Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы), страница 3

               (3)Приведем линеаризацию полученной системы ( т.е. отбросим квадраты,произведения, отношения велечин U(x, t),  p̃(x, t),  ρ̃(x, t) и их производные:(линеаризация - убираем нелинейные члены)1) ρ(x, t) = ρ0 + ρ̃(x, t),(1)⇒ ρ0 = (ρ0 + ρ̃ )(1 + Ux) = ρ0 + ρ̃ + ρ0Ux + ρ̃Ux ⇒ ρ̃(x, t) + ρ0Ux(x, t) = 0⏟пренебрегаем(1`)272) p(x, t) = p0 + p̃(x, t);    px(x, t) = p̃x(x, t);   ρt(x, t) = ρ̃t(x, t);        ρ(x, t) = ρ0 + ρ̃(x, t) .(2) ⇒ ρtUt + ρUtt = − px ⇒ ρ̃tUt + ρ0Utt + ρ̃Utt = − p̃x ⇒ ρ0Utt(x, t) = − p̃x(x, t)______(2`)3) ρ(x, t)ρ0=ρ0 + ρ̃(x, t)ρ0    ( ρ ) = (1 +0ρk=1+ρ̃(x, t)ρ0,≈1+k⋅ρ0 )kρ̃ρ̃ρ0.Здесь мы воспользуемся первыми двумя членами формулы бинома Ньютона:nn k−n k(a + b) = ∑ ck a b .kk=0k(3) ⇒  p = p0 + p̃ = p0ppρρ̃≈ p0 1 + k= p0 + k 0 ρ̃ ⇒ p̃(x, t) = k 0 ρ̃(x, t) .ρ0 )ρ0ρ0( ρ0 )(p0Положим a = k ; получим: p̃(x, t) = a 2 ⋅ ρ̃(x, t)ρ0(3`)2Итак, мы получаем линеаризованную систему:ρ̃(x, t) + ρ0Ux(x, t) = 0;где a 2 = k ⋅ρ0Utt(x, t) = − p̃x(x, t);p̃(x, t) = a 2ρ̃(x, t),28p0.ρ0Получим из системы (1`)- (3`) уравнения для ρ,  p,  φ, V, U:1) уравнение для ρ :(1`)⇒ ρ̃tt = − ρ0Uxtt;(2`)(3`)⇒ p̃xx = a 2ρ̃xx ⇒ ρ̃tt = a 2ρ̃xx;   x ∈ (0, l),  t ∈ (0, ∞);⇒ ρ0Uttx = − p̃xx ⇒ ρ̃tt = p̃xx;так как: ρ̃tt = ρtt и ρ̃xx = ρxx, то ρ̃tt = a 2ρxx,   x ∈ (0, l),  t ∈ (0, ∞) .2) уравнение для p:ρ̃tt = ρ̃xx;(3`)⇒ ρ̃tt =12ρ̃⇒ρ̃=aρ̃xx,   x ∈ (0, l),  t ∈ (0, ∞);tttta2и ptt = a 2pxx;   x ∈ (0, l), t ∈ (0, ∞) .3) уравнение для смещения частиц газа U(x, t):(1`)⇒ ρ̃x = − ρ0Uxx;(2`), (3`)⇒ ρ0Utt = − p̃x = − a 2ρ̃x ⇒ −ρ02U=−ρU⇒U=aUxx,  tt0xxtt2a x ∈ (0, l),  t ∈ (0, ∞) .4) уравнение для скорости V:так как V = Ut , то из Utt = a 2Uxx ⇒ Vtt = a 2Vxx,   x ∈ (0, l),  t ∈ (0, ∞) .5) уравнение для потенциала скоростей φ(x, t):так как V = φx, то из Vtt = a 2Vxx ⇒ φttx = a 2φxxx ⇒ (φtt − a 2φxx) = 0xи так как φ(x, t) определяется с точностью до произвольной функции от t, то:φtt − a 2φxx = 0, т.е: φtt = a 2φxx,   x ∈ (0, l),  t ∈ (0, ∞) .29Рассмотрим граничные условия:а) закрытые концы:α) : U(0, t) = 0;   U(l, t) = 0,  t ∈ [0, + ∞) .β) : Ut(0, t) = 0;  Ut(l, t) = 0 ⇒ V(0, t) = 0,  V(l, t) = 0,   t ∈ [0, + ∞) .γ): Utt(0, t) = 0,   Utt(l, t) = 0 ⇒ ++(2`) ⇒ p̃x(0, t) = − ρ0Utt(0, t) = 0;  p̃x(l, t) = − ρ0Utt(l, t) = 0 .и так какp̃x = px, то px(0, t) = 0;   px(l, t) = 0,    t ∈ [0, + ∞) .δ) φx = V ⇒ φx(0, t) = 0,  φx(l, t) = 0;    t ∈ [0, + ∞) .1p̃x ⇒ (так как ρ̃x = ρx) :2aρx(0, t) = 0,   ρx(l, t) = 0;    t ∈ [0, + ∞) .ε)(3`)⇒ ρ̃x =б) открытые концы:α) p(0, t) = p0;  p(l, t) = p0;    t ∈ [0, + ∞), т.е.

