Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы), страница 5

Если в качестве контура взятьокружность r = R:2π∫Hφ(R)dφ =0Используя :dEzdr=r=R4πI0,cRили: Hφ(R) =dE = ikμ Hφ,dr z2I0.iRнаходим:2ikμ⋅ I0 .cRМы должны решить уравнение Бесселя:1E″z(r) + E′z(r) + (α ⋅r−i ) Ez(r) = 0,2(α2 =4πδμw;c2 )при граничном условии :E′z(R) =2ikμI0;iRи условии ограниченности при r = 0 :Ez(0) < ∞ .Общее решение уравнения Бесселя:A ⋅ J0(α ⋅ r −i ) + BN0(αr −i ); где J0 и N0 - функции Бесселя 1 и 2 порядка.47A и B - постоянные, подлежащие определению. Функция N0 имеетлогарифмическую особенность при r = 0. Поэтому из условия ограниченности→ B = 0 ⇒ Ez(r) = AJ0(ar −i ).Коэффициент A определим из граничного условия :dEdr=r=RrikμI .iR 0Для плотности тока j = δEz получим:j(r) =I0α −r⋅ J0(αr −i ) .2πRJ1(αR −i )x −i=1−irфункции Бесселяот комплексного аргумента⋅xОбычно используются обозначения:J0(x −i ) = ber0 x + ibei0 x .J1(x −i ) = ber1x + ibei1x .Чтобы найти выражения для вещественных функций ber x и bei x ,раскладывают функции Бесселя в ряд.Например:x(2)2J0(x −i ) = J0(x i ) = 1 −=1−x(2)42(2!)x(2)⋅ (−1) ⋅ i(1!)8+(4!)2− ...+2+ix(2)(1!)48x(2)224⋅ (−1)(2!)x(2)2x(2)6−(3!)6−2(3!)+ ...;⋅i2+8x(2)2(4!)− ...

=Откуда получаем:ber0 x = 1 −bei0 x =(2)x 2(1!)2(2)x 4(2!)2−(2)+x 8(2)(2!)4x 6− ...,+ ...(3!)2Можно убедиться, что аналогично:ber1 x =3x(2)12x(2)x(2)57x++−− ...21!2!2!3!3!4!.В приложениях также встречаются производные ber′0 x,      bei′0 x:J1(x −i ) =−i (bei′0 x − iber′0 x) .Используя введенные функции, выражение:j(r) =I0α −i2πRJ1(αR −i )⋅ J0(αr −−i ),можно записать в виде:j(r) =I0αber0αr + ibei0αr⋅,2πR bei′0αR − iber′0αRили:Ioαj(r) =2πRber0bei′0αR − bei0αrber′0αR(bei′0) + (ber′0αR)αR 22+i49(bei0αrbei′0αR + ber0αrber′0αR)(bei′0αR) + (ber′0αR)22.Вычисляя абсолютную величину этого выражения, получим:Iαj(r) = 0 ⋅2πR(ber0αr) + (bei0αr)22(ber′0αR) + (bei′0αR)22.Величиной, характеризующей распределение тока по сечению являетсяотношение:j(r)j(R)(ber0αr) + (bei0αr)2=2(ber0αR) + (bei0αR)22.9.

Cостыкованные стержни: задачи, приводящие куравнениям с разрывными коэффициентами, иродственные им ( кусочно-однородные среды,сосредоточенные факторы).Если плотность распределения массы колеблющегося упругого тела илиплотность распределения приложенных к нему сил резко меняется вокрестности некоторых точек пространства, то часто оказываетсяцелесообразным считать, что в этих точках происходит разрыв этихплотностей, и , в частности, переходить к сосредоточенным массам или силам,если в окрестности упомянутых точек плотность массы, или плотность силывелика.

Тогда при постановке краевых задач получаются дифференциальныеуравнения с разрывными коэффициентами и разрывным вынуждающим членом.Если между точками разрыва коэффициенты уравнения остаются постоянными,то задача может быть сведена к уравнениям с постоянными коэффициентами иусловиям сопряжения в точках разрыва. При этом мы имеем ввиду внутренниеточки среды; если же сосредоточенные массы или силы рассматриваются в50граничных точках колеблющейся среды, то это должно быть отраженограничными условиями.Рассмотрим задачу: два полуограниченных однородных упругих стержня содинаковыми поперечными сечениями соединены торцами и составляют одиннеограниченный стержень(это означает, что если один из концов стержня стольудален от рассматриваемой области, то можно в рассматриваемой области и втечение рассматриваемого промежутка времени пренебрегать возмущениями,распространяющимися от этого конца , тогда стержень можно считатьполуограниченным (x0 ≤ x < + ∞ или −∞ < x ≤ x0) ; если же оба конца стержнянаходятся в таком положении, то стержень можно считать неограниченным(−∞ < x < ∞).

