Конспекты курса по функциональному анализу 2009, страница 6

Уравнение Фредгольма второго рода для x(t) ∈ L2 :Zbx(t) = λaK(t, s)x(s)dx + f (s) = Ax(t).|{z}некоторая известная функцияΠ = (a, b) × (a, b), K(t, s) ∈ L2 (Π).22Zby (t) = ZbK(t, s)x(s)dsaZb2K (t, s)ds6|{z}неравенство Гельдераx2 (s)ds ⇒aa{z|}суммируема по s по теореме ФубиниZb⇒y 2 (t)dt 6aZbZbdtaK 2 (t, s)dsaZbx2 (s)dsaСледовательно y(t) суммируема по мажорантному признаку.Существуют λ, при которых A — сжимающее отображение. Пусть x(t), y(t) ∈ L2 .

ТогдаZbρ(Ax, Ay) = ||Ax − Ay||L2 (a,b) = ZbK(t, s)x(s)ds − λdt λaZba2  21K(t, s)y(s)ds  =a b2  21 b  b 21ZbZZZZb= |λ|  dt  K(t, s)[x(s) − y(s)]ds  6 |λ|  dt  K 2 (t, s)ds (x(s) − y(s))2 ds =aaaaa b 21ZZb= |λ|  dt K 2 (t, s)ds ρ(x, y).a|a{z||K||L}2 (Π)Положим |λ| <1||K||L.2 (Π)Определение.Линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел называется нормированным, если существует отображение || · || : X → R такое что1. ||x|| > 0 и ||x|| = 0 ⇔ x = 0.2.

||λx|| = |λ|||x||.3. ||x + y|| 6 ||x|| + ||y||.20Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)Отображение || · || называется нормой, сходимость по норме — сильная сходимость.Пусть xn → x в том смысле, что ||xn − x|| → 0, тогда ||xn || → ||x||.||xn − x|| + ||x|| > ||xn || и ||xn − x|| > |||xn |||x|||, откуда и следует приведённое выше утверждение.Пример. n1P 2 2n1. R : ||x|| =xk .k=12.

C[0, 1] : ||f ||C = max |f (x)| — норма, порождающая равномерную сходимость, таким образом определен06x61ное пространство является банаховым.3. C 2 [0, 1] : ||f ||C = max |f (x)| — пространство не является полным.06x61p4. L (E), p > 1, |E| < ∞ : ||f || =R p1f (x)dx .pE5. lp , p > 1.6. C m [0, 1] : ||f ||C m =mPmax f (i) (x) — полное пространство.i=0 06x61Определение.

Линейное многообразие в линейном нормированном пространстве называется подпространством, если оно замкнуто относительно сходимости по норме.Теорема 6.4 (Теорема Рисса). Пусть в линейном нормированном пространстве X задано подпространство L, не совпадающее со всем пространством, тогда∀ε ∈ (0, 1) ∃ y ∈ X\ : ||y|| = 1, ||x − y|| > 1 − ε∀x ∈ L.y0 ∈ X \ L, d = inf ||x − y0 ||, тогда d > 0, доказывается от противного, иначе y0 ∈ L. По определениюx∈Lточной нижней грани ∀ε ∈ (0, 1) ∃ x0 ∈ L : d 6 ||x0 − y0 || < d + dε. Положим y =||x||x0 −y0 ||−x0 +y0 ||||x0 −y0 ||=||y0 +ξ||||x0 −y0 || ,где ξ = x0 − x||x0 − y0 || ∈ L и||y0 −ξ||||x0 −y0 ||>dd+dε=11+εx0 −y0||x0 −y0 || ,тогда ||x − y|| => 1 − ε.

§7. Линейные операторы.Определение. Пусть X, Y — линейные пространства оба либо над полем вещественных, либо комплексныхчисел одновременно. Оператор A : X → Y называется линейным, если ∀x, z ∈ X, λ ∈ R(C) :1. A(x + z) = Ax + Az.2. A(λx) = λAx.Определение. Оператор A : X → Y называется непрерывным, если∀{xn }, xn ∈ X, xn → x0 ⇒ Axn → Ax0или∀ε > 0 ∃ δ(ε) : ||x − x0 ||X < δ ⇒ ||Ax − Ax0 ||Y < εТеорема 7.1. Для непрерывности линейного оператора на всем пространстве необходимо и достаточно,чтобы он был непрерывен хотя бы в одной точке. Пусть xn → x ⇒ xn − x + x0 → x0 . Пусть оператор A непрерывен в x0 , тогда A(xn − x + x0 ) → Ax0 ⇒Axn − Ax + Ax0 → Ax0 ⇒ Axn → Ax.В обратную сторону утверждение очевидно.