на концах нет возмущениядавления: p̃(0, t) = 0;   p̃(l, t) = 0;     t ∈ [0, + ∞) .β)(3`)γ):(1`) Ux = −⇒ ρ̃ =1p̃ ⇒ ρ̃(0, t) = 0;  ρ̃(l, t) = 0;    t ∈ [0, + ∞) .2a1ρ̃ ⇒ Ux(0, t) = 0;   Ux(l, t) = 0;    t ∈ [0, + ∞) .ρ0δ) V = Ut ⇒ (смотрите γ): Vx(0, t) = 0;   Vx(l, t) = 0,    t ∈ [0, + ∞) .ε) так как Ut = φ(x), то:⏟V(2`)⇒ ρ0φxt + p̃x = 0 ⇒ (ρ0φt + p̃ )x = 0 ⇒⇒ ρ0φt + p̃ = f (t) и так как φ(x, t) определяется с точностью до произвольнойфункции от t, то: ρ0φt = − p̃ и тогда с учетом α): φt(0, t) = 0 ⇒ φ(0, t) = A;30φt(l, t) = 0;   φ(l, t) = B . Учитывая специфику φ можно положитьA = 0,  B = 0 ⇒ φ(0, t) = 0,  φ(l, t) = 0,    t ∈ [0, + ∞) .в) концы закрыты поршнями:α) Левый конец: запишем закон измененияколичества движения для элемента Δx:−υU(0, t) + p0SSΔxt+Δt0t−p(Δx, t)SΔxx Δxρ ξ, t + Δt)Ut(ξ, t + Δt) − ρ(ξ, t)Ut(ξ, t)}dξ =−υU(0, τ) + p0S − p(Δx, τ)S}dτ;∫{ (∫ {Применим формулу среднего значения и получим:S{ρ(x ∗, t + Δt)Ut(x ∗, t + Δt) − ρ(x ∗, t)Ut(x ∗, t)}Δx = {−υU(0, t ∗) + p0S − p(Δx, t ∗)S}Δt,x ∗ ∈ [0; Δx],   t ∗ ∈ [t, t + Δt] .Поделив на Δt и перейдя к пределу при Δt → 0:S(ρ(x ∗, t)Ut(x ∗, t)) ⋅ Δx = − υU(0, t) + p0S −tp⏟p0+p̃(Δx, t)(Δx, t)S .Перейдя к пределу при Δx → 0:υ0 = − υU(0, t) + p0S − p0S − p̃(υ, t)S ⇒ p̃(0, t) + U(0, t) = 0 ._____ Sp(1`),(3`) ⇒ p̃(0, t) = − a 2ρ0Ux(0, t), и т.к.