Это можно сказать о струне, о трубке, наполненной газом и т.д.)Пусть ρ1, E1 - плотность массы и модуль упругости одного из них и ρ2,  E2 другого.Поставить краевую задачу для определения отклонений поперечныхсечений неограниченного стержня от их положений равновесия, если вначальный момент времени поперечным сечениям стержня сообщенынекоторые продольные смещения в скорости.Решение:Ось 0x направлена вдоль стержня. В состоянии равновесия плоскостьсоединения торцов полуограниченных стержней проходит через началокоординат.

u1(x, t) - продольные отклонения точек первого полуограниченногостержня, u2(x, t) - второго.51Для определения u1(x, t) и u2(x, t) получаем краевую задачу:∂ 2 u1∂t 2∂ 2 u2∂t 2==22 ∂ u1a1 2 ,    -∞∂x22 ∂ u2a2 2 ,    0∂x< x < 0, при 0 < t < + ∞,< x < ∞,u1(0, t) = u2(0, t),   E1u1(x,0) = f (x),    u2(x,0) = f (x),    a12 =∂u1(0, t)∂u1(x,0)∂t∂u 2(x,0)∂t∂x= E2∂u 2(0, t)∂x,    0 < t < + ∞,условия сопряжения= F(x)                      − ∞ < x < 0,= F(x)                     0 < x < + ∞,E1EEJEJ,   a22 = 2 . a12 = 1 ,   a22 = 2 .  ρ1ρ2ρ1Sρ2SПервое из условий сопряжения означает, что торцы полуограниченныхстержней всё время остаются соединенными вместе, второе же может бытьполучено при Δx → 0 из уравнения движения, выражающего второй законНьютона для элемента (−Δx, Δx) составного стержня.Теперь рассмотрим предыдущую задачу для случая поперечных колебанийсоставного неограниченного стержня.Выберем ось 0x так же , как и в предыдущей задаче. Для определенияпоперечных отклонений точек стержня получаем краевую задачу:∂ 2 u1∂t 2∂ 2 u2∂t 2++42 ∂ u1a1 4∂x42 ∂ u2a2 4∂x= 0,   -∞ < x < 0= 0,   0 < x < + ∞0 < t < + ∞,u1(0, t) = u2(0, t),   u1x(0, t) = u2x(0, t),E1u1xx(0, t) = E2u2xx(0, t),   E1u1xxx(0, t) = E2u2xxx(0, t),u1(x,0) = f (x),   u1t(x,0) = F(x),     − ∞ < x < 0,u2(x,0) = f (x),   u2t(x,0) = F(x),    0 < x < + ∞,52a12 =E1J,ρ1S10.

Уравнения гидро- и газодинамики: уравнения малыхакустических колебаний в сплошной среде.Во многих задачах газодинамики можно не учитывать молекулярнуюструктуру газа и рассматривать газ, как сплошную среду. Говоря о бесконечныхмалых элементах объема , мы подразумеваем, что что объем мал по сравнению схарактерным размером системы, но содержит очень большое число молекул.Аналогично, когда говорят о движении частицы газа, то имеют ввиду недвижение отдельной молекулы газа, а смещение элемента объема, содержащегомного молекул, но рассматриваемого в газодинамике , как точка.Пусть газ движется со скоростью v (M, t) = v (x, y, z, t), проекции которойна оси координат обозначим vx, vy, vz . Заметим, что v (M, t) есть скорость газа вданной точке M (x, y, z) пространства в момент времени t, то есть относится копределенным точкам пространства , а не к определенным частицам газа,перемещающимся в пространстве.Введем также плотность газа ρ (M, t) , давление p (M, t) и плотностьвнешних действующих сил F (M, t) , рассчитанных на единицу массы.При таком способе описания говорят, что задача рассматривается вкоординатах Эйлера.Получим прежде всего уравнение движения газа.

