Конспекты курса по функциональному анализу 2009, страница 8

Докажем неравенство треугольникаf (x + y) =p(x + y, x + y) 6 f (x) + f (y)для этого достаточно доказать неравенство Коши-Буняковского:(x, x)(y, y) > |(x, y)|2 .(x − λy, x − λy) = (x, x) − λ(y, x) − λ(x, y) + |λ|2 (y, y) > 0∀λ ⇒ (x, x) −|(x,y)|2(y,y)> 0.Для указанной нормы также выполняется и тождество параллелограмма:||x − y||2 + ||x + y||2 = 2||x||2 + 2||y||2(x − y, x − y) = ||x||2 + ||y||2 − 2Re(x, y), (x + y, x + y) = ||x||2 + ||y||2 + 2Re(x, y)Пространство непрерывных функций не является гильбертовым.

X = C[0, π2 ] : x(t) = sin t, y(t) = cos t и√||x|| = sup x(t) = 1, ||y|| = 1, ||x − y|| = 1, ||x + y|| = 2 и тождество параллелограмма не выполняется. Изt∈[0, π2]пространств Lp только пространство L2 является гильбертовым.30Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)10.1. Свойства Гильбертова пространстваЛемма 10.1. Пусть W ⊂ H, W — выпуклое и замкнутое множество, тогда∃ !w ∈ W : ||w|| = inf ||w||.ew∈Wexn + xm||xn + xm ||∈W ⇒>d⇒22⇒ ||xn + xm ||2 > 4d2 и ||xn − xm ||2 = 2||xn ||2 + 2||xm ||2 − ||xn + xm ||2 → 0,{z} |{z}|inf ||x|| = d, ||xn || → d,x∈W→4d2m, n → ∞>4d2⇒ последовательность {xn } является фундаментальной ⇒ xn → x0 ∈ W, ||x0 || = d так как ||xn − x0 || →x0 ||0.

Покажем единственность: пусть ||x0 || = ||ex0 || = d, тогда ||x0 +e> d ⇒ ||x0 + xe0 ||2 > 4d2 по тождеству2параллелограмма||x0 − xe0 ||2 = 2||x0 ||2 + 2||ex0 ||2 − ||x0 + xe0 ||2 6 0 ⇒ ||x0 − xe0 || = 0.Теорема 10.2 (Леви). Пусть L — замкнутое линейное многообразие, L ⊂ H, тогда любой элемент x ∈ Hможно представить в видеx = y + z, y ∈ L, z⊥L.||x − y|| = inf ||x − u||, W = {x − u, u ∈ L} Возьмемu∈Lz = x − y,∀v ∈ L, v 6= 0, z − αv ∈ W и2222||z|| 6 ||z − αv|| = ||z|| − α(v, z) − α(z, v) + |α| (v, v) =(z, v)α=(v, v)== ||z||2 −|(z, v)|2|(z, v)|2⇒06−⇒ (z, v) = 0.(v, v)(v, v)Теперь покажем единственность разложения.y1 + z1 = y2 + z2 ⇒ y1 − y2 = z2 − z1 ⇒ y1 − y2 = z2 − z1 = 0| {z } | {z }∈⊥L∈L{z}— ортогональное дополнение.H=LML⊥ .Определение.

Ядром оператора f (x) называется множествоKer f (x) = {x : f (x) = 0}.Лемма 10.3.dim(Ker f (x))⊥ ) = 1Рассмотрим x1 , x2 ∈ (Ker f (x))⊥ и положимx = x1 f (x2 ) − x2 f (x1 ) ∈ (Ker f )⊥ ,тогдаf (x) = 0 ⇒ x ∈ Ker f ⇒ x = 0 ⇒ любые два элемента линейно зависимы.Теорема 10.4 (Рисса-Фреше). Пусть x ∈ H, f : H → R. Тогда∃ !y ∈ H : f (x) = (x, y), ||f || = ||y||31Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)Разложим x :x = y + z, z = Px ∈ Ker f,x = Px + (x, e)e, H = (Ker f )L⊥(Ker f )и f (x) = f (Px ) + (x, e)f (e) = (x, f (e)e), в качестве y возьмемy = f (e)e.Покажем равенство ||f || = ||y|| . По неравенству Коши-Буняковского(x, y) 6pp|f (x)|(x, x) (y, y) ⇒ |f (x)| 6 ||x|| · ||y|| ⇒6 ||y|| ⇒ ||f || 6 ||y||||x||и по определению||f || >||f (y)||= ||y||||y||откуда сразу же следует требуемое равенство. Лемма 10.5.

