Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы), страница 2

. ,в данной задаче это условие будем называть условием ортогональности снагрузкой.Собственные функции для краевой задачи:d(k x′)dx+ λρx = 0,x(0) = 0,x(l) = 0 .ортогональны с весом ρ на интервале (0, l):l∫xm(x)xn(x)ρ(x)d x = 0,  (m ≠ n)014Распределяя каждую массу Mi c постоянной плотностью δi на некотороминтервале xi − ε < x < xi + ε, где ε > 0 - малое число → мы перейдем к задаче особственных колебаниях неоднородной струны с плотностью ρε(x) .Пусть λεn и {xεn(x)} - собственные значения и собственные функции этойзадачи, для которых должно выполняться условие ортогональности:l∫xεm(x)xεn(x)ρε(x)d x = 0.0Выделяя в равенстве интегралы по участкам: (xi − ε, xi + ε) иlnε → 0 ⇒ xm(x)xn(x)ρ(x)d x +M x (x )x (x ) = 0,  (m ≠ n) → называется∑ i m i n i∫i=10условием ортогональности с нагрузкой.(Доказательство возможности осуществления такого перехода опускаем.)Так же условие ортогональности можно получить формально из нашейполученной задачи на собственные значения:d(k x′) + λρx = 0, k(x) > 0, ρ(x) > 0,dxx(0) = 0,  x(l) = 0,x(xi − 0) = x(xi + 0)  (i = 1,2, .

. . , N ){k x′(xi + 0) − k x′(xi − 0) + λMi X(xi) = 0Итак, пусть : xm(x) и xn(x) - cобственные функции задачи на собственныезначения, соответствующие собственным значениям λm и λn , удовлетворяющиеуравнениям:dxmd(k)dxdxdxnddx(kdx+ λm ρxm = 0  ∗ xn(x) (1)) + λn ρxn = 0  ∗ xm(x) (2)15Умножим уравнение (1) на xn(x) и уравнение (2) на xm(x) и вычтем одно издругого ( из (1)-(2)); затем интегрируем последовательно по участкам:(0, x1); (x1, x2), .

. . , (xN , l)cложим и получим:lkxi+1(λm − λn) xm(x)xn ρ(x)d x −∑∫∫xi=00id[x k x ′ − xnk xm′]d x = 0 .dx m nПричем положим, что x0 = 0,  xn+1 = l .Выполняя интегрирование в каждом из слагаемых суммы и объединяячлены, соответствующие подстановкам x = x − 0 и x = xi + 0, получим суммуслагаемых следующего вида:Ai = (xmk xn′ − xnk xm′)x=xi−0− (xmk xn′ − xnk xm′)x=xi+0При этом подстановки при xi = 0 и x = l в силу граничных условийобращаются в ноль.Для вычисления Ai воспользуемся условиями сопряжения:xγ(xi − 0) = xγ(xi + 0)k xi′(xi + 0) − k xγ(xi − 0) = − Mi λγ xγ(xi) ( * )(γ = m, n)Перепишем Ai в виде:Ai = xm(xi)[k xn′(xi − 0) − k xn′(xi + 0)] − xn(xi)[k xm′(xi − 0) − k xm′(xi + 0)],Используя (*) : Ai = xm(xi)Mi λn xn(xi) − xn(xi)Mi λm xm(xi) = Mi xm(xi)xn(xi)(λn − λm) .16Теперь мы можем переписать наше выражение:lkxi+1dλ−λx(x)x(x)ρ(x)dx−x k x ′ − xnk xm′]d x = 0,( mn)n∑ ∫ dx [ m n∫ mi=00xiв виде:l∫(λm − λn)xm(x)xn(x)ρ(x)d x +0n∑i=1Mi xm(xi)xn(xi)= 0,если λm ≠ λn ⇒ возникает условие ортогональности с нагрузкой:l∫xm(x)xn(x)ρ(x)d x +0n∑i=1Mi xm(xi)xn(xi) = 0,  (m ≠ n).Норма собственной функции xn(x) определяется:lxnN= xn (x)ρ(x)d x +Mi xn2(xi) .∑∫22i=10Очевидно, что при разложении некоторой функции f (x) в ряд:f (x) =∞∑n=1fn xn(x), коэффициенты определяются по формуле:l∫fn =f (x)xn(x)ρ(x)d x +0xnN∑i=1Mi f (xi)xn(xi); - задача с такими начальными2условиями решается по обычной схеме метода разделения переменных.Аналогично рассматривается задача о колебаниях стержня ( или балки) приналичии сосредоточенных масс.173.

