Н.А. Боголюбов - ММФ (методические материалы), страница 4

Электромагнитные колебания в полых резонаторах.В последние годы в радиотехнике получили широкое распространениеобъемные резонаторы (эндовибраторы), представляющие собой металическиеполости , заполненные диэлектриком, в частности воздухом. В эндовибраторахмогут существовать стационарные электромагнитные поля ( стоячие волны ),называемые собственными электромагнитными колебаниями.В радиотехнике ультракоротких волн применяются эндовибраторы весьмасложной формы.

Общая проблема определения собственных колебанийэндовибраторов состоит в ее сложности, но для простейшей формы решениеполучается в явном виде. Так как стенки изготавливаются из хорошопроводящего металла, то при расчете собственных колебаний обычнопредполагают, что стенки идеально проводящие.Поправки на конечную проводимость можно получить, используяграничные условия Леонтовича. Будем предполагать, что стенки эндовибратораявляются идеально проводящими и все велечины поля меняются во времени позакону e −iwt.Остановимся на некоторых вопросах этих колебательных систем(эндовбраторов).а) Собственные колебания цилиндрического эндовибратора.Проблема определения собственных электромагнитных колебаний состоит внахождении нетривиальных решений уравнений Максвелла ( будем опускатьмножитель e −iwt ) , то есть в определении собственных частот w , при которыхсистема однородных уравнений Максвелла с однородными краевымиусловиями имеет нетривиальные решения, а также самих нетривиальныхрешений.В этом случае уравнения Максвелла имеют вид:rotH = − ikE,wrotE = − ikH,                                                                                     k = .divE = 0,cdivH = 0,38Внутри полости T , на поверхности Σ которой выполняются условия:Et = 0или∂Hv∂v= 0 можно показать, что эти условия эквивалентны.Задача: провести расчет собственных колебаний для эндовибратора,представляющего «отрезок» цилиндрического волновода произвольногосечения, ограниченного двумя боковыми стенками: z = ± l ( ось z параллельнаобразующей цилиндра).Решение:Как и в цилиндрическом волноводе, в рассматриваемом эндовибраторевозможны колебания и электрического (Hz = 0) и магнитного типа (Ez = 0) .Для волн электрического типа положим:E = − graddiv∏ + k 2 ∏ ;{H = − ikrot∏ ;⇒=⋅ i ( i - единичный вектор, направленный по оси z ) ∏ ∏ z zполяризационный вектор - потенциал, у которого отлична от нуля лишьсоставляющая по оси z ⇒ Hz = 0 .гдеФункция∏удовлетворяет волновому уравнению: Δ∏+ k2∏= 0.Выберем на поверхности Σ локальную прямоугольную систему координат(s, v, iz), где v - единичный вектор, направленный по нормали к поверхности, аs - по касательной к контуру C , ограничивающему перпендикулярноесечение s цилиндрического эндовибратора.В силу граничных условий Et = 0 имеем:EsEsΣΣ=∂2∏∂s ∂z=(∂2 Π∂z 2Σ= 0,+ k 2 Π)Σ= 0.39Чтобы равенства были выполнены, потребуем: ΠПри z = ± l из Et = 0( ∂v∂HvДля их выполнения достаточно:)=0∂∏∂zEs⇒ Evz=±lz=±lΣ===0 .∂2∏∂s ∂zz=±l∂2∏∂ v ∂zz=±l= 0.= 0.= 0; таким образом переходим кz=±lследующей краевой задаче:Найти нетривиальные решения волнового уравнения:Δ2 ∏ +∏∑∂2∏+ k 2 ∏ = 0,= 0,∂∏∂z∂z 2z=±l= 0.однородные граничные условияб) расчет электромагнитной энергии собственных колебаний.Вычислим энергию электрического и магнитного полей в стоячей волне вцилиндрическом эндовибраторе.Для волн электрического типа, мы положим:E = − graddiv∏ + k 2 ∏ ,{H = − ikrot∏ .40Зависимость E и H от времени по закону e −iwt и взяв только действительнуючасть, мы получим:Ex =Ey =Ez =∂2∏∂z ∂x2∂ ∏∂z ∂ y(coswt,Hx = − kcoswt,∂2∏∂z 2Hy = k+ k 2 ∏ coswt .)∂∏∂∏Hz = 0 .∂xsinwt,∂ysinwt,Для вычисления энергии электрического и магнитного полей воспользуемсяформулами:εelect(t) =c8π∭E 2dτ,Tεmagn(t) =c8π∭интегрирование ведется по объему T эндовибратора.H 2dτ,TИспользуяA 2c(H, z) = An,mψn(H )fm(z) ⇒ εelect(t) =cos2wt∏n,m8πl2S2−lВычисляя, получим:l∫[ f′(z)] dz = f f′2−lll−lll−l−l−f f′dz = (k 2 − λ) f 2dz = k 2 − λ;∫∫lf″ + k 2f ) dz = λ 2 f 2dz = λ 2 .(∫∫−l2l∂ψ∂ψ2+dσf′(z)2dz + ψ 2dδ ( f″ + k 2f ) dz ;∭ [( ∂x ) ( ∂y ) ] ∫∬∫−l41S−llВ силу нормировки f :∫f 2dz = 1 .