Пусть линейное многообразие M ⊂ H, тогда[M ] = H ⇔ @ отличного от нуля элемента ортогонального M [M ] = H : x⊥ML ⇒ x⊥[M ] ⇒ x⊥x ⇒ x = 0.[M ] 6= H : H = [M ] [M ]⊥ , x ∈ H \ [M ], x = y + z, z⊥[M ], z 6= 0. Процесс ортогонализации по Шмидту.Пусть дана система элементовh1 , h2 , . . . ∈ HДалее описывается способ построения по ней системы {ei } :(ei , ej ) = δij1.

e1 =h1||h||2. g2 = h2 − c21 e1 , c21 = (h2 , e1 ), e2 =3. gk = hk −k−1Pg2||g2 ||ckn en , ckn = (hk , en )n=1Примеры ортогональных систем в пространствеZbL2ρ : (x(t), y(t)) =ρ(t)x(t)y(t)dta1, t, t2 , . . .1. Полиномы Лежандра: a = −1, b = 1, ρ(t) = 1.22. Полиномы Чебышева-Эрмита: a = −∞, b = ∞, ρ(t) = e−t .3. Полиномы Чебышева-Лакерта: a = 0, b = ∞, ρ(t) = e−t .Определение.

В нормированном пространстве система {ψn } называется замкнутой, если∀ε > 0∀x ∈ X ∃ {ck }16k6n , {ψk }16k6n : ||x −nXci ψi || 6 ε.i=1Определение.В нормированном пространстве система {ψn } называется полной, если не существует элемента ей ортогонального кроме нулевого.В Гильбертовом пространстве полнота и замкнутость совпадают.Лекция 10.32Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)Пусть L — пространство, порожденное ортонормированной системой (e1 , e2 , . . .). H — гильбертово пространство иnX∀x ∈ H, ∀ε > 0 ∃ α1 , . . . , αn : ||x −αi ei ||2H < ε,i=1тогда ||x||2 −nPnPαi (ei , x) +|αi |2 = ||x||2 −|ci |2 +|αi − ci |2 < ε Откуда, положив αi = ci , вαi (x, ei ) −| {z } i=1i=1i=1i=1i=1nPnPnPciсилу произвольности ε получим равенство Парсеваля:||x||2 =∞X|ci |2i=1x=∞Xci e i .i=1Числа ci называются коэффициентами Фурье разложения x по ортонормированной системе (e1 , e2 , .

. .).Пусть x ∈ H, L 6= H, x = y + |{z}z , (x, ei ) = (y, ei ) + 0,|{z}∈L⊥L∞P||x||2 = ||y||2 +||z||2 ⇒|ci |2 6 ||x||2 — неравенство Бесселя| {z }i=1∞P|ci |2i=1Определение. Ортонормированная система в гильбертовом пространстве называется базисом, если подпространство порожденное этой системой совпадает с HЛемма 10.6. В сепарабельном гильбертовом пространстве H полная система является замкнутой и наоборот.Пусть система полна, тогда для L — линейного многообразия, порожденного системой не существует элементаортогонального ему и отличного от нуля, откуда следует замкнутость системы.∞PПусть система замкнута, тогда любой элемент пространства раскладывается в ряд Фурьеx =ci ei , еслиi=1элемент ортогонален всем ei , то ci = 0 ⇒ ||x|| = 0 ⇒ x = 0. Теорема 10.7.