Пример.1. f (x) ∈ C[0, 1], ||f ||C = max |f (x)|, Af (x) = f (0) и fn (x) → 0 (сходимость равномерная, по норме C), тогда06x61Afn (x) = fn (0) → 0 = A0 ⇒ A — непрерывный оператор.21Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)x = 0,n,R12. f (x) ∈ C[0, 1], ||f (x)||L1 = |f (x)|dx и fn (x)n>2 = линейна, x ∈ [0, n22 ], . Тогда ||fn (x) − 0|| =00,x ∈ [ n22 , 1].Afn (x) = fn (0) = n = 0 ⇒ A не является непрерывным оператором.1n→ 0, ноОпределение.

Оператор A : X → Y называется ограниченным, если ∃ M = const : ||Ax||Y 6 M ||x||X ∀x ∈ X.Теорема 7.2. Для непрерывности линейного оператора необходимо и достаточно его ограниченности. Необходимость:xn, ξn → 0, так как ||xn || = n1 → 0,Пусть ∃ {xn }, xn ∈ X : xn 6= 0 и ||Axn || > ||xn ||.

Тогда положим ξn = n||xn ||||Axn ||но ||Aξn || = n||x, пришли к противоречию.n ||>1Достаточность:||Axn − Ax|| = ||A(xn − x)|| 6 M ||xn − x||и при ||xn − x|| < δ(ε) =| {z }εMпоучаем, что ||Axn − Ax|| < ε. →0Ограниченный оператор переводит ограниченное множество в ограниченное.||Ax||Положим ||A|| = sup ||x|| Y или ||A|| = sup ||Ax||y .x∈X,x6=0X||x||61Докажем эквивалентность определений:∀x : ||x|| 6 1||Ax|| 6 ||A||||x|| 6 ||A|| ⇒ sup ||Ax|| 6 ||A||.||x||61И в обратную сторону:По определению точной верхней грани ∀ε > 0 ∃ ξε ∈ X : ||Aξε || > (||A|| − ε)||ξε ||, ξn 6= 0.

Положим xε =ξε||ξε || ⇒ ||Axε || > (||A|| − ε) ⇒ sup ||Ax|| > ||Axε || > ||A|| − ε откуда в силу произвольности ε получаем, что||x||le1sup ||Ax|| > ||A||, откуда следует, что sup ||Ax|| = ||A||||x||61||x||61Множество всех линейных ограниченных операторов над некоторым линейным нормированным пространством также образует линейное пространство.Обозначение. L(X → Y ) — множество линейных ограниченных операторов, L = {A|A : X → Y }. (A + B)x = Ax + Bx, (λAx) = λAx.||A|| = 0 ⇒ ||Ax|| = 0 ⇒ Ax = 0 ⇒ A = 0.||A + B|| = sup ||(A + B)x|| 6 sup ||Ax|| + sup ||Bx|| = ||A|| + ||B||. ||x||61||x||61||x||61Определение.

Линейным функционалом называется линейный ограниченный оператор A : X → R.Множество X ∗ всех линейных функционалов над X называется сопряженным пространством.Теорема 7.3. Если X — линейное нормированное пространство, а Y — банахово,то L(X → Y ) — полноепространство. Пусть lim ||Am − An || = 0, An ∈ L(X → Y ), тогда ∀x ∈ X||Am x − An x|| 6 ||Am − An || · ||x|| → 0 ⇒n,m→∞последовательность {An x} фундаментальна и An x → y = Ax из линейности операции предельного переходаследует линейность оператора A.Покажем, что A ограниченный оператор.{||An ||} — фундаментальная последовательность, следовательно, ограниченная. ||An x|| 6 ||An || · ||x|| 6 M ||x|| итак как ||An x|| → ||Ax||, то ||Ax|| 6 M ||x||.∀ε > 0 ∃ N = N (ε) : ∀n > N, ∀p > 0, ∀x : ||x|| 6 1 выполнено ||An+p x − An x|| < ε и ||An+p x − An x|| 6||An+p − An || · ||x|| , устремив p к бесконечности, получим, что ||Ax − An x|| 6 ε ⇒ ||A − An || 6 ε ⇒ A = lim An .n→∞|{z}61Следствие 7.1.

