Конспекты курса по функциональному анализу 2009, страница 5

Если в нормированном пространствеlim ||xn − xm || = 0, то говорят, что последователь-n,m→∞ность {xn } фундаментальная.Определение. В нормированном пространстве M последовательность называется сходящейся, если ∃ x ∈M : lim ||xn − x|| = 0.n→∞Определение. Нормированное пространство называется полным или Ба́наховым, если любая фундаментальная последовательность в нем сходится.Определение.

Последовательность {xn } называется сходящейся, если ∃ x : lim ||xn − x|| = 0..n→∞Лекция 7.Теорема 5.2. Пусть E — измеримое множество конечной меры, p > 1, тогда пространство Lp (E) —полное или банахово. Рассмотрим некоторую фундаментальную последовательность {fn (x)} из Lp (E), то есть ∀k ∈ N ∃ nk :||fn (x) − fm (x)||Lp < 21k при n, m > nk , {nk } — монотонно возрастающая последовательность. И для любого kвыполняется следующее соотношение ||fnk+1 − fnk ||Lp < 21k так как nk+1 > nk . Откуда следует, что1Z1|E| qq(11)|fnk+1 − fnk |dx6||fnk+1 − fnk ||Lp · |E| < k .|{z}2Неравенство ГельдераEПросуммируем (11) по k от 1 до ∞, получим∞ ZX1|fnk+1 − fnk |dx < |E| q .(12)k=1 EИз (12) следует, что ряд, стоящий в левой части выражения сходится почти всюду на E , а значит сходится почти∞Pвсюду на E и ряд[fnk+1 (x) − fnk (x)]; чтобы из данного ряда получить элемент исходный последовательности,k=1перейдем к сумме fn1 (x) +∞P[fnk+1 (x) − fnk (x)], положим, что она сходится почти всюду на E к f (x).

Дляk=1mP[fnk+1 (x) − fnk (x)] = fnm+1 (x) → f (x) почти всюду на E. Следовательно,RRпри k → ∞ |fnk (x) − fm (x)|p → |f (x) − fm (x)|p , а значит и |fnk (x) − fm (x)|p dx → |f (x) − fm (x)|p dx, поэтого ряда Sm (x) = fn1 (x) +k=1EEЛемме Фату f (x) − fm (x) суммируема, а следовательно суммируема и f (x), f (x) ∈ Lp (E). Из определенияфундаментальности последовательности получаем, что существует Nε : ||f (x) − fm (x)||Lp < ε при m > Nε , азначит и ||fn (x) − f (x)||LP → 0, n → ∞. Далее будет описан другой подход к введению интеграла Лебега.Определение. Функция называется простой,если она принимает конечное или счетное число значений.Лемма 5.3.

Пусть f (x) > 0 – измеримая функция на E. Тогда ∃ неубывающая последовательность неотрицательных измеримых простых функций сходящаяся к f (x) равномерно на множестве ее конечных значений.∞SEkn ∪ E∞ . Ekn = E[ 2kn 6 f (x) 6 k+12n ], k = 0, 1, 2, . . . , n = 1, 2, .

. . и E∞ = E[f (x) = +∞]. E =k=0(kx ∈ Ekn ,n,n+1n+1Положим fn (x) = 2Тогда 0 6 f (x) − fn (x) < 21n ⇒ fn (x) ⇒ f (x). Ekn = E2k∪ E2k+1такn,x ∈ E∞ .17Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)(fn (x),2k2k+12k+1 2k+2как [ 2kn , k+12n ) = [ 2n+1 , 2n+1 ) ∪ [ 2n+1 , 2n+1 ), откуда следует, что fn+1 (x) =fn (x) +fn (x) 6 fn+1 (x). n+1x ∈ E2k,, а значитn+112n+1 , x ∈ E2k+1 .Теорема 5.4. Пусть p > 1, |E| < ∞. Тогда C(E) – множество функций непрерывных на E плотно в Lp (E),то есть ∀f ∈ Lp (E), ∀ε > 0 ∃ ϕ ∈ C(E) : ||f − ϕ||Lp < ε.

