Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы), страница 7

уравнение для поискаα2 y′1(l, λ) + β2 y1(l, λ)   α2 y′2(l, λ) + β2 y2(l, λ)  собственных значений69Пусть {λn} - корни дисперсионного уравнения . Каждому λn соответствуетнетривиальное ( ненулевое) решение полученной ранее системы иследовательно ненулевое решение нашего исходного уравнения, представимое ввиде: y(x) = C1y1(x, λ) + C2 y2(x, λ) .Рассмотрим общий алгоритм поиска и построения собственных значений исобственных функций: пусть фундаментальная система нашего уравнениявыбрана так, что на одном из концов отрезка , например при x = 0 , функцииy1(x, λ) и y2(x, λ) удовлетворяют граничным условиям:P1(y1)x=0=0,P1(y2)x=0=1.Тогда, подставляя общее решение нашего исходного уравнения в граничноеусловие, сразу находим, что C2 = 0 .

Следовательно, собственная функция , еслимы подставим последний результат в общий вид решения уравнения, приметвид:y(x) = C1y1(x, λ) .Подстановка во второе граничное условие для P2(y) дает намдисперсионное соотношение, нужное нам для поиска λ :P2(y1) ≡ α2dy1(x, λ) + β2 y1(x, λ)dxx=l=0.Рассмотрим теперь частный случай: Ly ≡ y″.В этом случае, общее решение нашего исходного уравнения может бытьзаписано в виде:y(x) = C1cos λx + C2sin λx ,(p ≡ 1) .Коэффициенты C1 и C2 определяются из системы :−C1β1 + C2α1 λ = 0,C1{−α2 λsin λl + β2cos λl} + C2{α2 λcos λl + β2sin λl} = 0 .70Тогда дисперсионное уравнение примет вид:(α1α2 λ − β1β2)tg λl =λ (α1β2 + β1α2) .Легко убедиться, что полученное уравнение имеет бесконечное счетное∞множество корней {λn} . Для каждого корня λn находим ненулевое решение1нашей системы:C1 = Cα1 λnλnα12 + β12β1,    C2 = Cλnα12 + β12;где C - произвольная постоянная, отличная от нуля (C ≠ 0) .12lВеличина Nn = yn =∫yn2(x)d xпредставляет собой норму собственной0функции.

Если постоянная выбрана так, что Nn = 1 , то собственные функцииyn(x) будут ортонормированными .Итак, ненормированные собственные функции задачи Штурма - Лиувилля:y″ + λy = 0,      0 < x < l,α1y′ − β1yα2 y′ + β2 yx=0x=l= 0,  = 0,   можно записать в виде:yn(x) =β1sin λn x + α1 λn cos λn xλnα12 + β12;при этом:yn2=l1 (β1α2 + β2α1)(λnα1α2 + β1β2)+, где λn - корни22222 2(λnα1 + β1 )(λnα2 + β2 )дисперсионного уравнения .71Формулу yn(x) =β1sin λn x + α1 λn cos λn xдля собственной функцииλnα12 + β12можно привести к виду:yn(x) = sin( λn x + δn) , где величина δn определяетсясоотношениями :cosδn =β1λnα12 + β12,    sinδn =α1 λnλnα12 + β12 .Дисперсионное уравнение имеет ненулевое решение λ0 = 0 .

Ему будетсоответствовать ненулевая функция y0(x) , определяемая полученной намиформулой для собственной функции; если β1 = 0 и β2 = 0 ⇒ cама функция = 1.Значит, при λ0 = 0 ⇒ y0722=l.Выделим некоторые частные случаи:1. Граничные условия :y(0) = y(l) = 0  (α1 = α2 = 0,  β1 = β2 = 1);πnyn(x) = sin λn x,    λn =,     yn( l )22=l,    n = 1,2, . . . , ∞ .22. Граничные условия :y′(0) = y′(l) = 0  (α1 = α2 = 1,  β1 = β2 = 0) ,πnyn(x) = cos λn x,    λn =,     yn( l )22=l(1 + δn0),    n = 0,1, . .

. , ∞ .2замечание: в рассматриваемом случае существует нулевое собственноезначение λ0 = 0 , которому соответствует собственная функция y0(x) ≡ 1 .3. Граничные условия :y(0) = y′(l) = 0  (α1 = β2 = 0,  β1 = α2 = 1) ,2yn(x) = sin λn x,    λn =π1n+,     yn()2 ][l2=l,    n = 0,1,2, . . . , ∞ .22=l,    n = 0,1, . . . , ∞ .24.

