Конспекты курса по функциональному анализу 2009

Оглавление1.Открытые и замкнутые множества на числовой прямой.12.Измеримые множества. Мера Лебега.33.Измеримые функции74.Интеграл Лебега4.1.Интеграл Лебега для ограниченных функций на измеримом множестве конечной меры. . .4.2.Интеграл Лебега от неотрицательной измеримой функции на измеримом множестве конечной меры. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.Интеграл Лебега от функций произвольного знака. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.Интеграл Лебега от измеримой функции любого знака на измеримом множестве бесконечной меры. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10105.Функциональные пространства.5.1.Пространства Lp , p > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15156.Метрические и нормированные пространства.187.Линейные операторы.218.Обратные операторы249.Линейные функционалы2810.Гильбертовы пространства10.1. Свойства Гильбертова пространства . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .303111.Сопряженный оператор3412.Вполне непрерывные операторы35111215Лекция 1.§1. Открытые и замкнутые множества на числовой прямой.Обозначения. R1 — числовая прямая. CE — дополнение множества E до R1 , то есть R1 \ E. Oε (x) —ε-окрестность точки x.Замечание. Здесь и далее под множествами понимаются множества на числовой прямой.Определение. Предельной точкой множества E называется такая точка x0 на числовой прямой, что любаяε-окрестность x0 содержит точку множества E отличную от x0 .∀ ε > 0 ∃ xε ∈ Oε (x0 ) , xε 6= x0 .(1)Замечание.

Предельная точка множества может ему не принадлежать.Точка, принадлежащая множеству, но не являющаяся его предельной точкой, называется изолированнойточкой.1Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)Обозначение. E 0 — множество всех предельных точек множества E.Возможны следующие соотношения между E и E 0 :1. E 0 ⊂ E, такое множество E называется замкнутым.2. E 0 ⊃ E, такое множество E называется плотным в себе.3. E 0 = E, такое множество E называется совершенным.E — замыкание множества E.Пример.• E=∞Sn=1{ n1 },• E = {0} ∪E 0 = {0} — E и E 0 не пересекаются.∞Sn=1{ n1 }⇒ E 0 ⊂ E,E — замкнутое множество.• E = (a, b) ⇒ E 0 = [a, b] ⇒ E — не замкнутое, но плотное в себе множествоУтверждение 1.1. Объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.nS E=Ei , Ei − замкнутые множества.

Пусть x0 — предельная точка множества E, x0 ∈ E 0 . Так какi=1x0 — предельная точка E, то существует стягивающаяся система интервалов (ai , bi ) и последовательность {xi }точек множества E такая, чтоxi ∈ (ai , bi ), xi ∈/ (ak , bk ), k > i.Из последовательности {xi } можно выделить подпоследовательность, которая будет целиком принадлежатьнекоторому множеству Em , в силу того, что множеств Ei , i = 1..n лишь конечное число. Тогда, так как Emзамкнуто и x0 — предельная точка множества Em {в силу существования последовательности {xij }}, то x0 ∈Em ⇒ x0 ∈ E. Замечание. Бесконечное объединение замкнутых множеств может не быть замкнутым множеством∞SEn = [0, 1).Пример. En = [0, 1 − n1 ], E =n=1Определение.

Точка x называется внутренней точкой множества E, если она содержится в E вместе снекоторой своей окрестностью Oε (x).Обозначение. int(E) — совокупность внутренних точек множества E.Для открытого множества int(E) = E.Утверждение 1.2. Пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.nT E=Ei , Ei −открытые множества . Пусть x ∈ E ⇒ x ∈ Ei , i = 1..n и в силу открытости Ei существуетi=1последовательность {εi }i=1..n : Oεi (x) ∈ Ei положим ε = min εi , тогда Oε (x) ∈ E ⇒ x − внутренняя точкаE ⇒E = int(E). Утверждение 1.3. Если E — замкнутое множество, то CE — открытое множество. x ∈ CE ⇒ x не является предельной точкой E ⇒ { по отрицанию определения предельной точки} ∃ ε >0 : Oε (x) ∈/ E то есть Oε (x) ∈ CE ⇒ CE − открытое множество.

Утверждение 1.4.(a) Пусть Eα , α ∈ A —замкнутые множества, тогдаTEα — замкнутое множествоα∈A(b) Пусть Eα , α ∈ A — открытые множества, тогдаSEα — открытое множествоα∈A, где A может быть не только конечным, но и более чем счетным набором индексов.(a) Пусть Eα , α ∈ A —замкнутые множества, x — предельная точка E следовательно ∀ ε > 0 Oε (x) содержитнекоторую точку xε из E, а следовательно и из любого Eα , а так как все Eα замкнуты, то x принадлежитвсем Eα , а следовательно и E.2Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)(b) Пусть Eα , α ∈ A — открытые множества, тогда CE =TС Eα и из того, что дополнением открыто-α∈Aго множества является замкнутое множество и из пункта (a) следует, что CE — замкнутое множество,следовательно E — открытое множество.Теорема 1.1.