Крутильные колебания упругогоцилиндра.Условие задачи: Упругий цилиндр выводится из состояния покоя тем,что в момент времени t=0 его поперечные сечения получают малые повороты всвоих плоскостях относительно оси цилиндра.Поставить краевую задачу для определения углов поворота поперечныхсечений цилиндра при t>0, рассмотреть случаи свободных, жесткозакрепленных и упруго закрепленных концов.Решение:Направим ось 0x по продольной оси инерции цилиндра и обозначим черезθ(x, t) угол поворота поперечного сечения с абсциссой x.

Пусть концыцилиндра определяются абсциссами x = 0 и x = l.Напряжение сдвига τ на основании AB001 определяется по закону Гука ,как деформация сдвига:τ = G * φ, где G - модуль сдвига.∂θ∂θОчевидно: Δθ =,Δx,  rΔθ = Δxφ ⇒ φ = r *∂x∂xr1x01φB                   Δx18x+△xПодсчитаем момент упругих сил M, приложенных к некоторому сечению xцилиндра:∂θ∂θ 2∂θM = τrdδ = rGφdδ = G r 2 dδ = Gr dδ = GY;∫∫∫ ∂x∫∂x∂xssssгде Y = r 2dδ - полярный геометрический момент инерции поперечного∫sсечения цилиндра относительно точки, в которой ось цилиндра пересекает этопоперечное сечение.Запишем уравнение вращательного движения для элемента Δx цилиндра(произведение момента инерции на угловое ускорение равно сумме моментовсил, приложенных к телу относительно этой оси:∂2 θΔx · k · 2 = M(x + Δx, t) − M(x, t); где k - осевой момент инерции единицы∂tдлины стержня.Далее используем формулу конечных приращений ( формулу Лагранжа):Пусть f (x) ∈ C (1)(a, b) ∩ C[a, b],Тогда f (b) − f (a) = f′(ξ)(b − a), (подробнее Ильин, Поздняк)где ξ ∈ (a, b),∂2 θ∂θ∂θ∂2 θ⋅ (x + Δx, t) −(x, t) = G ⋅ Y 2 (ξ, t)Δx,Отсюда: Δx ⋅ k 2 = G ⋅ Y[]∂t∂x∂x∂xгде ξ ∈ (x, x + Δx);При Δx → 0,  ξ → x и получаем:∂2 θ∂2 θk ⋅ 2 = G ⋅ Y 2 ;   x ∈ (0, l),  t ∈ (0, T ]∂t∂xили:2∂2 θG⋅Y2 ∂ θ2=a;  x∈(0,l), t∈(0,+∞),гдеa=.∂t 2∂x 2K19Граничные условия:1) Жестко закрепленные концы.θ(0, t) = 0;  θ(l, t) = 0,  t ∈ [0, + ∞],если концы стержня движутся по заданному закону, то граничные условияимеют вид:θ(0, t) = μ1(t);  t ∈ [0, + ∞) - граничные условия 1 рода (задача Дирихле).{θ(0, t) = μ1(t) .2)Свободные концы.а) левый конец:Запишем для элемента Δxзакон движения иперейдем к пределу приΔxΔx → 0:∂2 θ∂θΔx ⋅ k 2 = G ⋅ Y(Δx, t) .∂t∂xПри Δx → 0:∂θ(0, t) = 0 .∂x20б) Правый конец:Аналогично получаем: Δx → 0∂θ(0, t) = 0;∂x t∂θ(l, t) = 0;∂x∂θ(l, t) = 0 .∂x∈ [0, + ∞) → граничные условия 2 рода ( задача Неймана).Эти условия могут быть и неоднородными:∂θ(0, t) = μ1(t),∂x t∂θ(l, t) = μ2(t) .∂x∈ [0, + ∞) .3) Упруго закрепленные концы.а) Левый конец:Запишем для элемента Δx закон движения и перейдем к пределу приΔx → 0:∂2 θ∂θ(Δx, t), где α1 - коэффициент упругости.Δx ⋅ k 2 = − α1θ(0, t) + G ⋅ Y∂t∂xΔx → 0:−α1θ(0, t) + G ⋅ Y∂θ(0, t)∂x∂θ(0, t)∂x=0− h1θ(0, t) = 0,  t ∈ [0, + ∞)где h1 =21α1.G⋅Yб) правый конец:Запишем закон движения для элемента Δx , заключенного между сечениямиl ⋅ Δx и l :∂2 θ∂θΔx ⋅ k 2 = − α2θ(l, t) − G ⋅ Y(l − Δx, t), где α2 - коэффициент упругости.∂t∂xПри Δx → 0 :α2 ⋅ θ(l, t) + G ⋅ Y∂θ(l, t)∂x∂θ(l, t)∂x= 0,+ h2θ(l, t) = 0,  t ∈ [0, + ∞)где h2 =α2.G⋅YОтсюда:∂θ(0, t) − h1θ(0, t) = 0;∂x t∂θ(l, t) + h2θ(l, t) = 0;∂x∈ [0, + ∞) - граничные условия 3 рода( задача Робена).Они могут быть неоднородными:∂θ(0, t) − h1θ(0, t) = μ1(t),∂x t∂θ(l, t) + h2θ(l, t) = μ2(t),∂x∈ [0, + ∞)Начальные условия:{θ(x,0) = f (x),∂θ(x,0)∂t= F(x), x ∈ [0, l] .22Итак, общая постановка нашей задачи имеет вид:∂2 θ∂t 22= a 2 ∂ θ2 , x ∈ (0, l), t ∈ (0, + ∞);∂xθ(x,0) = f (x);∂θ(x,0) = F(x),   x ∈ [0, l];∂tα1 ∂θ− β1θ(0, t) = μ1(t),∂xα2 ∂θ+ β2θ(l, t) = μ2(t);   t ∈∂x[0, + ∞),   a2 =G⋅YK.При α1 = α2 = 0 - получаем задачу Дирихле;При β1 = β2 = 0 - получаем задачу Неймана;В общем случае получаем условия 3 рода ( задача Робена).При α1 = 1,  β1 = h1, α2 = 1,  β2 = h2,  μ1(t) = μ2(t) = 0 - получаем задачу супруго закрепленными концами.234.