Граничные условия :y′(0) = y(l) = 0  (β1 = α2 = 0,  β2 = α1 = 1) ,2yn(x) = cos λn x,    λn =π1n+,     yn2 )][l(735. Граничные условия :y(0) = 0, y′ + h2 yx=l= 0  (α1 = 0,  β1 = 1, α2 = 1, β2 = h2) ,h2l+,    n = 1,2, . . . , ∞ ,22 2(λn + h2 )yn(x) = sin λn x,        yn2λn - корни уравненияtg λl = −=λ.h26. Граничные условия :y′(0) = 0,  y′(l) + h2 y(l) = 0  (β1 = 0,  α1 = 1, α2 = 1, β2 = h2) ,yn(x) = cos λn x,        yn2=h2l+,    n = 1,2, . . . , ∞ ,22 2(λn + h2 )h2λn - корни уравнения tg λl =.λ7. Граничные условия :y′(0) − h1y(0) = 0,  y(l) = 0  (α1 = 1,  β1 = h1, α2 = 0, β2 = 1),yn(x) = sin λn (l − x),        ynλn - корни уравнения2=h1l+,    n = 1,2, . .

. , ∞ ,22 2(λn + h1 )tg λl = −λh174.8. Граничные условия :y′(0) − h1y(0) = 0,  y′(l) = 0  (α1 = 1,  β1 = h1, α2 = 1, β2 = 0),yn(x) = cos λn (l − x),        ynλn - корни уравнения2=tg λl =h1l+,    n = 1,2, . . . , ∞ ,2 2(λn + h12)h1λ.9. Граничные условия :y′(0) − h1y(0) = 0,  y′(l) + h2 y(l) = 0  (α1 = 1,  β1 = h1, α2 = 1, β2 = h2),yn(x) =      yn(x)21λn + h12(h1sin λn x +λn cos λn x),  l1 (h1 + h2)(λn + h1h2)= +,    n = 1,2, . . . ,2 2 (λn + h12)(λn + h22)λn - корни уравнения tg λl =λh1 + h2.λ − h1h2замечание: в рассматриваемом случае собственную функцию можно записатьтакже в виде:yn(x) =h2sin λn(l − x) +λn cos λn (l − x)λn + h22где λn - корни уравненияtg λl =λ75,h1 − h2.λ + h1h2б) Одномерный случай : периодические граничные условия.Рассмотрим задачу Штурма - Лиувилля на отрезке [0, l] c условиемпериодичности :y″ + λy = 0,    0 < x < ly(x) = y(x + l),    ∀x ∈ [0, l],(условия периодичности)y(x) ≠ 0 .Условия периодичности можно заменить граничными условиями:y(0) = y(l) , y′(0) = y′(l) .Тогда общее решение нашего уравнения будет иметь вид:y(x) = C1cos λl + C2sin λl .Подставим его в условия периодичности :C1cos λ (x + l) + C2sin λ (x + l) ≡ C1sin λx + C2cos λx .Используя линейную независимость функций cos λx и sin λx , мыполучаем:C1(cos λl − 1) + C2sin λl = 0,−C1sin λl + C2(cos λl − 1) = 0 .Полученная система имеет нетривиальное, т.е.

ненулевое решение только втом случае, если ее определитель равен нулю:cos λl − 1    sin λl -sin λl       cos λl − 1=0,или: cos λl = 12πn,   n = 0,1,2, . . . , ∞Отсюда находим собственные значения: λn =( l )276При найденных значениях λn наша система имеет два линейно независимыхненулевых решения:1C1 ==(C2(1)) (0)C1(1)иC2 =C1(2)(C2(2))=0.(1)Далее мы просто подставляем выявленные линейно независимые ненулевыерешения в общее решение и, тем самым , находим собственные функции:yn(1)(x) = cos λn xи yn(2)(x) = sin λn x .замечание: Заметим, что собственному значению λ0 = 0 соответствует однасобственная функция y0(x) ≡ 1 , в то время как все ненулевые собственныезначения λn имеют ранг, равный двум.Таким образом, поставленная в данном разделе задача с периодическимиграничными условиями имеет следующие наборы собственных значений исобственных функций:2πnλn =,     n = 0,1,2, .