Любое открытое множество E в R1 есть объединение попарно непересекающихся интерва∞Sлов(an , bn ), − ∞ 6 an < bn 6 ∞.n=1 [В доказательство с лекции полностью не воткнул, поэтому привожу похожее, но в которое воткнул]Введем на E отношение эквивалентности, считая, что x ∼ y, если существует такой интервал (α, β) ⊂ E, чтоx, y ∈ (α, β). Данное отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, так как если x ∼ y и y ∼ z, тосуществуют такие интервалы (α, β) и (γ, δ), чтоx, y ∈ (α, β),y, z ∈ (γ, δ).Так как y принадлежит обоим интервалам, то γ < β и интервал (α, δ) лежит целиком в E и содержит точки xи z. Таким образом E есть объединение непересекающихся классов эквивалентных между собой точекE = tIτ .Докажем, что каждое Iτ есть интервал (a, b), где a = inf Iτ и b = sup Iτ .

Включение Iτ ⊂ (a, b) следует из того,как мы определили эти точки. С другой стороны, если x, y ∈ Iτ , то по самому определению Iτ интервал (x, y)содержится в Iτ . Поэтому Iτ содержит любой интервал (a0 , b0 ) концы которого содержатся в (a, b, ). следовательно Iτ = (a, b). Система таких интервалов не более чем счетна, так как, выбрав в каждом из интерваловнекоторое рациональную точку, мы установим взаимно однозначное соответствие между множеством классовIτ и множеством рациональных чисел. [Доказательство на лекции строилось в обратном порядке мы построилиинтервалы и доказали.

что они образуют непересекающиеся классы эквивалентности. Но что-то мне в моихзаписях не все ясно.][Доказательство взято из учебника Колмогорова, Фомина, в нем исправлена опечатка былоγ < δ, но это и так очевидно, имелось ввиду γ < β, чтобы показать, что существует интервал (α, δ)] Следствие 1.1. Любое замкнутое множество на прямой получается удалением конечного или счетногочисла попарно непересекающихся интервалов.Следствие 1.2. Любое совершенное множество на прямой получается удалением из R конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов, которые не имеют общих концов друг с другом.Пример.

Канторово множество. Множество мощности континуум, имеющее нулевую меру.Построение: Пусть F0 — отрезок [0, 1]. Выбросим из него интервал ( 31 , 23 ), а оставшееся замкнутое множествообозначим F1 . Затем выброси из F1 интервалы ( 19 , 29 ) и ( 79 , 89 ), а оставшееся замкнутое множество обозначим F2 .В каждом из четырех отрезков, образующих F2 , выбросим средний интервал длины ( 31 )3 и т.д. Продолжая этотпроцесс, получим убывающую последовательность замкнутых множеств Fn . ПоложимF =∞\Fn .n=0Множество F — замкнутое, как пересечение замкнутых множеств, оно получается из отрезка [0, 1] выбрасыванием счетного числа интервалов. Точки отрезка [0, 1], которые входят в множество F , можно охарактеризоватьследующим образом.

Запишем каждое число из [0, 1] в троичной системе счисленияx=a1a2a3+ 2 + 3 + ...,333где числа a1 , a2 , . . . могут принимать значения 0, 1, 2. Множеству F принадлежат те и только те числа x, 0 6 x 61, которые могут быть записаны хотя бы одним способом в виде троичной дроби так, чтобы в последовательности a1 , a2 , . . . ни разу не встретилась единица [проверьте руками !!!]. Совокупность таких последовательностейa1 , a2 , . . . имеет мощность континуума (она эквивалентна совокупности всевозможных двоичных последовательностей, которая в свою очередь эквивалентна множеству двоичных дробей, а те эквивалентны совокупности4+ . . .

составляет единицу (как суммачисел отрезка [0,1]). А сумма длин выброшенных интервалов 31 + 92 + 27убывающей геометрической прогрессии).§2. Измеримые множества. Мера Лебега.Обозначение. ∆ = (a, b) — интервал, |∆| = b − a — его мера (длина).3Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)Определение. Покрытием s(E) множества E назовем конечную или счетную систему интервалов {∆n }n>1 :∆n = (an , bn ),E⊂∞[∆n .n=1∞PДлиной покрытия σ({∆n }) назовем|∆n |.n=1Определение. Внешней мерой множества E назовемinf σ(s) = |E|∗ .(1)s(E)Свойства внешней меры.1.

Если E1 ⊂ E2 , то |E1 |∗ 6 |E2 |∗ . Любое покрытие E2 есть покрытие E1 , следовательно inf по классу покрытий E2 не меньше чем infпо классу покрытий E1 . 2. Если E =∞PEn , то |E|∗ 6n=1∞S|En |∗ .n=1∀ En ∃ s(En )k>1 = {∆kn }k>1 : En ⊂s(En ) ⇒ E ⊂n=1∞ S∞Sn=1 k=13. ρ(E1 , E2 ) =E2 |∗ =∞Pinfx1 ∈E1 , x2 ∈E2|E1 |∗ + |E2 |∗∆kn ⇒ |E|∗ 6∞P∞S∆kn и по свойству infk=1∞Pn=1 k=1|∆kn | 6∞P|En |∗ +n=1ε2n∞P|∆kn | < |E|∗ +k=1∞P=|En |∗ + ε,ε2n .Тогда s(E) =∀ε > 0 n=1ρ(x1 , x2 ) = δ — расстояние между множествами. Если ρ(E1 , E2 ) > 0, то |E1 ∪E = E1 ∪ E2 , ∃ s(E) : E ⊂∞Sn=1∞P∆n ,|∆n | < |E|∗ + ε ∀ ε > 0, по определению |E|∗ и |∆n | < δ/2, ∀n.n=1Такое покрытие можно получить разбиением элементов покрытия длины больше чем δ/2, при этом выпадетне более чем счетное число точек, которые можно покрыть системой интервалов длины 2εn .