Конспекты курса по функциональному анализу 2009, страница 3

Пусть fn (x) измеримы на измеримом множестве E, тогда limfn и limfn измеримы на E.• ϕ(x) = inf fn (x) и ψ(x) = sup fn (x) измеримы.nnE[ϕ(x) > a] =nTE[fn (x) > a], E[ψ(x) < a] =k=1nTE[fn (x) < a]k=1• limfn (x) = sup inf fn (x), limfn (x) = inf sup fn (x)n=1 k>nn=1 k>nТеорема 3.4.

Пусть fn (x) → f (x) и fn (x) измеримы на измеримом множестве E, тогда f (x) измеримана E. Если fn (x) → f (x), то f (x) = inf fn (x) = sup fn (x), следовательно по предыдущей теореме f (x) измерима.nn8Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)PОпределение. Пусть fn (x) и f (x) почти всюду конечны. fn (x) → f (x), если ∀ ε > 0 lim |E[|fn − f | > ε]| = 0n→∞Теорема 3.5.

Пусть E – измеримое множество конечной меры и последовательность измеримых почтиPвсюду конечных функций fn (x) сходится к f (x) почти всюду, |f (x)| < ∞(п.н.). Тогда fn (x) → f (x). Утверждение теоремы неверно для множеств бесконечной меры. En = E[|fn − f | > ε]∞SEk , |En | 6 |Rn |.Rn =k=nПокажем, что |Rn | → 0. R =Rn \ R =∞F∞TRn . Покажем, что |Rn | → |R| = 0.n=1(Rk \ Rk+1 ), |Rn \ R| =∞P|Rk \ Rk+1 |, |R1 \ R| =|Rk \ Rk+1 |. В силу конечности указаннойk=1k=nk=n∞Pмеры ряд сходится, следовательно остаток ряда стремится к нулю.

|Rn \ R| → 0. Rn = Rn \ R ∪ R, следовательно|Rn | = |Rn \ R| + |R| → |R|. Покажем. что |R| = 0.C = E[ ∃ n : |fn (x)| = ∞ или |f (x)| = ∞ или нет сходимости], |C| = 0. Рассмотрим E \ C. Покажем, чтоR ⊂ C. Пусть x0 ∈/ C, тогда в x0 fn (x0 ) → f (x0 ), то есть ∀ ε > 0 ∃ Nε,x0 : ∀ n > N |fn (x0 ) − f (x0 )| < ε ⇒ x0 ∈/En ∀ n > N ⇒ x0 ∈/ Rn ⇒ x0 ∈/ R ⇒ R ⊂ C ⇒ |R| = 0. Замечание. Утверждение теоремы неверно при |E| = ∞.Пример. E = R, fn (x) = I[n,n+1] . Последовательность сходится к нулю п.н., но |E[fn − f > 21 ]| = 1 > 0∀ nЗамечание.

Обратное утверждение неверно. Из сходимости по вероятности не следует даже сходимости водной точке. Пример: "бегущий отрезок".Теорема 3.6. Пусть E – измеримое множество конечной меры и последовательность измеримых почтивсюду конечных функций fn (x) сходится к f (x) по вероятности, |f (x)| < ∞(п.н.). Тогда из fn (x) можновыделить подпоследовательность, сходящуюся к f (x) почти всюду. Существует последовательность номеров n1 , n2 , · · · : Ek = E[fnk − f | > k1 ], |Ek | < 21k .∞∞∞∞STPP116 2n−1→ 0. |Rn | → |R| ⇒ |R| = 0. Покажем, что вне RRn =Ek , R =Rn , |Rn | 6|Ek | 62kk=nn=1k=nk=nпоследовательность сходится (п.н.):Рассмотрим множество на котором fn конечны x0 ∈/ R ⇒ ∃ n : x0 ∈/ Rn ⇒ x0 ∈/ E k ∀ k > n ⇒ ∀ nk , k >n |fnk (x0 ) − f (x0 )| < k1 , то есть последовательность сходится в точке x0 .

