ∪ A3 \ A2 ∪ . . . ⇒ |A| = |A1 | + (|A2 | − |A1 |) + (|A3 | − |A2 |) + · · · = lim |An |.n=1(b) Di = Bi \ Bi+1 , тогда Br =Fi>rDi∞FTBi ⇒ |Br | = |i=1F∞TDi | + |i>ri=1Bi | → |∞TBi |, так как первое слагаемоеi=1при r > j есть "хвост" сходящегося ряда и следовательно → 0.(c) Следует из (b).Лекция 3.Определение.

Прямоугольником P в n-мерном пространстве Rn назовем множество точки которого удовлетворяют неравенствам ai < xi < bi , или ai 6 xi < bi , или ai < xi 6 bi , или ai 6 xi 6 bi , где i = 1..n.nQОпределим меру прямоугольника P как |P | =(bi − ai )i=1Определение.Элементарное множество – множество, представимое в виде E =mFPi .i=1Класс элементарных множеств замкнут относительно взятия конечного объединения и пересечения.mP|Pi |. Чтобы обосновать корректность такого определения, надо проверить, что |E| неПоложим |E| =i=1зависит от способа представления E в виде конкретного разбиения.(a) |E| не зависит от выбора конкретного разбиения E.(b) Аддитивность на классе элементарных множеств.6Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)(!) Здесь мне не удалось восстановить логическую связь происходящего.Лемма 2.10 (Гейне-Бореля).

Из любого покрытия замкнутого ограниченного множества можно выделить его конечное подпокрытие.Определение. Система множеств R — кольцо , если1) ∀A, B ∈ R A ∩ B ∈ R2) ∀A, B ∈ R A4B ∈ RИз определения кольца легко получить,что ∀A, B ∈ R A \ B ∈ R и ∅ ∈ R.∞PКак и ранее определим внешнюю меру множества E как |E|∗ = inf|Pi |∞E⊂SPi n=1n=1Определение. A измеримо по Лебегу, если ∀ ε > 0 ∃ элементарное множество B : |A4B|∗ < εУтверждение 2.1. Совокупность всех измеримых множеств есть σ-кольцо.Произвольное множество на плоскости будем считать измеримым, если измеримы все его пересечения сединичными координатными квадратами, а его мерой будет сумма мер указанных пересечений.Определение.

Вещественнозначная функция F (x) называется обобщенной функцией распределения на прямой, если1) F (x) не убывает,2) F (x) непрерывна слева и имеет пределы справа в каждой точке x ∈ R|[a, b]| = F (b + 0) − F (a)|(a, b]| = F (b + 0) − F (a + 0)|[a, b)| = F (b) − F (a)|(a, b)| = F (b) − F (a + 0)Существует взаимно однозначное соответствие между мерами на R и функциями распределения на R. МераЛебега – мера, порожденная функцией распределения F (x) = x. Меры, получаемые с помощью той или инойфункции распределения F , называются мерами Лебега-Стилтьеса.Определение.

Система множеств K называется полукольцом, если1) ∅ ∈ K,2) ∀A, B ∈ K A ∩ B ∈ K3) ∀A, B ∈ K таких что A ⊃ B : A \ B =nFAi , Ai ∈ K.i=1Определение. Мера – неотрицательная аддитивная функция множеств, заданная на кольце.Известный пример аддитивной, но не счетно-аддитивной меры можно получить, рассмотрев пересечение системы рациональных точек Q с элементарными множествами отрезка [0, 1], то есть множествами, являющимисяконечными суммами непересекающихся прямоугольников.

P (Q ∩ [a, b]) = b − a, следовательно мера множестваQ ∩ [0, 1] равна 1, причем это множество получается из счетного объединения множеств нулевой меры, чтопротиворечит сигма-аддитивности.§3. Измеримые функцииОбозначение. E[f > a] = {x ∈ E : f (x) > a}.Определение. Функция f (x) называется измеримой на измеримом множестве E, если ∀ a множествоE[f > a] или любое из следующих множеств (E[f 6 a], E[f > a], E[f < a]) измеримо. (Докажите эквивалентностьуказанных определений).Утверждение 3.1.

Если f измеримо на измеримом множестве E, то f измеримо и на любом его измеримом подмножестве, E1 ⊂ E, E1 [f > a] = E1 ∩ E[f > a].nSУтверждение 3.2. Если f измерима на E1 , . . . , En , то она измерима и на их объединении E =Ei , E[f >a] =nSi=1Ei [f > a].i=17Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)Утверждение 3.3. Любая функция измерима на множестве меры нуль.Определение.

Две функции f и g, определенные на множестве E называются эквивалентными на E, если|E[f 6= g]| = 0.Эквивалентные на E функции либо обе измеримы, либо обе неизмеримы .Определение. Говорят, что некоторое свойство выполнено на измеримом множестве E почти всюду (почтинаверное), если |E[свойство не выполнено]| = 0.Утверждение 3.4. Если F непрерывна почти всюду, то она измерима.

По Теореме (2.8) существует замкнутое множество F : F ⊂ E и |E| = |F |. Рассмотрим любую предельнуюточку множества F [f > a], существует последовательность аргументов, к ней сходящаяся, и соответствующаяпоследовательность значений функции f , сходящаяся к значению f в выбранной предельной точке, так как всеуказанные точки принадлежат множеству F [f > a], то и значение в выбранной предельной точке удовлетворяетнеравенству f > a, следовательно F [f > a] замкнуто, а следовательно измеримо. Таким образом f измерима наF , следовательно и на E. Утверждение 3.5. Измеримая функция от измеримой функции есть измеримая функция.Теорема 3.1. Пусть f (x) и g(x) измеримы на измеримом множестве E, тогда |f (x)|, f (x) + k, k · f (x)также измеримы и множество E[f > g] измеримо.1) E[|f > a|] = E[f > a] ∪ E[f 6 −a], если a > 0 и равно E, если a 6 0.2) E[f + c > a] = E[f > a − c]aE[f 6 c ], c < 0,3) E[cf > a] = E[f > ac ], c > 0,E[0 6 ac ], c = 0.4) E[f > g] =∞SE[f > rk ] ∩ E[g < rk ], rk ∈ Q.k=1Теорема 3.2.

Пусть f (x) и g(x) измеримы на измеримом множестве E, тогда f ± g, f · g и f /g, если g необращается в нуль, измеримы.1) E[f ± g > a] = E[f > a ∓ g]2) f g = 14 (f + g)2 − (f − g)2 , следовательно в силу предыдущего пункта и утверждения (3.5) f g измерима.1E[g > 0] ∩ E[g < a ], a > 0,13) E[ g > a] = E[g > 0],a = 0,E[g < a1 ] ∪ E[g > 0], a < 0.Теорема 3.3.