Для вычисления интегралов по S−lвоспользуемся первой формулой Грина , уравнением для функции ψn ,граничными условиями и условием нормировки :∂ψ∂ψ∂ψ2+d xdy = ( ∇2 ψ) dδ = − ψΔ2ψdδ + ψdS =∬ [( ∂x ) ( ∂y ) ]∬∬∫ ∂v22SS=λ∬Scψ 2dδ = λ; где ∇2 - оператор «набла» в плоскости S , Δ2 - двумерныйSоператор Лапласа.В результате получим выражение для электрического поля:A 2c 2εelect(t) =k λcos2wt .8πДля магнитного поля аналогично получим:A 2ck 2∂ψ∂ψ2εmagn(t) =+d xdy = ( ∇2 ψ) dδ =∬8π ∬ [( ∂x ) ( ∂y ) ]22S=−SdψψΔ2ψdδ + ψdS = λ ψ 2dδ = λ;∬∫ ∂v∬ScSA 2ck 2получаем: εmagn(t) =λsin2wt .8πПолная энергия энергия электромагнитного поля не меняется во времени иA 2ck 2равна: ε = εelect(t) + εmagn(t) =⋅λ.8π42Из формул энергии электрического и магнитного полей:εelect(t) =εmagn(t) =A 2c 2k λcos2wt,8πA 2c 22kλsinwt8π⇒ в стоячей волне происходит взаимноепревращение электрической энергии в магнитную, причем:1 A 2ck 21εelect = ⋅λ = ε - средняя за период энергия электрического поля,28π2которая равна средней энергии магнитного поля:1 A 2ck 21εmagn = ⋅λ = ε.28π2в) Возбуждение колебаний в эндовибраторе.Для возбуждения поля в эндовибраторе внешним источником нужно ввестичерез щель в его оболочке элемент связи.Таким элементом связи может быть либо виток, либо стержень,действующий, как маленькая антенна.

