Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы), страница 10

. . . ,     n = 0,1,2, . . . ,(){sinnφ,(где Rnλk(n)rкорни уравнения)мы уже определили ранее, а собственные значения λk(n) естьP1 Jn( λa)[]P2 Jn( λb)[]unk2=P1 Nn( λa)[]P2 Nn( λb)[]= Rn2ϕn1072.:Граничные условия 1,2,3 рода:1 ) Дирихле : граничные условия 1 рода (α1 = 0, α2 = 0, β1 = − 1, β2 = 1) :ur=a= 0,     ur=b=0.Тогда :Rn = Jn( λr)Nn( λa) − Nn( λr)Jn( λa) ≡≡Jn( λa)Jn( λb)Jλr)Nn( λb) − Nn( λr)Jn( λb) ,{ n(}где λ = λk(n) есть k -ый корень уравненияJn( λa)Jn( λb)=Nn( λa)Nn( λb),22Jλa−Jnn)( λb)2 1 (2Rn = 2.1π λJn2( λb)2 ) Нейман : граничные условия 2 рода (α1 = α2 = 1, β1 = β2 = 0) :∂u∂rRn =λ=r=a∂u∂r=0 ,r=bλ Jn( λr)N′n( λa) − Nn( λr)J′n( λa) ≡{}J′n( λa)J′n( λb)Jλr)N′n( λb) − Nn( λr)J′n( λb) ,{ n(}где λ = λk(n) - k - й корень уравнения :λ J′n( λb)N′n( λa) − N′n( λb)J′n( λa) = 0 ,{}1082Rn = 22π2J′n2( λa)n2n21− 2 − 1− 2λb ) (λa )J′n2( λb) (.Замечания:1) уравнениеλ J′n( λb)N′n( λa) − N′n( λb)J′n( λa) = 0 имеет{}нулевой корень λ = 0 .2) Написанные выражения для собственных функций справедливы при λ ≠ 03) Нулевому собственному значению соответствует собственная функция,равная единице.109б) Собственные функции кругового кольцевого сектора .Пусть D - круговой кольцевой сектор: a < r < b,    0 < φ < a .Тогда задача Штурма - Лиувилля будет иметь вид:Δu + λu = 0,P1(u) ≡ α1 ∂u− β1u∂rP2(u) = α2 ∂u+ β2u∂r∂uP3(u) = α3 ∂φ− β3u∂uP4(u) = α4 ∂φ+ β4ur=a= 0,r=b= 0,φ=0= 0,φ=a= 0,u(r, φ) ≠ 0,     αi + βi ≠ 0,    i = 1,2,3,4 .Представим решение в следующем виде:u = R(r)ϕ(φ) .Разделим переменные и получим задачу Штурма - Лиувилля для отрезка0<φ<a:1)ϕ″ + vϕ = 0,P3(ϕ)φ=0= 0,  P4(ϕ)φ=a= 0,   и задачу Штурма - Лиувилля на отрезке для оператора Бесселя :2)r 2 R″ + rR′ + (λr 2 − v)R = 0,   a < r < b,P1(R)r=a= 0,  P2(R)r=b= 0,   .Значит, собственные функции кольцевого кругового сектора имеют вид:unk(r, φ) = Rn( λr)ϕn(φ) ,где Rn = Jvn( λr)P1 Nvn( λa) − Nvn( λr)P1 Jvn( λa) ≡[][]110≡P1 Jvn( λa)[]P2 Jvn( λb)[]ϕn(φ) =Jvn( λr)P2 Nvn( λb) − Nvn( λr)P2 Jvn( λb),[][]{}β3sin vn φ + α3 vn cos vn φvnα32 + β32(α3α4v − β3 β4)tg vα =уравнения :, где vn - n - ый корень уравнения:v (α3 β4 + β3α4) , где λ = λk( n) - k - ый кореньP1 Jvn( λa)[]P2 Jvn( λb)[]v=P1 Nvn( λa)[]P2 Nvn( λb)[]111.в) Собственные функции цилиндра .Рассмотрим задачу Штурма - Лиувилля для прямого кругового цилиндра .введем цилиндрическую систему координат (r, φ, z) с началом в центренижнего основания цилиндра и осью z , направленной вдоль оси цилиндра.В цилиндрической системе координат оператор Лапласа имеет следующийвид:∂2 uΔu = Δ2u + 2 , где Δ2 - оператор Лапласа на∂zплоскости.Тогда задача Штурма - Лиувилля имеет следующий вид:Δu + λu = 0,    0 < r < a,    0 ≤ φ ≤ 2π,    0 < z < l,α∂u∂r∂u+ βuα1 ∂z − β1ur=aα2 ∂u+ β2u∂z= 0,z=0= 0,z=l= 0.В рассматриваемом классе задач решение мы будем строить методомразделения переменных : отделяя переменную z ⇒⇒   u(r, φ, z) = v(r, φ)Z(z) .Подставляем наше решение в заявленное уравнение , записанное вцилиндрической системе координат и разделив переменные , получим:Δ2v + λvv(r, φ)≡−Z″(z)=v .Z(z)С учетом граничных условий нашей задачи мы получаем две отдельныезадачи Штурма - Лиувилля.