Обозначим через ΔVнекоторый объем газа , ограниченный поверхностью ΔS . Равнодействующаясил давления , приложенных к поверхности ΔS , равна −∫ΔSpndσ ,где n -единичный вектор внешней нормали и поверхности ΔS .53Для преобразования этого интеграла воспользуемся формулойОстроградского.(подробнее Ильин Поздняк «основы математического анализа).∫ΔSp cos (n, x) dσ =∫ΔSp cos (n, y) dσ =∫ΔSp cos (n, z) dσ =∫ΔV∂pdV,∂x∫ΔV∂pdV,∂y∫ΔV∂pdV .∂zПоскольку pn = ip cos (n x) + jp cos (ny) + kp cos (nz) , где i, j, k - единичныевектора ортонормированного базиса, умножая первую формулу на i , вторую наj, третью на k и складывая, получим:∫ΔSpndσ =∫ΔVgradpdV .C учетом последней формулы уравнение движения для объема газа ΔV винтегральной форме имеет следующий вид:∫ΔVρdvdV = −gradpdV +ρFdV ,∫ΔV∫ΔVdtdvнекоторой частицы газа, нужно учесть перемещениеdtсамой этой частицы.

Траектории отдельных частиц газа определяютсяуравнениями:вычисляя ускорениеdx= vx,dtdy= vy,dtdz= vz,dtоткуда:dv∂v ∂v d x ∂v dy ∂v dz∂v ∂v∂v∂v∂v=+++=+ vx + vy + vz =+ (v ▿ ) v,dt∂t∂x dt∂y dt∂z dt∂t∂x∂y∂z∂tгде оператор v ▿ определяется следующим образом:v ▿ = vx∂∂∂+ vy+ vz .∂x∂y∂z54Считая , что функции, входящие в уравнение движения для объема газа винтегральной форме, достаточно гладкими, проведем нашу стандартнуюпроцедуру: применим формулу среднего значения и переходя к пределу,стягивая объем ΔV в точку, получим, уравнение движения газа в форме Эйлера:1vt + (v ▿ ) v = − gradp + F .ρВыведем теперь уравнение непрерывности, выражающее закон сохранениявещества. Пусть в выделенном объеме ΔV отсутствуют источники и стоки газа.Тогда изменение в единицу времени количества газа, заключенного внутриобъема ΔV, равно потоку газа через границу:dρdv = −ρvndσ .∫∫dt ΔVΔSПреобразуя первую часть последней формулы по формуле Остраградского:∫ΔSρvndσ =∫ΔVdiv (ρv) dV,будем иметь:∂ρ+ div (ρv) dV = 0.}∫ΔV { ∂tПрименяя формулу среднего значения и переходя к пределу, получимуравнение непрерывности:∂ρ+ div (ρv) = 0.∂tК полученному уравнению движения газа и уравнению непрерывностинеобходимо добавить термодинамическое уравнение состояния, которое мызапишем в общем виде:p = C (ρ), где C - заданная функция.55В результате получается система пяти скалярных уравнений относительнопяти неизвестных функций vx, vy, vz, p и ρ :∂v1+ (v ▿ ) v = F − gradp,∂tρ∂ρ+ div (ρv) = 0,∂tзамкнутая система уравнений газодинамики.p = C (ρ).Колебательные движения в газе с малыми амплитудами называютсязвуковыми волнами.

В каждой точке звуковой волны происходят поперечныесжатия и разрежения газа.В силу малости колебаний в звуковой волне скорость v в ней мала, так что в∂v1уравнении+ (v ▿ ) v = F − gradp, можно пренебречь членами второго∂tρ∂vxпорядка вида vxи т.д. По той же причине относительные изменения∂xплотности и давления газа также малы.Положим p̄ (M, t) = p0 (M ) + p̄, ρ (M, t) = ρ0 (M ) + ρ̄, где p0 (M ) и ρ0 (M )- равновесные значения давления и плотности газа, а p̄ (M, t) и ρ (M, t) - ихизменения в звуковой волне, причем p̄ < < p0, ρ̄ < < ρ0 .Величина p̄ (M, t) - называется звуковым давлением.Пренебрегая в нашей системе членами второго порядка , получимлинеаризованную систему уравнений. Функцию C (ρ) разложим в ряд постепеням ρ и учтем члены первого порядка.