Лекция 4.Теорема 3.7. Пусть на измеримом множестве E определена последовательность измеримых функций{fn (x)} : |fn | < ∞ (п.в.), |f | < ∞, |g| < ∞ (п.в.) иPPfn (x) → g(x) и fn (x) → f (x).(1)Тогдаf (x) = g(x) (п.в.). ∀ ε > 0 E[|f −g| > ε] ⊂ E[|f −fn | > 2ε ]∪E[|g−fn | > 2ε ] и в силу (1) мера событий стоящих справа стремитсяк нулю при n → ∞.

Возьмем меру от обеих частей и перейдем к пределу по n, получим, что ∀ ε > 0 |E[|f − g| >ε]| = 0, в силу произвольности ε получаем, что f и g равны на E почти всюду. Теорема 3.8 (Теорема Егорова). E – измеримое множество конечной меры, {fn } – последовательность(п.в.)измеримых почти всюду конечных функций и fn (x) −→ f (x), |f (x)| < ∞ (п.в.). Тогда ∀ δ > 0 ∃ Eδ ⊂ E :|E| − |Eδ | < δ и fn (x) ⇒ f (x) на Eδ .Теорема 3.9 (Теорема Лузина).

Пусть f , заданная на измеримом множестве конечной меры E, измеримая, почти всюду ограниченная функция. Тогда ∀δ > 0 ∃ непрерывная на E функция ϕ(x) :|E[f (x) 6= ϕ(x)]| < δ,и если |f (x)| 6 k, то найдется такая непрерывная функция ϕ(x), удовлетворяющая (2), что |ϕ(x)| 6 k.9(2)Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)§4. Интеграл Лебега4.1. Интеграл Лебега для ограниченных функций на измеримом множестве конечноймеры.Определение.T – разбиение. T = {Ek }nk=1 :nFEk = E;k=1Mk = sup f (x), mk = inf f (x);EkEknPST =Mk |Ek | – верхняя сумма по разбиению, sT =nPmk |Ek | – нижняя сумма по разбиению;k=1k=1I = inf ST – верхний интеграл Лебега, I = sup sT – нижний интеграл Лебега.TTОпределение. Если для измеримой, ограниченной функции f , заданной на измеримом множестве конечноймеры I = I, то говорят, что f интегрируема (суммируема) по Лебегу на E иZI = I = f (x)dx.(1)EnОпределение. ИзмельчениемT назовем разбиение T ∗ = {Ei∗ }mi=1 , T = {Ek }k=1 , если ∀ i =S разбиения∗∗1..m ∃ µ(i) : Ei ⊂ Eµ(i) и Ek =Eiµ(i)=k12Определение.

Произведением двух разбиений T1 = {Ei1 }ni=1и T2 = {Ej2 }nj=1l назовем разбиение T , T1 · T2 =12T = {Ei ∩ Ej }Утверждение 4.1.• При измельчении верхние интегральные суммы не увеличиваются, а нижние интегральные суммы неуменьшаются.• Для любых разбиений T1 и T2 sT1 6 ST2 , рассмотрим разбиение T1 · T2 = T , оно является измельчениемобоих разбиений и sT1 6 sT 6 ST 6 ST2Теорема 4.1. Если функция f (x) интегрируема по Риману на [a, b], то она интегрируема по Лебегу на[a, b] и интегралы совпадают.

I R 6 I L 6 I L 6 I R , так как Римановские разбиения являются частным случаем Лебеговских разбиений,следовательно, если I R = I R , то I L = I L и I R = I L = I L = I R Замечание. Существуют функции интегрируемые по Лебегу, но неинтегрируемые по Риману.