Одна из которых решается на отрезке( определениесобственных функций и собственных значений на отрезке) , другая в круге(определение собственных функций и собственных значений в круге ).112Z″ + vZ = 0,     0 < z < l,1)α1Z′ − β1Zz=0α2 Z′ + β2 Zz=lZ(z) ≠ 0 .= 0,(задача Штурма - Лиувилля на отрезке)= 0,Δ2v + χ v = 0,     0 < r < a,    0 ≤ φ ≤ 2π,α2)∂v∂r+ βvr=av(r, φ) ≠ 0= 0,     χ = λ − v,(задача Штурма - Лиувилля в круге)Значит:собственные функции цилиндра имеют следующий вид:(unkm(r, φ, z) = Jnχk(n)rZ (z),){sinnφ } mcosnφсобственные значения цилиндра вычисляются по формуле :λnkm = χk(n) + vm,где χk(n) - собственные значения круга при соответствующих граничныхусловиях ,Zm(z) и vm - собственные функции и собственные значения отрезка присоответствующих ему граничных условиях .113г) Собственные функции цилиндрического сектора.Пусть D - сектор конечного кругового цилиндра :0 ≤ r < a,     0 < φ < a,    0 < z < l .Ему соответствует задача Штурма - Лиувилля , которая имеет вид:Δu + λu = 0,P2[u] = α2 ∂u+ β2u∂rr=a= 0,φ=0=0∂uP4[u] = α4 ∂φ+ β4uφ=a= 0,P5[u] = α5 ∂u− β5u∂zz=0=0z=l=0∂uP3[u] = α3 ∂φ− β3uP6[u] = α6 ∂u+ β6u∂zu(r, φ, z) ≠ 0,     αi + βi ≠ 0,    i = 2, .

. . ,6 .Решение ищем в следующем виде:u(r, φ, z) = v(r, φ)Z(z) .Подставляем решение в нашу задачу , разделяем переменные и получаем двеотдельные задачи Штурма - Лиувилля .114Для функции Z(z) мы получаем задачу Штурма - Лиувилля на отрезке:Z″ + δz = 0,    0 < z < l,1)P5[Z ]Z ≠ 0,z=0= 0,   P6[Z ]z=l= 0,для функции v(r, φ) мы получаем задачу Штурма - Лиувилля для круговогосектора:Δv + χ v = 0,    0 < r < a,    0 < φ < α,2)P2[v]P3[v]r=aφ=0= 0,= 0,    P4[v]v(r, φ) ≠ 0,φ=a= 0,где χ = λ − δ .Cобственные функции цилиндрического сектора имеют вид:unkm = (r, φ, z) = Rnk(r, φ)Zm(z) ,где Rnk(r, φ) - собственные функции кругового сектора 0 < r < a , 0 < φ < α ,Zm(z) -собственные функции отрезка 0 < z < l ,Собственные значения :λnkm = χnk + δm,где χnk и δm - собственные значения кругового сектора и отрезка.115д) Частные решения уравнения Лапласа в полярной системе координат.Введем полярную систему координат (r, φ) и построим частные решенияуравнения Лапласа :1 ∂∂u1 ∂2 uΔu ≡r+=0 ,r ∂r ( ∂r ) r 2 ∂φ 2представимые в виде:u(r, φ) = R(r)ϕ(φ) .Подставляем заявленный вид решения в наше уравнения и разделяемпеременные:r drd (r dRdr )R(r)≡−ϕ″(φ)ϕ(φ)=λ .Получаем отдельно уравнения для радиальной части R(r) и угловой части ϕ(φ) .Рассмотрим уравнение для угловой части ϕ(φ) :ϕ″(φ) + λφ = 0 .Будем считать, что переменная φ изменяется от 0 до 2π ( случай, когдапеременная φ изменяется в меньшей области 0 ≤ φ < α < 2π соответствуетрешению уравнения Лапласа в секторе и будет рассмотрен отдельно) .Если 0 ≤ φ ≤ 2π , то решение ( в силу непрерывности) должно бытьпериодично по φ с периодом 2π .