В любом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис. Произведем построение базиса, используя процесс ортогонализации Шмидта. Возьмем некоторое счетноевсюду плотное множество {gi } иg1e1 =.||g1 ||gn2 — элемент системы с наименьшим номером линейно независимый с g1 . gn2 = pn2 + hn2 →|{z}|{z}∈L(e1 )gn3 ∈/ L(e1 , e2 )gn3 =pn3|{z}∈L(e1 ,e2 )+e2 =hn2||hn2 ||e3 =hn3||hn3 ||⊥L(e1 )hn3|{z}⊥L(e1 ,e2 )L(e1 , e2 , . . .) = L(g1 , g2 , .

. .) = H. Теорема 10.8. Всякое сепарабельное гильбертово пространство над полем (комплексных) вещественныхчисел изометрично и изоморфно (комплексному) вещественному пространству l2 , следовательно все сепарабельные (комплексные) вещественные гильбертовы пространства изометричны и изоморфны между собой.

x ∈ H, в H существует ортонормированный базис{ei } иex = (c1 , . . . ), x ∈ l2 — коэффициенты Фурье.Каждому элементу x ∈ H поставим в соответствие набор его коэффициентов Фурье, который будет элементомпространства l2 .||ex||2 = ||x||2| {z }∞P|ci |2i=133Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)Построим изоморфизм αx + βy → αex + βey — изоморфность ||x − y||H = ||ex − ye||l2 — изометричность. Рассмотримтеперь элемент ξ = (ξ1 , . .

.) ∈ l2 иnXzn =ξi ei ∈ Hi=1для них ||zn − zm ||2H =nP|ξi |2 | → 0 n, m → ∞, следовательно в силу полноты пространства последователь-i=m+1ность сходится к некоторому его элементуzn → z ∈ Hи положивci = (zi , ei ) → (z, ei ) = ξi ,получим, что каждому элементу ξ поставлен в соответствие единственный элемент, для которого ξ — его наборкоэффициентов Фурье. Теорема 10.9 (Рисса-Фишера). Пространство L2 (E) и l2 изоморфны и изометричны между собой.

Теорема является следствием предыдущей. Zx(t)y(t)dt =(x(t), y(t))L2 (E) =∞Xci di ,i=1E{ei (t)} — ортонормированный базис вL2 (E) и ci = (x(t), ei (t))L2 (E) , di = (y(t), ei (t))L2 (E) .Теорема 10.10 (О слабой компактности последовательности ограниченной в гильбертовом пространстве). Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, из любой ограниченной последовательности элементов пространства можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.

xn ∈ H, ||xn || 6 C, H—сепарабельное ⇒ ∃ {ei } — ортонормированный базис. |(xn , e1 )| 6 ||xn ||·||ei || 6 C ⇒можно выделить сходящуюся подпоследовательность:x1k : (x1k , ei ) сходится .Перейдем к элементу e2 , повторяя приведенные выше рассуждения получим подпоследовательность{x2k } : (x2k , e2 ), (x2k , e1 ) сходятся .Повторяя процесс получим семейство подпоследовательностей{xnk }.Из них построим последовательностьxn = xnn : (xn , ei ) сходится ∀i.∀ε > o∀z ∈ H ∃nPi=1αi ei = ψ : ||ψ − z|| 6ε3C ,(xm − xn , z) = (xm − xn , psi) + (xm − xn , z − ψ) и|(xm − xn , z)| 6 |(xm − xn , ψ)| + (||xm || + ||xn ||) ||z − ψ|| < ε{z} |{z} | {z }|6 3ε62Cε6 3C(xn , z) сходится ∀z ∈ H. И по Теореме Рисса-Фреше любой линейный функционал f (x) можно представить как(x, z), что вместе со сходимостью скалярных произведений дает слабую сходимость:f (xn ) = (xn , z) → (x, z) = f (x, z).§11. Сопряженный операторПусть A : X → Y — линейный ограниченный оператор.