Напримерфункция Дирихле.Теорема 4.2. Если функция f (x) измерима на множестве E конечной меры и ограничена на нем, то f (x)интегрируема на E по Лебегу. m, M ∈ R1 : m 6 f (x) 6 M ∀x ∈ E. Разобьем отрезок [m, M ] на систему непересекающихся отрезков:m = y0 < y1 < · · · < yn = M, ∆yk = yk − yk−1 , δ = max ∆yk . E1 = E[y0 6 f 6 y1 ], Ek = E[yk−1 < f 6 yk ], k =16k6n2..n. yk−1 6 mk 6 Mk 6 yk , умножим все части этого неравенства на |Ek |, просуммируем по k и вычтем изnPвторой части неравенства первую: ST − sT 6∆yk |Ek | 6 δ|E|,при этом 0 6 I − I 6 ST − sT , получаем чтоk=10 6 I − I 6 δ|E|, устремим δ к нулю и получим равенство верхнего и нижнего интегралов.

Свойства интеграла Лебега.R1. 1dx = |E|E2.REST = sT = |E| Rαf dx = α f dxEДостаточно учесть, чтоSTα(αST , α > 0=αsT , α < 0.10Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)3. f1 и f2 интегрируемы ⇒ f1 + f2 также интегрируема, иR(f1 + f2 )dx =ERf1 dx +ERf2 dxEsup(f1 + f2 ) 6 sup f1 + sup f2 , I f1 + I f2 6 I f1 +f2 6 I f1 +f2 6 I f1 + I f2 EEE4. E = E1 tE2 и E1,2 измеримы, f интегрируема на E1 и E2 ⇒ f интегрируема на E иRf dx =ERf dx+E1Rf dx,E2для доказательства свойства заметим, что для любого разбиения T множества E существуют разбиенияT1 и T2 множеств E1 и E2 соответственно, образующие разбиение совпадающее с T или для которых Tявляется измельчением их объединения , sT1 + sT2 6 sT 6 ST 6 ST1 + ST2 .RR5.

Если f1 > f2 (п.в.) на E, то f1 dx > f2 dx.EE4.2. Интеграл Лебега от неотрицательной измеримой функции на измеримоммножестве конечной меры.(Определение. Срезкой fN положительной функции f (x) назовем функцию fN (x) =f (x),N,f (x) 6 N,f (x) > N.если функция измерима, то и любая ее срезка измерима.Определение. Говорят, что неотрицательная измеримая функция f (x), определенная на множестве E конечной меры, суммируема по Лебегу на E, еслиZfN dx = I.(2)∃ limN →∞EТеорема 4.3. Пусть E =∞FEk , Ek – измеримые множества.

Тогдаk=11. если f (x) интегрируема на E, то она интегрируема и на Ek иRf dx =∞ RPf dx.k=1 EkE2. если f (x) интегрируема на Ek , k > 1, и ряд∞ RPf dx сходится, то f (x) интегрируема на E иk=1 Ek∞ RPRf dx =Ef dx.k=1 Ek1.∞∞n RRSPP• Пусть f ограничена 0 6 f 6 M , Rn =Ek , |Rn | → 0, n → ∞. |E| =|Ek |. f dx −f dx =k=1k=1 Ekk=n+1ERf dx 6 M |Rn | → 0, n → ∞.Rn• Пусть f неограничена.RfN dx =k=1 Ekm RPf dxREkfN dx 6REfN dx 6∞ RPfN dx 6k=1 EkE∞ RP∞ RPRf dx иERk=1 Ekm RPfN dx >k=1 EkEf dx, теперь устремим m к бесконечности:k=1 EkRf dx >E2. Интегрируемость на E следует из того, чтоRf dx, устремим N к бесконечности:fN dx =∞ RPRf dx 6EfN dx устремим N к бесконечностиRf dx >E∞ RPf dx.k=1 EkfN dx.k=1 EkEТеорема 4.4.

fR(x) > 0 и интегрируема на измеримом множестве E конечной меры, тогда ∀ε > 0 ∃ δ >0 : Eδ ⊂ E |Eδ | < δf dx < εEδRRRR Из (2) следует, что ∃ N : ∀n > N f dx − fn dx < 2ε ⇒ (f − fn )dx < 2ε .fn dx 6 N |Eδ | < 2ε приEEEδEδRRRεδ < 2N. f dx = (f − fn )dx + fn dx < ε EδEδEδ11Лекции по Функциональному Анализу (2-й поток, 09/10)Теорема 4.5.