Значит, для определения функции ϕ(φ) мыполучаем одномерную задачу Штурма - Лиувилля с условиями периодичности :ϕ″ + λϕ = 0,    0 ≤ φ ≤ 2π,ϕ(φ + 2π) ≡ ϕ(φ) при любом φ,ϕ(φ) ≠ 0 .116Как мы уже знаем, решение этой задачи имеет вид:cosnφ,ϕ = ϕn(φ) =   λ = λn = n 2,    n = 0,1, . . . , ∞ .{sinnφ,С учетом известных нам собственных значений λ из рассматриваемогоуравнения Лапласа , мы получаем уравнение для радиальной части :r 2 R″ + rR′ − n 2 R = 0 .Это уравнение Эйлера и его общее решение можно записать в следующем виде:R = Rn(r) = C1r n + C2r −n,    n ≠ 0,{R0(r) = C1 + C2lnr,             n = 0 .Значит, мы построили следующие серии частных решений уравнения Лапласа:cosnφ1) un(r, φ) = r,    n = 0,1, . . .

.{sinnφ }nЭти решения ограничены при r → 0 и неограничены на бесконечности.Общее решение уравнения Лапласа в круге 0 ≤ r ≤ a записывается в видеразложения по этим решениям:∞A0u(r, φ) =+r n{Ancosnφ + Bnsinnφ} .∑2n=11 cosnφ,   n = 0,1 . . .2) un(r, φ) = nr {sinnφ,Эти решения ограничены на бесконечности и неограничены при r → 0 .Они используются при решении уравнения Лапласа вне круга .Общее решение уравнения Лапласа вне круга (r ≥ a) , ограниченное набесконечности , можно записать в следующем виде:∞A01u(r, φ) =+{Ancosnφ + Bnsinnφ}.n∑2rn=13) Третья серия решений:(используется при решенииcosnφ,уравнения Лапласа в круговом1 cosnφ,1,   lnr,   r n,  n ,    n = 1,2, .

. . ,  {sinnφ, } r {sinnφ, }кольце a ≤ r ≤ b )неограничена117при r → 0 , и при r → ∞e) Краевые задачи для уравнения Лапласа внутри круга.Рассмотрим краевую задачу для уравнения Лапласа внутри круга:Δu = 0,    0 ≤ r < a,{P[u] ≡ α∂u∂r+ βur=a= f (φ),     α + β ≠ 0 .Решение рассматриваемой задачи наиболее рационально ( для упрощениявычислений) записать в следующем виде:∞A0rnu(r, φ) =+n2β ∑n=1 P[r ]{Ancosnφ + Bnsinnφ}   (β ≠ 0) .r=aПодставляем наше решение в граничное условие и получаем:∞A0+A cosnφ + Bnsinnφ} = f (φ)  .∑{ n2n=1An и Bn - коэффициенты Фурье функции f (φ) по системе тригонометрическихфункций {cosnφ, sinnφ} , которые вычисляются по формулам:An =2π2π0011f (φ)cosnφdφ,    Bn =   f (φ)sinnφdφ,    n = 0,1,2 . .