Сопряженное пространство является полным.Теорема 7.4 (Теорема Банаха-Штейнгауза). Пусть X, Y — банаховы, {An } : An ∈ L(X → Y ) и ∀x ∈X {||An x||} — ограниченная последовательность, тогда ∃ C : ||An || 6 C.[От противного] Пусть @C : ||An || 6 C.• Покажем, что тогда последовательность {||An x||} является неограниченной на любом замкнутом шаре. [От противного] Пусть существует такой замкнутый шар B1 = [B(ex, εe)], на котором последовательεξ+xe принадлежитность {||An x||} ограничена: ∀n и ∀x ∈ B1 ||An x|| 6 C. Тогда ∀ξ ∈ X элемент x = ||ξ||шару B1 , следовательно||An x|| 6 C, n = 1, 2, 3, .

. .22Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)илиεε||An ξ|| − ||An xe|| 6 ||An ξ + An xe|| 6 C.||ξ||||ξ||Откуда следует, чтоc + ||An xe||||ξ||.εПоследовательность ||{An xe||} ограничена, следовательно||An ξ|| 6||An ξ|| 6 C1 ||ξ||, n = 1, 2, 3, . .

., а значит||An || 6 C1 ,что противоречит сделанному предложению. Пусть теперь B 0 = [B(x0 , ε0 )] — любой замкнутый шар в X; на нем последовательность {||An x||} не ограниченаи потому существует номер n1 и элемент x1 ∈ B 0 такие, что||An1 x1 || > 1.В силу непрерывности оператора An1 это неравенство выполняется в некотором замкнутом шаре B 1 = [B(x1 , ε1 )] ⊂B 0 . На B 1 последовательность {||An x||} не ограничена и потому существует номер n2 > n1 и элемент x2 ∈ B 1такие, что||An2 x2 || > 2.Продолжая эти рассуждения мы получим последовательность вложенных шаров с радиусами εn → 0, а следовательно существует и точка принадлежащая всем шарам x, в этой точке||Ank x|| > k,что противоречит условию ограниченности последовательности {||An ||}. Следствие 7.2.

Пусть1. X и Y — банаховы2. An ∈ L(x → Y )3. xn ∈ X : ||xn || = 1, ||An xn || → ∞Тогда ∃ x0 ∈ X : ||x0 || = 1 и ||An x0 || — неограниченная последовательность. Пусть такого x0 не существует, тогда ∀x ∈ X : ||x|| = 1 последовательность {||An x||} — ограниченная.ξξРассмотрим произвольный элемент ξ ∈ X : ξ 6= 0, положим x = ||ξ||. Тогда ||x|| = 1 ⇒ ||An x|| = ||An ||ξ|||| 6 M ⇒||An ξ|| = ||An x||||ξ|| 6 M ||ξ||, следовательно по теореме Банаха-Штейнгауза существует константа C : ||An || 6C : ||An || 6 C ⇒ ||An xn || 6 ||An ||||xn || 6 C, пришли к противоречию с условием (3) теоремы.

e = {f (x)|f (x) ∈ C[−π, π], f (−π) = f (π)}. Покажем, что в классе Сe существует функция, рядПример. CФурье которой расходится в нуле. Ряд Фурье функции f (x) имеет вид∞a0 X+ak cos(kx) + bk sin(kx),2k=1где1ak =πZπf (t) cos(kt)dt, k = 0, 1, 2, . . .−πи1bk =πZπf (t) sin(kt)dt, k = 1, 2, . . .−πnZπk=1−π1a0 XSn (f, x) = +ak cos(kx)+bk sin(kx) =22π1f (t)dt+π23ZπnX−πk=1!1cos(k(t − x)) f (t)dt =πZπ−πsin (n + 12 )(x − t)f (t)dt2 sin x−ttЛекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)Откуда получаем, что1Sn (f, 0) =πZπsin (n + 21 )tf (t)dt.2 sin 2t−πПоложимg(X) =(0,t = 0,12 tgt2− 1t .и тогдаsin (n + 1)tsin ntcos nt=+ sin nt · g(t) +tt22 sin 2отсюда следует,что1πZπ−πsin (n + 12 )tf (t)1dt =tπ2 sin 2Zπsin ntf (t)dt + o(1).t−πПоследнее слагаемое стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.

Далее рассмотримZπe → R, An f (t) = 1An : Сπsin ntf (t)dtt−πи пустьfn (t) = sgn(t) sin nt, ||fn (t)|| = 1.1An f n =πZπ2sin2 ntdt =|t|π−πZπsin2 nt2dt =tπ0Zπnsin2 ydy >y02>πZπnsin2 y1dy = I =yπ1Zπndy1−yπ1Zπncos 2ydy → ∞.y1e ряд Фурье которой расходится в точке ноль.Следовательно существует функция f ∈ C,Лекция 8.§8.