Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы), страница 6

В результате получим:p0 +p̄ = C (ρ0) + C′(ρ0) ρ̄, и так как p0 = C (ρ0), ⇛ p̄ = C′(ρ0) ρ.56Таким образом, замкнутая система малых акустических колебаний всплошной среде имеет вид:ρ0∂v= − grad p̄ + ρ0 F,∂t∂ρ̄+ div (ρ0v) = 0,∂tp̄ = C′(ρ0) ρ.П о л у ч и м т е п е р ь у р а в н е н и е о т н о с и т е л ь н о ф у н к ц и и ρ (M, t) .∂ρ̄Продифференцируем уравнение+ div (ρ0v) = 0, по t и получим:∂tρ¯tt + div (ρ0vt) = 0∂vи подействуем оператором div на уравнение ρ0= − grad p̄ + ρ0 F, получим:∂tdiv (ρ0vt) = − divgrad p̄ + div (ρ0 F) .В линейном приближении из p̄ = C′(ρ0) ρ получим:grad p̄ ≅ C′(ρ0) grad ρ̄ .Обозначим k (M ) = C′(ρ0) и f (M, t) = − div (ρ0 F) .

Тогда из трехпоследних уравнений получим уравнение второго порядка относительнофункции ρ (M, t) :ρ¯tt + div (k (M ) grad ρ̄) + f (M, t) - уравнение колебаний в трехмерном случае.(уравнение акустики)В случае адиабатического процесса уравнения газового состояния имеет вид:γcpρp = p0, где постоянная γ - показатель адиабаты γ = v ;c( ρ0 )c p - теплоемкость при постоянном давлении; c v - теплоемкость припостоянном объеме.57В линейном приближении будем иметь:γγρρ̄ρ̄,p̄ = p0= p0 1 +≅ p0 1 + γρ0 )ρ0 )( ρ0 )((p = p0 +откуда:ρp̄ = γ ρ ;ρ0и сравнивая p̄ = C′(ρ0) ρ и p̄ = γk (M ) = γ10.p0 (M ).ρ0 (M )Уравнение диффузии.Пусть u(M, t) - концентрация вещества в точке M вмомент времени t .ΔVM.nρρ наконец получаем:ρ0DδnPSЗапишем закон диффузии: ϕ(M, t) = − d(M ) ∇u(M, t),где ϕ - поток вещества, d(M ) - коэффициент диффузии.Тогда , изменение количества вещества в области ΔV за время Δt :Δm =u(M, t + Δt) − u(M, t)]dV =∫[∫ΔVt+Δt=∫tdτΔV∫ut(M, τ)dτdV .ΔV58t+Δt∫tut(M, τ)dτ dV =Количество вещества, которое вышло через поверхность δ за время Δt засчет диффузии:t+Δt∫Δm1 =tdτ ( ϕ(M, t), n )dS =dτ div( ϕ(M, t))dV =∫∫∫t+Δt∫=−t+Δtdτδ∫tΔVdiv(d(M ) ∇u(M, t))dV .ΔVtЕсли в области ΔV содержатся внешние источники ( или поглотители тепла),то за время Δt они могут выделить количество вещества равное:t+ΔtΔm2 =∫dτ∫f (M, τ)dV , где f (M, τ) - удельная мощность источниковΔVtвещества, которая определяется количеством вещества, выделяемое внешнимиисточниками в единичном объеме в единицу времени.Запишем закон сохранения вещества:Δm = Δm2 − Δm1,Следовательно:t+Δt∫tdτ∫ΔVt+Δtut(M, τ)dV =∫tdτ∫t+Δtf (M, τ)dV +ΔV∫tdτ∫div(d(M ) ∇u(M, t))dV .ΔVПрименяем формулу среднего значения и переходим к пределу устремивΔV → 0,  Δt → 0 :ut(M, t) = div(d(M ) ∇u(M, t)) + f (M, t) .59d = const ⇒  ut = dΔu + f (M, t)  - это означает, что диффузияЕсли:описывается тем же уравнением, что и теплопроводность.Замечания:∂1) Стационарная диффузия= 0 описывается уравнением Пуассона:( ∂t)Δu = −f (M ).d2) При условии, что f ≡ 0 ⇒ мы получаем уравнение Лапласа:Δu = 0 .3) Начальное условие:ut=0= φ(M )( означает, что задана начальная концентрация ) .4) Граничные условия:а)uS= μ(P, t) ,(означает, что на границе поддерживается заданная концентрация ) .б)∂u∂n= v(P, t) .S( означает, что на границе задан поток вещества)60Мы рассмотрели ряд дифференциальных уравнений, описывающихфизические процессы различной природы.

