Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы)

ММФ(методические материалы)БОГОЛЮБОВ Н.А.ВведениеВ данном разделе мы рассмотрим основные уравнения математическойфизики, чтобы в дальнейшем перейти к постановке основных задачматематической и изучению основных методов математической физики.Итак, перечислим основные уравнения математической физики:ut(M, t) = a 2 Δu(M, t) + f (M, t) .( уравнение теплопроводности, которое описывает распрстранение тепла, диффузиюи движение вязкой жидкости) .utt(M, t) = a 2 Δu(M, t) + f (M, t) .( уравнение колебаний, которое описывает малые механические колебания струны,газа и твердого тела) .Δu(M ) = 0 .( уравнение Лапласа, которое описывает стационарную теплопроводность,стационарную диффузию , стационарное течение идеальной жидкости иэлектростатику) .Δu(M ) + cu(M ) = 0( уравнение Гемгольца, которое описывает гармонические волны ) ,где u - неизвестная функция; a 2 - постоянные коэффициенты,коэффициент c и функция f (M, t) - заданы, M - точка в пространтсве, наплоскости или на прямой, t - время.iВыведем уравнение теплопроводности:Пусть трехмерная область D , ограниченная поверхностью S ,заполнена веществом с удельной теплоемкостью c(M ) , плотностью ρ(M ) икоэффициентом теплопроводности k(M ) .Пусть u(M, t) - температура в точке M в момент времени t .