a 2 = k 0 ⇒ то a 2ρ0 = kρ0 ⇒ρ0_____υ⇒ − kp0Ux(0, t) + U(0, t) = 0 .SUx(0, t) − hU(0, t) = 0;   t ∈ [0, + ∞), где h =31υ.S ⋅ k ⋅ p0Правый конец . Условие получается аналогично и имеет вид:υUx(l, t) + hU(l, t) = 0,    t ∈ [0, + ∞), где h =.S ⋅ K ⋅ p0β) т.к. V = Ut , то из α)⇒ Vx(0, t) − hV(0, t) = 0;  Vx(l, t) + hV(l, t) = 0,   t ∈ [0, + ∞) .γ)Из α) ⇒ Uxtt − hUtt = 0 .(2`)⇒ Utt = −(1`)⇒ Uxtt = −1p̃x ⇒ ρ̃tt − hp̃xx = 0;ρ0(3`)1ρ̃tt;ρ0⇒ p̃ = a 2ρ̃ ⇒ ρ̃tt − a 2hρ̃xx = 0,k ⋅ p0υυh = ha =⋅=;S ⋅ k ⋅ p0ρ0S ⋅ ρ0∗2т.к. ρ̃tt = ρtt,   ρ̃xx = ρxx, то ρtt − h ∗ρxx = 0,  x = 0,   t ∈ (0, + ∞) .υυh∗ =;   ρtt + h ∗ρxx = 0,   x = l,   t ∈ [0, + ∞)    h ∗ =.S ⋅ ρ0S ⋅ ρ0δ) Из γ) + (3`) ⇒ ptt − h ∗pxx = 0,   x = 0,   t ∈ [0, + ∞);    h ∗ =ptt + h ∗pxx = 0,   x = l,    t ∈ [0, + ∞);   h ∗ =υ.S ⋅ ρ0υ.S ⋅ ρ0ε) так как ρ0φt = − p̃, то из δ) ⇒ (φtt − h ∗φxx) = 0,   x = 0,   t ∈ [0, + ∞) ⇒t⇒ φtt − h ∗φxx = 0,   x = 0,   t ∈ [0, + ∞);    h ∗ =υ.S ⋅ ρ0Аналогично: φtt + h ∗φxx = 0,   x = l,    t ∈ [0, + ∞);    h∗ =32υ.S ⋅ ρ05.

Вывод уравнений электрических колебаний в проводах.Прохождение электрического тока по проводу с распределеннымипараметрами характеризуется силой тока i и напряжением v , которые являютсяфункциями положения точки x и времени t. Применяя закон Ома к участкудлиной d x, можно написать, что падение напряжения на элементе провода d xравняется сумме электродвижущих сил:−Vx d x = iRd x + it Ld x;R - сопротивление, L - коэффициент самоиндукции(величины, рассчитанные на единицу длины).Количество электричества, протекающее на элемент провода d x за время dt:[i(x, t) − i(x + d x, t)]dt = − ix d xdt, - равно сумме количества электричества,необходимого для зарядки элемента d x, и количества, теряющегосявпоследствии несовершенства изоляции:c[v(x, t + dt) − v(x, t)]d x + Gd x ⋅ vdt = (cvt + Gv)d xdt;c и G - коэффициенты емкости и утечки, рассчитанные на единицу длины,причем величину потерь мы считаем пропорциональной напряжению врассматриваемой точке провода.Объединив все наши формулы, получаем систему:ix + cvt + Gv = 0,       (1)система телеграфных уравнений.vx + Lit + Ri = 0 .

      (2) }Чтобы получить уравнение определяющее функцию i продифференцируем (1)по x, а (2) по t, умножив его на c.Произведя вычитание в предположении постоянства коэффициентов,найдем:ixx + Gvx − cLitt − cRit = 0 .Заменяя vx его значением из уравнения (2), получаем уравнение для силытока:ixx = cLitt + (cR + GL)it + GRi. Аналогично выглядит уравнение длянапряжения: vxx = cLvtt + (cR + GL)vt + GRv .(телеграфные уравнения).33Если можно пренебречь потерями через изоляцию, и если сопротивлениеочень мало (G ≈ R ≈ 0), то мы приходим к известному уравнению колебаний:vtt = a 2vxx(a=1.Lc )6.