Продольные колебания газа в трубке.Условие задачи: заключенный в цилиндрической трубке идеальный газсовершает малые продольные колебания; плоские поперечные сечения,состоящие из частиц газа не деформируются и все частицы среды движутсяпараллельно оси цилиндра.Поставить краевые задачи для определения: 1) плотности ρ;2) потенциала φ скоростей газа; 3) давления p ; 4) скорости V; 5) смещения Uчастиц газа в случаях, когда концы трубки:а) закрыты жесткими непроницаемыми перегородками;б) открыты;в) закрыты поршнями с приближенно малой массой, насаженными напружины с коэффициентами жесткости v и скользящими без трения внутритрубки.Решение:Итак:ρ(x, t) - плотность;p(x, t) - давление;φ(x, t) - потенциал скоростей;U(x, t) - cмещение частиц газа.Выведем основные уравнения гидродинамики ( уравнения непрерывности иуравнения движения) в лагранжевых координатах.24Напомним, что в переменных Лагранжа, каждая физическая точка в течениивсего процесса характеризуется одной и той же геометрической координатой X( X - абсцисса в положении равновесия; x - переменная Лагранжа.)Физическая точка , занимавшая в начальный момент ( в состоянииравновесия) положение X , в любой последующий момент времени находится вточке с координатой: X = x + U(x, t) .