Будемсчитать, что все наши рассматриваемые функции достаточно гладкие.Возьмем подобласть ΔV , ограниченную поверхностью δ.nδЗапишем изменение внутренней энергии вобласти ΔV за время Δt :ΔQ =∫c(M )ρ(M )[u(M, t + Δt) − u(M, t)]ΔV =ΔVt+Δt=∫tdτ∫ΔV∫ΔVM.DPSt+Δtc(M )ρ(M )∫ut(M, τ)dτ dV =tc(M )ρ(M )ut(M, τ)dV .dVТеперь сформулируем Закон Фурье:ϕ(M, t) = − k(M ) ∇u(M, t) - поток тепла, который направлен от болеенагретого участка к менее нагретому и пропорционален градиентутемпературы).Величина потока ϕ представляет собой количество тепла ,протекающего через единичную площадку в единичный момент времени внаправлении вектора ϕ .iinПо Закону Фурье : за время Δt через поверхность δ наружу вышлоколичество тепла:t+Δt∫ΔQ1 =tt+Δtdτ ( ϕ(M, τ), n )dS =dτ div( ϕ(M, τ))dV =∫∫∫σt+Δt=−∫dτt∫tΔV(по теореме Гаусса - Остраградского)div(k(M ) ∇u(M, τ))dV ,ΔVгде n - единичная внешняя нормаль к поверхности δ .Если в области ΔV есть внешние источники или поглотители тепла, тоза время Δt они могут выделить количество тепла, равное:t+ΔtΔQ2 =∫tdτ∫F(M, τ)dV , где F(M, τ) - удельная мощность источниковΔVтепла, которая характеризует количество тепла, выделяемое внешнимиисточниками в единичном объеме в единицу времени.Теперь запишем закон сохранения энергии:ΔQ = ΔQ2 − ΔQ1 .Подставим ΔQ , ΔQ2 и ΔQ1 и получим:t+Δt∫dτt∫dVt+Δt=c(M )ρ(M )ut(M, τ)dV =∫tdτ∫ΔVt+ΔtF(M, τ)dV +∫tdτ∫div(k(M ) ∇u(M, τ))dVΔViiiПереносим всё в левую часть :t+Δt∫dτtc(M )ρ(M )ut(M, τ) − F(M, τ) − div(k(M ) ∇u(M, τ))]dV = 0 ,∫[ΔVи применяем формулу среднего значения:t+Δt∫tdτc(M )ρ(M )ut(M, τ) − F(M, τ) − div(k(M ) ∇u(M, τ))]dV =∫[ΔV= c(M ∗)ρ(M ∗)ut(M ∗, τ ∗) − F(M ∗, τ ∗) − div(k(M ∗) ∇u(M ∗, τ ∗)) ΔtΔV = 0[]где M ∗ ∈ ΔV,   t ∗ ∈ (t, t + Δt) .Будем стягивать область ΔV к некоторой фиксированной точке M ( приэтом ΔV → 0 ) и устремим Δt → 0 :c(M )ρ(M )ut(M, t) − F(M, τ) − div(k(M ) ∇u(M, τ)) = 0 .Пусть теперь c = const,   ρ = const,   k = const .Тогда div(k ∇u) = kdiv( ∇u) = k Δu иОбозначимkF(M, t)ut =Δu +.cρcρk= a 2 ( коэффициент температуропроводности ) ,cρF(M, t)а= f (M, t) .cρПодставляем и получаем уравнение теплопроводности:ut = a 2 Δu + f (M, t) .ivЗамечания:1) Полученное уравнение теплопроводности выполняется во всех внутреннихточках M области D в любой момент времени t .2) Если распределение температуры стационарно - температура в каждойточке не изменяется со временем ( u = u(M ) , f = f (M ) ) , то мы получаемуравнение Пуассона :f (M )Δu = − 2 .a3) Если f ≡ 0 , то мы получаем уравнение Лапласа:Δu = 0 .Для выделения единственного решения уравнения математическойфизики ставятся так называемые дополнительные условия, которые делятсяна два типа: граничные условия и начальные условия .Введем понятия граничных и начальных условий на примереуравнения теплопроводности:Начальные условия: ut=0= φ(M ) - что означает, что заданатемпература в каждой точке области D в начальный момент времени t = 0 .Граничные условия, которые ставятся на границе S области Dразделяются на три основных типа:а) us= μ(P, t) - граничные условия 1 рода или условие ( задача)Дирихле, которое означает, что на границе поддерживается заданнаятемпература , где P - точка поверхности S , а μ(P, t) - заданная функция .б)∂u∂n= v(P, t) - граничные условия 2 рода или условие ( задача)SНеймана .vФизический смысл граничного условия Неймана:Если мы умножим левую и правую часть нашего граничного условияна коэффициент −k , то мы получим:∂u−k(∂n )= − k v(P, t) ⇒ ϕnSS= − k v(P, t) ,∂uгде ϕn = ( ϕ, n ) = (−k ∇u, n ) = − k- проекция вектора ϕ на∂nединичную нормаль n к поверхности S .Следовательно , граничное условие Неймана означает: задан поток теплачерез границу S .Если , постановке задачи мы имеем дело с однородным граничнымусловием Неймана - это означает, что граница S теплоизолирована.∂u+ h(P)uв)( ∂n)= η(P, t) - граничные условия 3 рода или условие (Sзадача) Робена .Ее физический смысл : описание процесса теплообмена с окружающейсредой.Если температура окружающей среды равна u0 , то поток тепла споверхности S ( имеющий температуру u ) в окружающую среду ( внаправлении внешней нормали ) описывается законом Ньютона:ϕ0 = α(u − u0)где α - коэффициент теплообмена .viТак как ϕ0 должен быть равен ϕnS( будем пренебрегатьдополнительными источниками тепла на границе S ) , то:−k∂u∂nS= α(u − u0) .Cледовательно:∂u α+ u( ∂n k )=Sαu0 , - что и является граничным условием 3 рода ,k(условие Робена )где:α(P)α(P), η(P, t) =h(P) =u (P, t) .kk 0Замечания:∂u1) Если α → 0 , то мы получим однородное условие Неймана∂n=0 иSэто физически будет означать, что теплообмен будет отсутствовать.2) Если α → ∞ , то мы получим условие Дирихле uS= u0 и физическиэто будет означать, что мы имеем дело с идеальным тепловым контактом.3) Важная особенность на которую следует обратить внимание:αкоэффициент h(P) = в граничных условиях Робена неотрицателен .kviiОбъединив выведенное уравнение математической физики исоответствующие ему граничные условия , мы ставим для рассматриваемогоуравнения начально - краевую задачу.Давайте поставим начально - краевую задачу для нашего уравнениятеплопроводности в ограниченной области D :ut = a 2 Δu + f (M, t),   M ∈ D,   t > 0;ut=0= φ(M ),   M ∈ D;& соответствующее граничное условие на S .Основная задача: найти функцию u(M, t) при M ∈ D .замечание: в стационарном случае - для уравнения Пуассона илиЛапласа - начальное условие не ставится .Запишем полученное уравнение теплопроводности в декартовыхкоординатах:ut(x, y, z, t) = a 2(uxx + uyy + uzz) + f (x, y, z, t),    (x, y, z) ∈ D .Zа) Если область D имеетформу бесконечногоа)Dцилиндра с осью 0zΓ( геометрия области независит от координаты Z ифункция f , граничные иб)0Da0начальные условия не зависят от Z ⇒ то в силу симметрии и температура u небудет зависеть от Z .)Тогда мы получаем двумерное уравнение теплопроводности :ut(x, y, t) = a 2(uxx + uyy) + f (x, y, t) , (x, y) ∈ Γ - в поперечном сечении цилиндра.viiibxб) Если область D имеет форму тонкого стержня, параллельного оси 0x cтеплоизолированной боковой поверхностью ( изменением температуры впоперечном сечении можно пренебречь) , то уравнение теплопроводности будетодномерным:ut(x, t) = a 2uxx + f (x, t),    x ∈ (a, b) .ixИтак, мы разобрали основные уравнения математической физики и основныевводные понятия курса методов математической физики.Теперь мы переходим к основным главам данного методического пособия.