Не ограничивая общности рассуждений будем считать, что f (x) > 0 и E — ограниченное множество. Таккак f ∈ Lp (E), то |E∞ (f )| = 0 и можно перейти к рассмотрению множества E \E∞ (f ), таким образом можно считать, что f (x) конечна. Следовательно f (x) можно равномерно приблизить последовательностью простых функ∞∞RPP(Ck )p |Ek | = |ψ(x)|p dxCk IEk (x), E = cupsql[k = 1][∞]Ek . Рядций. Если ψ(x) — простая функция, ψ(x) =k=1k=1сходится, следовательно остаток ряда, то естьRp|ψ(x) − ψn (x)| → 0, где ψn (x) =nPECk IEk (x), рассмотрим те-k=1Eперь индикатор IEk (x). По теореме (???) ∀εk > 0 ∃Fk|{z}⊂ Ek ⊂замкнутоеGk|{z}: |Gk \ Fk | < εk . Положим ψk (x) =открытоеx ∈ Gk ,0,ρ(x,Gk ),каклегкоубедитьсяψ(x)—непрерывнаяфункция.Тогдаψ(x)=α(x),x ∈ Gk Fk , 0 < α < 1,kρ(x,Gk )+ρ(x,Fk )1,x ∈ Fk .(nRP0,x ∈ Gk ∪ Fk ,⇒ |IEk (x) − ψk (x)|dx 6 |Gk \ Fk | < εk .

ϕ(x) =Ck ψk (x) —и |IEk (x) − ψk (x)| =β(x), x ∈ Gk \ Fk , β 6 1.k=1EnnPPнепрерывная функция. ||ψ(x) − ϕ(x)||Lp = ||Ck (IEk (x) − ψk (x))||Lp6|Ck | · ||I(x) −|{z}k=1k=1По неравенству Минковскогоψk (x)||Lp 6nPk=11p|Ck |εk<|{z}ε. εεk =()p|Ck |2k+1Теорема 5.5 (О непрерывности в метрике Lp ). Пусть |E| < ∞, p > 1, f (x) ∈ Lp (E) и f (x) = 0 на E.Тогда ∀ε > 0 ∃ δ > 0 : при |h| < δ ||f (x + h) − f (x)||Lp < ε. Пусть E ⊂ [Br ] = {x : |x| 6 r} и E1 = [Br+1 ].

По теореме (5.4) ∀ε > 0 ∃ ϕ(x) ∈ C(E1 ) : ||f (x) −ϕ(x)||Lp (E1 ) < 3ε . Пусть |h| < 1, тогда x + h ∈ E1 .||f (x + h) − f (x)||Lp (E)6||f (x + h) − ϕ(x + h)||Lp (E) + ||ϕ(x + h) − ϕ(x)||Lp (E) + ||ϕ(x) −|{z}Неравенство Минковскогоf (x)||Lp (E) 6 2||f (x) − ϕ(x)||Lp (E1 ) + C||ϕ(x + h) − ϕ(x)||C([Br ]) <2ε3ε+ C 3C< ε. §6. Метрические и нормированные пространства.Определение. Множество M называется метрическим пространством, если на M × M определена вещественно значная функция ρ(x, y) :• ρ(x, y) > 0 и ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y.• ρ(x, y) = ρ(y, x).• ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y).(1,Пример. Метрика Хевисайда: ρ(x, y) =0,x = y,x 6= y.Определение. Последовательность {xn } элементов метрического пространства называется фундаментальной , если lim ρ(xn , xm ) = 0.n,m→∞Определение.

Последовательность {xn } элементов метрического пространства M называется сходящейся,если ∃ x ∈ M : lim ρ(xn , x) = 0.n→∞• Если xn → x, то и любая подпоследовательность xnk сходится к x.∀ε > 0 ∃ N = N (ε) : ∀n > N ρ(xn , x) < ε ⇒ ∀nk > N ρ(xnk , x) < ε. 18Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)• Предел сходящейся последовательности единственен.Пусть x, y - два различных предела последовательности, тогда ρ(x, y) 6 ρ(xn , x) + ρ(xn , y) ⇒ ρ(x, y) =| {z } | {z }→00 ⇒ x = y. →0• Сходящаяся последовательность ограничена.ρ(xn , θ) 6 ρ(xn , x) + ρ(x, θ), ∀θ ∈ M Определение.

Назовем шаром в метрическом пространстве M радиуса r с центром в точке a ∈ M множествоB(a, r) = {x : ρ(a, x) < r}, аналогично замкнутым шаром назовем множество [B(a, r)] = {x : ρ(a, x) 6 r}.Определение. Множество в метрическом пространстве назовем ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре.Определение. Окрестность точки a — любой шар с центром в точке a.Определение.