Колебания стержней. Собственные колебаниякамертона.В курсе методов математической физики основное место отводитсяуравнениям второго порядка. Однако большое число задач о колебанияхстержней и пластин приводит к уравнениям более высокого порядка.В качестве примера уравнения четвертого порядка, можно рассмотретьзадачу о собственных колебаниях камертона, эквивалентную задаче о колебанияхтонкого, прямоугольного стержня, зажатого одним концом в массивные тиски.Определение формы и частоты колебаний камертона сводится к решению«уравнения поперечных колебаний стержня»:4∂2 y2 ∂ y+a= 0.∂t 2∂x 4К этому уравнению приходят во многих задачах о колебаниях стержней, прирасчете устойчивости вращающихся валов, а также при изучении вибрациикораблей.Приведем элементарный вывод уравнения « поперечных колебаний стержня»:Рассмотрим прямоугольный стержень длины l (0 ≤ x ≤ l), высотой h ишириной b.Выделим элемент длины d x.

После изгиба торцевые сечения выделенногоэлемента стержня, предполагаемые плоскими , образуют угол dφ. Еслидеформации малы, а длина оси стержня при изгибе не меняется (dl = d x), то:34∂ydφ =∂xx∂y−∂xx+dx∂2 y= − 2 d x.∂xСлой материала, отстоящий от оси стержня y = 0 на расстояние η, изменяетсвою длину на величину ηdφ:По закону Гука сила натяжения, действующая вдоль слояравна:dφ∂2 ydN = E ⋅ b ⋅ dη ⋅ η ⋅= − E ⋅ b 2 ηdη;dx∂xE - модуль упругости материала стержня. Полный изгибающий момент сил,действующих в сечении x, равен:h2h2− h2− h2∂2 y∂2 ybh 322M = − E 2 ⋅ b η dη = − E 2 J,    J = b η dη =.   → момент∫∫∂x∂x12инерции прямоугольного сечения относительно своей горизонтальной оси.Обозначим через M(x) - момент, действующий на правую часть стержня вкаждом сечении.

В сечении x + d x , очевидно, действует момент сил, равный− (M + dM). Избыточный момент −dM уравновешивается моментомтангенциальных сил: dM = F ⋅ d x.h2∂2 y∂2 y∂3 y2Отсюда, используя M = − E 2 b η dη = − E 2 J ⇒ F(x, t) = − EJ 3∂x ∫∂x∂x− h2( величина тангенциальной силы).35Приравняв действующую на элемент результирующую силу:∂F∂4 ydF =d x = − EJ 4 d x произведению массы элемента на ускорение:∂x∂x∂2 yρS 2 d x, где ρ - плотность стержня, S - площадь поперечного сечения ( при∂tэтом мы пренебрегаем вращательным движением при изгибе), получаем уравнениепоперечных колебаний стержня:4∂2 yE⋅J2 ∂ y2+a=0,   a=.(∂t 2∂x 4ρ⋅S)Граничными условиями для заделанного конца x = 0 являютсянеподвижность стержня и горизонтальность касательной:∂yy= 0;    x=0∂x= 0.x=0На свободном конце должны равняться нулю изгибающий момент:h2∂2 y∂2 y2M = − E 2 b η dη = − E 2 J =0        (α)∂x ∫∂x ____− h2и тангенциальная сила должна равняться нулю:∂M∂3 yF(x, t) == − EJ 3 ____= 0 .

                       (β)∂x∂x∂2 yИз (α) и (β) ⇒∂x 2x=l∂3 y= 0,    3∂x= 0.x=l36Для того, чтобы полностью определить движение стержня нужно ещезадать начальные условия:yt=0∂y= f (x),                         ∂tначальное отклонениеt=0= φ(x),                         (0 ≤ x ≤ l) .начальная скоростьТаким образом задача сводится к решению уравнения:∂2 y∂t 2y+x=042∂ ya 4∂x= 0,∂y∂xx=0∂2 y∂x 2x=l∂3 y∂x 3yx=lt=0= 0,= 0,                            граничные условия= 0,= f (x),∂y∂t= 0,t=0= φ(x),    (0 ≤ x ≤ l);начальные условияДанная задача решается стандартным методом разделения переменных,который мы обсудим в следующей главе.377.