Для того, чтобы элемент связи невозмущал поля в эндовибраторе, необходимо, чтобы его размеры были многоменьше длины волны.Возможны и другие способы возмущения:пример: пучок электронов, пронизывающий полость эндовибратора черезотверстия в его стенках.Решение задачи о возбуждении эндовибратора антенной, помещеннойвнутрь, или, в предельном случае, элементарным диполем, требует учетаконечной проводимости стенок, иначе установившийся процесс невозможен.Учет конечной проводимости стенок может быть произведен с помощьюусловий Леонтовича.43Итак, рассмотрим задачу о возбуждении сферического эндовибраторадиполем.Условие задачи: пусть в центре сферы радиуса r0 помещен диполь,колеблющийся с частотой w и амплитудой 1 и направленный вдоль оси z.Требуется найти поле внутри сферы, учитывая конечную проводимость стенок.Решение:В этом случае поля E и H можно выразить через функции u :Er =iρsinθEθ = −Hφ =iρ∂u∂θ⋅⋅∂∂usinθ,∂θ (∂θ )∂∂uρ,∂ρ ( ∂θ )остальные компоненты Eφ, Hr, Hθ = 0 ..Так как диполь направлен по оси z (θ = 0), то поля, очевидно, не должнызависеть от угла φ .Функция u удовлетворяет уравнению:1∂1∂∂u2 ∂u⋅ρ+⋅sinθ+ u = 0, где ρ = kr, причем uρ 2 ∂ρ ( ∂ρ ) ρ 2sinθ ∂θ (∂θ )имеет при ρ → 0 особенность вида:ie ikrik 2e iρ=.r2ρ2На поверхности сферы (ρ = ρ0) должно выполняться условие Леонтовича:Eθ = aHφ     a = μ ⋅ k ⋅ di; d=2c2πμδw- эффективная глубина скин-слоя.Из постановки задачи и условия Леонтовича следует граничное условиедля функции u :∂ρu − iρ0au= 0;                                       (1)[ ∂ρ ( )]ρ=ρ044или : ρ0∂u∂ρРешением+ (1 − iρ0a)uρ=ρ0ρ=ρ0= 0.1∂1∂∂u2 ∂u⋅ρ+⋅⋅sinθ+u =0 cρ 2 ∂ρ ( ∂ρ ) ρ 2sin2θ ∂θ (∂θ )особенностью при ρ → 0 является функция :u = − k2πH (1)ρ + c ⋅ J 32 (ρ) ⋅ P1cosθ, где P1(cosθ) - полином3 ( )()2ρ2Лежандра первого порядка, H (1)- функция Ханкеля первого рода,32J 32 -функция Бесселя ;21⋅ e iρ−1 ;( iρ)πρP1(cosθ) = cosθ, H (1)ρ =3 ( )2J 32 (ρ) =2 sinρ− cosρ .)πρ ( ρПостоянная c определяется из граничного условия:1−c = − e iρ0 ⋅[icosρ0ρ0+ 1−(1ρ02−iρ0+ a( iρ1 − 1)01sinρ0ρ02 )− ia(sinρ0ρ0) − cosρ0];полученное решение можно использовать для определения величины потерьв стенках.πМощность, поглощаемая в стенках Q =2μwdHφ 2πρ02sinθdθ16π ∫0вычисляется и равна:μwk 4d1Q=⋅6B − ia A2; гдеA=B=sinρ0ρ0cosρ0ρ045− cosρ0;+ 1−(1sinρ0 .ρ02 )Если диполь расположен не в центре сферы , то расчет полей сильноусложняется, однако решение может быть получено в виде рядов.8.

Скин - Эффект.Переменный ток , в отличие от постоянного, не распределяется равномернопо сечению проводника, а имеет большую плотность у его поверхности. Этоявление называют скин - эффектом.Рассмотрим для простоты бесконечный, однородный , цилиндрическийпровод (μ = const,  δ = const), протекающий через сечение провода, известен.Пренебрегая токами смещения , по сравнению с током проводимости (внутри проводников , например внутри металлов, плотность токов смещенияничтожна мала по сравнению с плотностью токов проводимости: jcm ≪ j = δE .В нашем случае последнее условие эквивалентно требованию: εw ≪ δ исчитая процесс установившимся, то есть зависящим от времени по закону e +iwt ,получим , сокращая на e iwt , уравнения Максвелла:rotH ={divH = 0,divE = 0,4πδcE,rotE = − ikμH,k=w.cВводим цилиндрическую (r,  φ,  z) систему координат.

Так, чтобы ось zсовпадала с осью провода. Тогда в силу осевой симметрии тока , все велечиныможно считать зависящими только от параметра r .В нашем случае, если вектор E направлен вдоль оси z , то из уравненийrotH =1r⋅4πδE, и rotE = − ikμH следует:cdrdr (dEdr z⋅ Hφ) =4πδEz,c= ikμHφ .46Исключаем Hφ и находим:dEz4πδμk1 d⋅r=iEz .r dr ( dr )cВведем граничное условие на поверхности провода при r = R ивоспользуемся тем, что нам известен ток I0 протекающий по цилиндру. Запишемпервое уравнение Максвелла в интегральной форме:∮Hsds =c4πI , где c - контур, охватывающий провод, Hs - потенцтальнаяc 0составляющая вектора H на контуре c.