Пусть X ⊂ M , a — предельная точка множества X, если любая окрестность точки a содержитточку из X отличную от a .Определение. Замыкание множества X — множество [X] = X ∪ {множество предельных точек X}.• X называется замкнутым, если X = [X].• X — открытое множество, если M \ X — замкнутое.• X — всюду плотное множество в M , если [X] = M .• X — нигде не плотное множество, если каждый шар метрического пространства содержит подшар, непересекающийся с X.Определение. M — полное метрическое пространство, если любая фундаментальная последовательность внем является сходящейся.Теорема 6.1 (О вложенных шарах).

Пусть M — полное метрическое пространство, {Bn } — последовательность замкнутых вложенных друг в друга шаров [B1 (a1 , ε1 )] ⊂ [B2 (a2 , ε2 )] ⊂ . . . , εn → 0. Тогда∞T∃! x ∈ M : x ∈[Bi ] . Условия полноты пространства M замкнутости шаров существенны.i=1 Рассмотрим последовательность {an }, an ∈ [Bn ] ⇒ ρ(an , an+p ) < εn ⇒ {an } — фундаментальная последовательность. И из полноты пространства следует, что an → a ∈ M и в силу замкнутости шаров [Bn ] получаем,что a ∈ Bn ∀n. Осталось показать единственность точки, обладающей указанным свойством. Пусть a, b ∈ M иa, b ∈ [Bn ], ∀n > 1, тогда ρ(a, b) 6 ρ(an , a) + ρ(an , b), следовательно ρ(a, b) = 0 ⇒ a = b.

| {z } | {z }→0<εnОпределение. Множество X ⊂ M называется множеством первой категории, если оно может быть представлено в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.Все остальные множества называются множествами второй категории.Теорема 6.2 (Теорема Бера о категориях). Полное метрическое пространство является множествомвторой категории. Пусть M — полное метрическое пространство и не является множеством второй категории, то есть M∞S— множество первой категории.

Тогда M можно представить в виде M =Xn , где Xn — нигде не плотныеn=1множества. X1 нигде не плотно, следовательно существует шар [B1 (a1 , r1 )] радиуса меньше 1, содержащийподшар свободный от точек множества X1 , в нем в свою очередь есть подшар радиуса r2 < 21 свободный отточек X2 , а в нем есть подшар радиуса r3 < 13 свободный от точек X3 . Продолжая данное рассуждение получим,что существует последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, последовательность радиусовкоторых стремится к нулю, следовательно, по теореме о вложенных шарах, существует точка принадлежащаявсем шарам в указанной последовательности, пришли к противоречию, так как все шары лежат в M , M =∞SXn , но указанная точка не принадлежит ни одному Xn .

n=1Определение. Отображение A : M → M называется сжимающим отображением, если ∀x, y ∈ M ρ(Ax, Ay) 6αρ(x, y), α < 1.Точка x ∈ M называется неподвижной точкой отображения A, если Ax = x.Теорема 6.3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть M — полное метрическое пространство,A — сжимающее отображение. Тогда A имеет единственную неподвижную точку.19Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)Пусть x0 ∈ M, x1 = Ax0 , xn = Axn−1 . Покажем, что существует x = lim xn и Ax = x. ρ(x2 , x1 ) =n→∞ρ(Ax1 , Ax0 ) 6 αρ(x1 , x0 ). ρ(x3 , x2 ) = ρ(Ax2 , Ax1 ) 6 αρ(x2 , x1 ) 6 α2 ρ(x1 , x0 ). ρ(xn+1 , xn ) 6 αn ρ(x1 , x0 ).ρ(xn+p , xn ) 6 ρ(xn+p , xn+p−1 ) + · · · + ρ(xn+1 , xn ) 61 − αpαn6 (αn+p−1 +αn+p−2 +· · ·+αn )ρ(x1 , x0 ) = αnρ(x1 , x0 ) 6ρ(x1 , x0 ) ⇒ последовательность фундаментальна.1−α1−α{z}|не зависит от pИ так как M – полное пространство, то xn → x ∈ M .

Покажем, что Ax = x. ρ(Ax, x) 6 ρ(Ax, xn ) + ρ(x, xn ) =ρ(Ax, Axn−1 ) + ρ(xn , x) 6 α ρ(xn−1 , x) + ρ(xn , x). Покажем единственность точки, обладающей указанным свой| {z } | {z }→0→0ством. Пусть существует две не подвижных точки отображения A : x и y, тогда ρ(Ax, Ay) = ρ(x, y), но поопределению сжимающего отображения ρ(x, y) = ρ(Ax, Ay) 6 |{z}α ρ(x, y) ⇒ ρ(x, y) = 0. <1В нормированном пространстве можно ввести метрику ρ(x, y) = ||x − y||.Рассмотрим пространство L2 {(a, b)}.