В первойглаве мы рассмотрим и поставим основные задачи математической физики, а уже совторой главы вплоть до конца данного пособия, мы перейдем непосредственно кметодам решения рассматриваемых задач в физике.xГ Л А В А 1.Постановочные задачи.Вывод уравнений.1.Колебания нагруженной струны.

Постановка задачи.Рассмотрим задачу о колебаниях, закрепленной на концах струны (0,l), внескольких точках, которых x = xi(i = 1,2, . . . , n) помещенысосредоточенные массы Mi.Условия в точке xi можно получить двумя способами: если в точкеxi(i = 1,2, .

. . , n) приложена сосредоточенная сила Fi(t), то должнывыполняться соотношения:u(xi − 0, t) = u(xi + 0, t)kuxxi+0xi−0= − FiВ данном случае под Fi следует понимать силу инерции. Подставим вформулу:kuxxi+0xi−0⇒ Miutt(xi, t) = kuxxi+0xi−0Возможен и другой вывод данного условия: распределим массу Mi научастке (xi − ε, xi + ε) c постоянной плотностью δi и воспользуемсяуравнением колебаний для неоднородной струны:∂∂u(ρ + δi)utt =(k), x − ε < x < xi + ε  (1)∂x ∂x iгде ρ- плотность струны.11Пусть uε(x, t) - решение этого уравнения.Интегрируем уравнение (1) по x в пределах от xi − ε до xi + ε и совершаемпредельный переход ε → 0:Miutt(xi, t) = kuxxi+0xi−0для функции u(x, t) = limuε(x, t)ε→0Теперь мы можем полностью сформулировать нашу задачу:Найти решение уравнения колебаний:∂2 u∂∂uρ 2 =(k),∂x ∂x∂tудовлетворяющее граничным условиям:u(0, t) = 0{u(l, t) = lусловиям сопряжения в точках x = xi:u(xi − 0, t) = u(xi + 0, t)Miutt = kuxxi = 1,2, .

. , nxi+0xi−0и начальным условиям:u(x,0) = φ(x)φ(x) и ψ(x) - заданные функции.ut(x,0) = ψ(x)}122. Собственные колебаниянагруженной струны.Основная цель: исследование собственных частот и профилей стоячихволн для нагруженной струны.Для этого мы должны найти решение поставленной в виде:u(x, t) = X(x)T(t)подставляем его в уравнение колебаний:∂2 u∂∂uρ 2 =(k)∂t∂x ∂xи используя граничные условия :u(0, t) = 0⇒ разделяем переменные:u(l, t) = 0 }T″ + λT = 0;ddx(k)dxdt{x(0) = 0, x(l) = 0+ λρx = (k x′)′ + λρx = 0,условия сопряжения дают:X(xi − 0) = X(xi + 0)Mi X(xi)T″ = k X′учтем T″ + λTxi+0xi−0T= 0;и перепишем уравнение в виде:k x′xi+0xi−0= − λMi X(xi)13Таким образом, для функции X(x) получаем задачу на собственные значения:(а):d(k x′) + λρx = 0, k(x) > 0, ρ(x) > 0,dx(б): x(0) = 0,  x(l) = 0,x(xi − 0) = x(xi + 0)  (i = 1,2, .

. . , N )(в): {k x′(xi + 0) − k x′(xi − 0) + λMi X(xi) = 0(краевая задача)Отличительной чертой данной краевой задачи является то, что параметр λвходит не только в уравнение, но и в дополнительные условия.На лекциях доказывается существование бесчисленного множествасобственных значений и собственных функций; положительности собственныхзначений; теоремы разложимости. Данная краевая задача так же, как и задачиобычного типа, сводится к некоторому интегральному уравнению, которое вданном случае является нагруженным интегральным уравнением иэквивалентно интегральному уравнению в интегралах Стильтьеса.Выведем условие ортогональности собственных функций:X1(x), X2(x), . .