рассмотрим теперь постановкуматематической, дифференциальной модели на примере малых поперечныхколебаний мембраны.61ГЛАВА 2Метод разделенияпеременных.1. Задача о свободных колебаниях однородной струны снеподвижно закрепленными концами.Рассмотрим задачу о свободных колебаниях ( то есть при отсутствиивынуждающей силы) однородной струны с неподвижно закрепленнымиконцами:∂2 u∂t 2=22∂ ua 2 ,  x∂x∈ (0, l), t > 0,  a 2 =u∂u=φ(x), t=0∂tux=0=ux=lt=0T0ρ0= ψ (x), x ∈ [0, l],= 0.Найдем сначала частные решения уравнения вида u(x, t) = X(x)T(t) ,удовлетворяющие однородным граничным условиям. Подставляя решениеискомого вида в уравнение, получаем:1 T″(t) X″(t).X(x)T″(t) = a X″T(t) ⇒ 2=a T(t)X(t)2Так как левая часть полученного равенства зависит только отпеременной t , а правая - только от переменной x , то равенство между нимивозможно лишь в случае:1 T″(t) X″(x)== − λ, где λ - константа ( знак  " − " выбран2a T(t)X(x)исключительно из соображений удобства).62В результате, учитывая граничные условия, получаем:a)X″ + λX = 0,   x ∈ (0, l),{X(0) = X(l) = 0,б) T″ + λa 2T = 0 .Задача а) представляет собой задачу на собственные функции исобственные значения ( задачу Штурма - Лиувилля ) на отрезке [0, l] сусловиями Дирихле : необходимо найти все такие λ , при которыхсуществуют нетривиальные ( ненулевые ) решения X(x) , а также сами этирешения.Найдем решение задачи а) .

Общее решение уравнения:X(x) = Acos λx + Bsin λx .Подставим его в граничные условия:X(0) = A = 0 ⇒  X(x) = Bsin λx, ⇒  X(l) = Bsin λl = 0 ⇒⇒πnλl = πn,   n = 1,2, . . . ,  λn =.( l )2Не ограничивая общности, можно можно взять B = 1.πn xТогда: Xn(x) = sin,   n = 1,2, . . . .( l )Теперь, когда все числа λn найдены, вернемся к уравнению б) , котороенеобходимо решить для всех n = 1,2, .

. . :T″n + λna 2Tn = 0 .Общее решение этого уравнения имеет вид:πnatπnatTn(t) = Cncos+ Dnsin, где Cn и Dn - произвольные числа.ll63Итак, мы получили бесконечно много частных решений однородногоуравнения колебаний, удовлетворяющих однородным условиям Дирихле:un(x, t) =(Cncosπnatπnatπn x+ Dnsinsin.)lllЭти решения представляют собой стоячие волны ( гармоники) :πn xun(x, t) = αncos(wnt − δn)sin,lгде:αn =Cn2 + Dn2,  wn =πna, ltanδn =Cn,Dnπn T0- циклическая частота колебаний n - ойlρ0πn xгармоники , αnsin- амплитуда колебаний точки с координатой x .lπn xСтоячая волна имеет пучности в точках, где sinобращается в ± 1 , иlπn xузлы в точках , где sinобращается в ноль.lпричем:wn =Самый низкий тон, который может создавать струна , определяетсясамой низкой собственной частотой w1 =πlT0и называется основнымρ0тоном.

Остальные тона, соответствующие более высоким частотам,называются обертонами. Какие гармоники возбуждаются - определяетсяначальными условиями.64Вернемся теперь к решению исходной начально - краевой задачи. Оналинейна, поэтому к ней применим обобщенный принцип суперпозиции :если L - линейный дифференциальный оператор, а un , n = 1,2,3, . . . . частные решения уравнения L[u] = 0 , то есть L[un] = 0 , n = 1,2,3, . .

. . , тотогда u =∞∑n=1Cnun, где Cn - произвольные коэффициенты, является общимрешением уравнения L[u] = 0 , если ряд для u сходится и его можнопочленно дифференцировать нужное количество раз.Итак, если ряд:u(x, t) =C cos∑( n∞n=1πnatπnatπn x+ Dnsinsin,)lllcходится и является дважды непрерывно дифференцируемой по x и tфункцией, то он является общим решением однородного уравнения колебаний ( вклассическом смысле).Пока формально подставим этот ряд в начальные условия и найдемкоэффициенты Cn и Dn :u(x,0) =∞∑n=1Cnsinπn x= φ(x),l∞∂u(x,0)πnaπn x=Dsin= ψ (x),∑ n l∂tln=1Воспользуемся ортогональностью собственных функций задачи Штурма Лиувилля:l0,  n ≠ m,πn xπm xsinsindx =l∫ll{ 2 ,  n = m .065lИнтеграл Xn2(x)d x = Xn∫2определяет квадрат нормы собственной0функции Xn(x) задачи Штурма - Лиувилля на отрезке [0, l].Умножим правую и левую части равенства :∞∑u(x,0) =n=1Cnsinπn x= φ(x),lπm xc некоторым фиксированным m и проинтегрируемlрезультат по x в пределах от 0 до l .