Если мы фиксируем некоторуюгеометрическую точку A с координатой X, то в различные моменты времени вэтой точке будут находиться различные физические точки ( с разнымилагранжевыми координатами x ). Часто используются также переменныеЭйлера x, t; где x - геометрическая координата.Если U(x, t) - смещение точки с Эйлеровой координатой X, то лагранжевакоордината x = X − U(x, t).Пусть p0 и ρ0 - давление и плотность газа в невозмущенном состоянии;p̃(x, t) = p(x, t) − p0;   ρ̃(x, t) = ρ(x, t) − ρ0 - возмущения давления и плотности.1) Выведем уравнение неразрывности ( непрерывности в форме Лагранжа):Общая масса газа, заключенного между выделенными сечениями, неизменяется в течении времени.Пусть M - масса газа, S - сечение трубки. Тогда в положении равновесия:M = S ⋅ Δx ⋅ ρ0Рассмотрим момент времени t.

Левое сечениезаймет положение: x + U(x, t), а правое займетположение: x + Δx + U(x + Δx, t) .xΔxx + ΔxЕсли x - переменная Лагранжа , а ξ = x + U(x, t) - переменная Эйлера, то:x+Δx+U(x+Δx,t)M=S⋅∫x+Δx+U(x+Δx,t)∫ρ(x, t)dξ = S ⋅x+U(x,t)S ⋅ ρ(ξ ∗ − U(x ∗, t), t) ⋅ Δx 1 +[x+U(x,t)ρ(ξ − U(x, t), t)dξ =формула ЛагранжаU(x + Δx, t) − U(x, t);]Δx25где ξ ∗ ∈ (x + U(x, t), x + Δx + U(x + Δx, t));а x∗′ = ξ ∗ − U(x ∗, t) ∈ (x, x + Δx) .При Δx → 0:S ⋅ Δx ⋅ ρ0 = S ⋅ ρ(x ∗, t)Δx ⋅ 1 +[U(x + Δx, t) − U(x, t);]Δxρ0 = ρ(x, t)[1 + Ux(x, t)]  (1)2) Для получения уравнения движения используют теорему об измененииколичества движения.Сила давления p - это проекция на ось x cилы p , c которой часть газа ,лежащая правее выделенного сечения , действует на часть газа, лежащую левее.p(x, t)−p(x + Δx, t)xx + ΔxИзменение количества движения, выделенного участка равно импульсудействующей силы:S⋅x+Δxt+Δtxtρ ξ, t + Δt)Ut(ξ, t + Δt) − ρ(ξ, t) ⋅ Ut(ξ, t)}dξ = − Sp(x + Δx, τ) − p(x, τ)}d∫ { (∫ {Применим формулу среднего значения:S ⋅ {ρ(x ∗, t + Δt)Ut(x ∗, t + Δt) − ρ(x ∗, t)Ut(x ∗, t)Δx} = − S{p(x + Δx, t ∗) − p(x, t ∗)}Δtx ∗ ∈ [x, x + Δx];   t ∗ ∈ [t, t + Δt] .26Поделим на Δx ⋅ Δt и перейдем к пределу при Δx → 0 и Δt → 0:∂∂U∂ρ(x, t)ρ(x, t)=−.∂t (∂t )∂x(2)3) к полученным уравнениям (1) и (2) нужно добавить уравнение газовогосостояния.

Будем предполагать процесс адиабатическим. Напомним, чтоадиабатическим процессом называется термодинамический процесс,осуществляемый системой без теплообмена с внешними телами.Уравнение адиабаты:cpp0 k- показатель адиабаты.p = f (ρ), где f (ρ) = k ρ ; где k =ρ0cvИтак, мы получили полную нелинейную систему уравнений дляопределения функций ρ(x, t),  p(x, t),  U(x, t):ρ0 = ρ(x, t)[1 + Ux(x, t)],       (1)(ρUt)t = − p(x),                     (2) p=p0ρ0 kkρ ,   k =cpcv.