Пусть ϕ(y) ∈ Y ∗ :ϕ(y) = ϕ(Ax) = f (x)34Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)Таким образом для каждого оператора A : X → Y получаем оператор A∗ : Y ∗ → X ∗ и равенство ϕ(y) = f (x)записывается в видеA∗ ϕ = f(αA + βB)∗ = αA∗ + βB ∗Теорема 11.1 (О существовании). ПустьA ∈ L(X → Y ), тогда ∃ A∗ — также линейный и ограниченныйи||A|| = ||A∗ ||Линейность сопряженного оператора проверяется непосредственно.|f (x)|=|ϕ(Ax)|и по определению ||A∗ || = supϕ6=06||f ||||ϕ|| ,||ϕ||·||A||·||x||⇒||f ||6||ϕ||·||A||,следовательно||A∗ || 6 ||A||∀x ∈ X ∃ ϕ0 : ϕ0 (Ax) = ||Ax||, ||ϕ0 || = 1, тогда ||Ax|| = ϕ0 (Ax) = f0 (x) 6 ||f0 || · ||x|| 6 ||A∗ || · ||ϕ0 || · ||x|| ⇒ ||A|| 6||A∗ ||, откуда сразу же следует равенство ||A|| = ||A∗ ||. Пусть A : H → H, A∗ сопряженный к A, если∀x, y(Ax, y) = (x, A∗ y)то есть ∀yf (x) = (x, y ∗ ).LТеорема 11.2. Im A = {y : ∃ x ∈ Xy = Ax} и ∀H выполняется равенствоH = Im A (Ker A∗ ) Покажем, что(Im A)⊥ = Ker A∗Пустьx ∈ Ker A∗ , то естьA∗ x = 0, тогда ∀y ∈ H(y, A∗ x) = (Ay, x) = 0 ⇒ x⊥ Im A ⇒ x⊥Im A, откуда следует, чтоKer A∗ ⊆ (Im A)⊥Пусть x⊥Im A, тогда x⊥ Im A ⇒ ∀y ∈ H(Ay, x) = (y, A∗ x) =⇒ ||A∗ x|| = 0 ⇒ A∗ x = 0 ⇒ x ∈ Ker A∗ .⇒ Ker A∗ = (Im A∗ )⊥§12.

Вполне непрерывные операторыОпределение.X ⊂ L, L — линейное нормированное пространство, Будет говорить, что множество X компактно, если любая последовательность элементов этого множества содержит подпоследовательность сходящуюся к элементу пространства L.Определение. Линейный оператор A : X → Y называется вполне непрерывным, если он отображает всякоеограниченное множество в компактное.Лемма 12.1. Пусть X — гильбертово пространство, {xn } — компактная слабо сходящаяся последовательность, тогда {xn } сходится сильно.

От противного: пусть {xn } не является сильно сходящейся, то есть ∃ ε > 0 и неограниченно возрастающая последовательность индексов n1 , n2 , . . . : ||xnk − x|| > ε; как подпоследовательность компактной последовательности {xnk }, а значит она содержит сильно сходящуюся подпоследовательность {xnkl }, а значит исходящуюся слабо. И с одной стороны||xnkl − x|| > ε, а с другой||xnkl − x|| → 0.Пришли к противоречию.

Лемма 12.2. A ∈ L(X → Y ), X — банахово, пусть A — вполне непрерывный, тогда A переводит слабосходящиеся последовательности в сильно сходящиеся:wxn −→ x, Axn → Ax.35Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10) Пусть последовательность слабо сходится к x0 . Тогда нормы элементов этой последовательности ограничены и {xn } , как ограниченная последовательность, оператором A переводится в компактную последовательность {yn }, где yn = Axn .w∀ϕ ∈ Y ∗ ϕ(Axn ) = f (xn ) −→ f (x0 )ϕ(Ax0 )и по предыдущей лемме получаем, что Axn сходится сильно. 36.