За счет ортогональности собственныхфункций от ряда в левой части равенства останется только слагаемое сn=m:на функцию sinCmll00lπm x2πm x^m .= φ(x)sind x ⇒ Cm =φ(x)sindx = φll∫l2 ∫∞∂u(x,0)πnaπn xАналогично получаем для=Dnsin= ψ (x), :∑∂tlln=1Dm =l 2πm xl ^ψ (x)sindx =ψm .πma lπmalТаким образом, формально в качестве решения нашей задачи мыполучаем ряд Фурье:πnatl ^πnatπn x^u(x, t) =φ cos+ψnsinsin.∑( n)πnallln=1∞66Укажем, при каких условиях на начальные условия φ(x) и ψ (x) данныйряд является классическим решением задачи.Для этого он должен быть равномерно сходящимсянепрерывно дифференцируемым.и дваждыИз теории рядов Фурье известна следующая теорема:Теорема: Пусть F(x) - 2l - периодическая функция, непрерывнодифференцируемая до порядка k включительно и имеющая (k + 1) - юкусочно - непрерывную производную.Тогда сходится ряд:∞n k( an + bn ) , где an и bn - коэффициенты Фурье :∑n=1πn xπn x.F(x) = b0 +a sin+ bncos∑( n)lln=1∞Ряд, который мы получили :u(x, t) =^ ncos πnat + l ψ^nsin πnat sin πn xφ∑(πnall )ln=1∞является непрерывной функцией , если он сходится равномерно , а для этогодостаточно сходимости можарантного ряда:∑(∞n=1^n +φl ^ψn.)πnaДля двукратной дифференцируемости ряда достаточно сходимостичислового ряда:∞^ n + n ψ^n .n2 φ()∑n=167Замечания:1) Для того, чтобы воспользоваться данной теоремой , функции φ(x) иψ (x) нужно превратить в 2l - периодические.

Пусть φ(0) = φ(l) = 0 иψ (0) = ψ (l) = 0 . Тогда их можно нечетным образом продолжить наотрезок [−l,0] , а затем достроить с помощью преобразования сдвига 2l- периодические функции , за которыми сохраним обозначения φ(x) иψ (x) .2) Для того, чтобы ряд∞2 ^nφn + n ψ^n ) cходился достаточно, чтобы∑(n=1функция φ(x) была дважды непрерывно диффернцируема ( поэтому исходнаяфункция φ(x) , определенная на отрезке [0, l] , помимо нужной степенигладкости, должна удовлетворять условию φ″(0) = φ″(l) = 0 , и имелатретью кусочно - непрерывную производную вторую производную.При меньшей гладкости функций φ(x) и ψ (x) ( для непрерывности u(x, t)достаточно, чтобы φ(x) была кусочно непрерывно - диффернцируема ,φ(0) = φ(l) = 0 , а ψ (x) ограничена, ряд :u(x, t) =^ ncos πnat + l ψ^nsin πnat sin πn xφ∑(πnall )ln=1∞представляет собой обобщенное решение задачи.682.

Задача Штурма - Лиувилля. Задача для уравненияЛапласа. Отрезок , прямоугольник, прямоугольныйпараллепипед.a) Отрезок ( одномерный случай) .В одномерном случае рассмотрим общую схему нахождения собственныхфункций и собственных значений следующей задачи Штурма - Лиувилля:Ly + λρy =dydk(x)dx (dx )P1(y) = α1 dx − β1ydyP2(y) = α2 dx + β2 ydyx=0x=l− qy + λρy = 0,   0 < x < l,= 0,                            α1 + β1 ≠ 0,граничныеусловия= 0                             α2 + β2 ≠ 0 .Обозначим через {y1(x, λ), y2(x, λ)} фундаментальную систему решенийdydуравнения Ly + λρy =k(x)− qy + λρy = 0 .

Фундаментальныеdx (dx )решения y1 и y2 зависят от λ , как от параметра. Общее решение нашегоуравнения можно записать в виде:y(x) = C1y1(x, λ) + C2 y2(x, λ) .Подставляя общее решение в граничные условия :C1{α1y′1(0, λ) − β1y1(0, λ)} + C2{α1y′2(0, λ) − β1y2(0, λ)} = 0 ,C1{α2 y′1(l, λ) + β2 y1(l, λ)} + C2{α2 y′2(l, λ) + β2 y2(l, λ)} = 0 .( однородная система линейных алгебраических уравнений C1 и C2 ) .Данная система имеет нетривиальное (ненулевое решение) только в томслучае, когда ее определитель равен нулю:дисперсионноеα1y′1(0, λ) − β1y1(0, λ)   α1y′2(0, λ) − β1y2(0, λ)= 0 .