. . . , ∞,( l )2y0(x) = 1,     yn(x) =2πnx,l 2πnsin l ,cosly0 = l,     yn = ,    n = 1,2, . . . . , ∞,2cosn xl = 2π :   λn = n 2,   yn(x) = {,   y = 1 .sinn x 02277в)Прямоугольник .Рассмотрим задачу Штурма - Лиувилля для оператора Лапласа впрямоугольнике:Δu + λu = 0,                  0 < x < a,   0 < y < b,P1(u) = α1 ∂u− β1u∂xP3(u) = α3 ∂u− β3u∂yx=0y=0= 0,      P2(u) = α2 ∂u+ β2u∂x= 0,     P4(u) = α4 ∂u+ β4u∂xx=ay=b= 0,= 0,где αi, βi - постоянные, причём αi + βi ≠ 0 .Будем решать поставленную задачу методом разделения переменных , которомупосвящена эта глава.Сначала найдем ненулевые решения нашего уравнения , которые можнопредставить в виде:u(x, y) = X(x)Y(y) ≠ 0 .Подставим наш вид решения в наше уравнение и разделим переменные:Y″(y)X″(x)=−−λ =−μ.X(x)Y(y)Следовательно, для функции X(x) и Y(y) мы получаем одномерные задачиШтурма - Лиувилля для отрезка:Y″ + νY = 0,    0 < y < b,X″ + μX = 0,    0 < x < a,1) P1(X )P2(X )x=0x=a= 0,2)= 0,P3(Y )P4(Y )где ν = λ − μ .78y=0y=b= 0,= 0,,Решив каждую из этих задач, собственные функции нашей задачи будемискать в виде :yn(x) =β1sin λn x + α1 λn cos λn xλnα12 + β12;а собственные значения λ вычислим по формуле λ = μ + ν .Отсюда мы можем сделать следующий вывод: собственные функцииоператора Лапласа для прямоугольника равны произведению собственныхфункций по каждой переменной с соответствующими граничными условиямиunm = Xn(x)Ym(y) , а собственные значения равны сумме собственных значенийодномерных задач λnm = μn + νm .Рассмотрим собственные значения и собственные функции для задачДирихле и Неймана:1) Задача Дирихле : uC= 0 , где C - контур прямоугольника :unm(x, y) = sinπnπmxsiny,abπnπmλnm =+,    n, m = 1,2, .

. . ,( a ) ( b )2unm22πn= sinxa∂u2) Задача Неймана :∂n2πmsinyb2=ab.4= 0 , где n - внешняя нормаль к контуруCпрямоугольника :unm(x, y) = cosπnπmxcosy,abπnπmλnm =+,     n, m = 0,1,2 . . . . ,( a ) ( b )2279unm2= Xn2Ym2.Пример: рассмотрим задачу Штурма - Лиувилля для оператораLu = Δu + b1ux + b2uy + cu + λu = 0,     0 < x < a,    0 < y < b,{uC= 0,где C - граница прямоугольника.Решение:Введем новую неизвестную функцию ν(x, y) через следующую замену:u = e − 2 (b1x + b2 y)ν(x, y).1Тогда для функции ν получаем задачу :Δν + μν = 0,    0 < x < a,   0 < y < b,{ν C = 0,    ν ≠ 0,b12 + b22где введено обозначение : μ=λ+c, решение которой мы уже4рассмотрели в данной главе.Таким образом, искомые собственные значения и собственные функциинашей задачи имеют вид :unm(x, y) = e− 12 (b1(x) + b2(y))sinπnπmxsiny, собственные функцииabπnπm1λnm =+− c + (b12 + b22), собственные значения( a ) ( b )422причем при c ≤ 0   n = 1,2, .

. . ,   m = 1,2, . . . . , а при c > 0 начальныезначения n и m выбираются так , чтобы λnm > 0 .При граничных условиях второго и третьего рода решение строитсяаналогичным образом, только при замене следует преобразовать и самограничное условие.80г) Прямоугольный параллепипед .Задача Штурма - Лиувилля для оператора Лапласа в прямоугольномпараллелепипеде имеет вид:Δu + λu = 0,       0 < x < a,  0 < y < b,   0 < z < c,P1(u) = α1 ∂u− β1u∂xP3(u) = α3 ∂u− β3u∂yP5(u) = α5 ∂u− β5u∂zαi, βi = const ,∂u(u)=0,  P=α+ β2u22x=0∂x= 0,  ∂u(u)=0   P=α44 ∂ y + β4uy=0x=ax=b= 0,∂u(u)=0   P=α+ β6u66z=0∂zx=c= 0,αi + βi ≠ 0 , i = 1,2, .

. . ,6Для прямоугольного параллелепипеда собственные функции и собственныезначения имеют вид:unmk(x, y, z) = Xn(x)Ym(y)Zk(z),- собственные значенияλnmk = μn + νm + χk,- собственные функциигде (Xn(x), μn),   (Ym(y), νm),   (Zk(z), χk) - собственные функции и собственныезначения соответствующих задач Штурма - Лиувилля по каждой переменной .81д) Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике.Краевые задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике также могут бытьрешены методом разделения переменных .В качестве примера рассмотрим задачу Дирихле:Δu = 0,     0 < x < a,     0 < y < b,ux=0uy=0= φ1(y),      u= ψ1(x),      ux=ay=b= φ2(y),= ψ2(y) .Разобьем рассматриваемую задачу на две задачи, каждая из которых имеетоднородные граничные условия по одно из переменных.Пусть u(x, y) = u1(x, y) + u2(x, y), где u1 и u2 есть решения следующихзадач в прямоугольнике :Δu1 = 0,     u11) u1u1x=0y=0y=b= u1Δu2 = 0,     x=a= 0,      u22)= ψ1(x),      = ψ2(x),u2u2y=0x=0x=a= u2y=b= 0,      = φ1(y),      = φ2(y) .Полученные задачи будем в дальнейшем называть стандартными .Рассмотрим стандартную задачу для функции u1(x, y) .