Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010)

Ук1К;) 17.130)0107)НЖ Ы'К 22.01!г 70 :1-,'1о2 1' гг г гг ,г-р физ.-мат. Наук, проф. Л. !. )1стггягг),15!гггзгггггг кий шн "оотг ряаиотг хггики. згн ктрониьи и;иоомп гики 1Тггхгги" гг гкгзй уииш рггг гг г,11: ,г-р физ.-мат. Наук, дои.:1. В. з"гчгг)гггг ! ап. ь:н1я, ц )ой иыгип й мя тематики Е1г)гггггзг~-ззгг з,гхиингй гш,кегп ргюй ака,гемшг пм.!1. Е. ГК) ьоюгпг гог Захаров Е.

13. 3-:1Б2 У!Нгшн ннн чятемп)и нгкой Фггшки: з нчнгик Л,нг гг)71. и и ш. у ге6. )згзегг ний ' !211. Захаров. И.11..1мгприева. С. И, Орлик. М.: Изагзггхегг г кий ггг ггзр яЛгсггл«мгггг». 2010. 020 г. (Угггзгзгрггметгкий ун Биик. Сгзр. 11рик.ганши мглехгятг1ка и инфг)рмя'Гика], 1Б13к~ 070-1 -70310 — 0)000)-2 В учебнике ирелстввдеи мспсрипл д:и псрвовгчальяого изучсгггггг ур.згзасиии математической йгизггки, даны м асма)и ксьпе ггосгзгногзкгг заигч,г )я урависиий в частных производшьа 1)еппоароволиости, Лагывса.

волиового), приведены локазатс.авва гсорсм слиисгвсппосги, супгесгвогзггггигг и усгш1- чивосги их регпеггий. ошзсвиьг мегоггы постросиия реигсггий Лагг стулеитов вькппих учебиыл завсдеиии. УДК 5! 7.958(075.8) ББК 22.31! 973 Огю нг а г чанг пг агпн к вны зпя нн, яг ни н г га пьына ыьгп 11запнг згг г ьзггп г нгпггн ',1 ~ и и ~. ". и гч« «г 1» г и ~ дг пзг з~гзгтг г. бог ггкго нн нрнг гдыди гн ог ынл пп пнн ;г йо и гнг 1.

И ..1игпрнг гнг И Н . Ор па Г' И, ваги гг'; Г)Г)ргг ювягг пн г я г гззг"гггкггзг яып р Лкп к ми» '919 18ВЫ 979 В 769В авва 9 г Г)1пггз ~ пю И нного ымггг п(п~г -якз г.ппя '019 111ЕДИСЛОВИЕ $) «и'3)о)!! Ий)$)ю)О у'нб)и)кй Принят мя 1( ри!Ь) к) рсй 4:) р)и)1)е- 3(~!'! )11! ! (')3)и'ич(скол (!)и)ики» д(ю ("Гъдсн ГОВ (!)йку()ь)()ГВ Вынис- «,1«)Й м лема)ики н кибернетики (В..")1$11х! Москонского )о- .!.($» ! ш) но)о уппяергигсты им. )!.В.„"!Ох!О))ого))я. 11орядок ы 3!ня с.н.)уклшш: )3 О«()иш гинньн' процессы (г()ьлоироао)1$)оспь, Г)иффу)))я1; » .)яцио)шрные про)и(ты и яы.нння ()(илоиронодность, ).

««3!»» )яп)кй1: » « . Ин)яые проне(сь) (ко «ояння г)( рж)о) и. ш с)руны. )вуко!(м 3.( «бйшш1. 1$ ( «бнике Выведены диффср(л(циальнь«! ура)3$$($131)$ В )асг- !3!»Н)')Волн) )х. ОиигыашО!ц)н' укаяйииыс фи*.)и'н)гк)н', процесы, (»!( (х н)11)к ны с!)1133!'И»'ки(3 и х)3!'Гсхнг!$!")еск)$(' ире )НОлОжшп1я. 3,«;н)нн В огнон( Выйолй, аи)х ) райн(3)ий: ))ро))е,)(но срйы)ни)« !) (ш В о,)ной, ш!ух и трех ирострян(тненных переменных: разь(мьн:и Лоно.ии)гс,н иых ус()ОВИЙ крй(ыых, нй )й:)ы)ых; н (г н:)ы адани ( кр:ни»ми условиями первого. Ви)ро).о и тре- ! ! ('3 О !)и!131; к.!а( ('ифиц$)роыйны лиш'.ины(' О и«»'.1ГГ(х1ьцо с ГИ1лних «р ш;(ю, )ных )иффереи)$)н)ль))ь)о уравн( нил в)орого порядка и н» 31»» ны их канони иски( формы; .ишо оцрс «ление хйрякт(- ! !«! Ик лифференцияльных урайнений и обсуж;нна их ро:и* В «» инншках )й,)а*).

! ) 1)ш )ш главных ц(с«Й у и ника сформу. )ирои« ! ь мя и мя! н'!»(*3(3)с *3алй')и „1.1я нр(к'и'Й)них уряш3('И3)п ийр)!боли'и'с!О)ГО. 331!! 313« ского и)й)нсрбо шн(к(ли )И1«)В и лй)1 (л)р(.ил(!Н)я их « «и «с«их !» В«ний. $«я )ит(х )Нное ши)мйн)н' у,«хи 3)О,1окй !йн г)В) г( ор( м (;нш()Вени()ети ршнений рягсч и рива( мых )адан '; ! ш )и Коши. нынялы)о-красных 1)я,)я $!. я также Вопрос))м гуи«шания к иихигн ского решсшш и (то устой ншшс Ги. !йяря )у нити н:гкими р(и смо)роны обобин'нньн' ренн ния нй интуи)и«и(3)1 УРОВ1«' Х!ЯГ(!Мй Ги*«(КОЙ ГТРО)О("1 И.

!! ( и б)ппа" цо ц»)био оиисаны ш тоцы р)г) «ленин )н р( меиш)х !3)11)кций Гри))а, а,).ш )юлноао) и уряи)н;ння м('и)д распро«!Ыня»нпи)и я Волн. В (яя.)и с ря:!оором прих«роя упом)н)угы некоторьк снецш<льпы«ээ< нкннп мат< эп<<пческой физики, ошико авторы со;нпп .н,н< стнрню«.я нх н<бегатэс сн< цнальным функ!и<ил! и нх <йн<м<'н<'пинк! '<и, эжен быть !к!саяпин <эгэ<<'лы<ый кэ рс и<к л" <ц ~нн»шш, <! <кн о о <иаков! и ния с нр<дхц том. '1исгпии! и эн"<;н.! эк нн нпн <нда ! математической физики в книге пе < 6< ! е!...пи<э<< и.

<<! и<н'<). и'тнпй о<пепе н!)енОД<эваниэ! уоедил ивто1э<)в в '!<эх<, что < о<к рэк о!не курса «Уравнения математи <вской физики» певозмож<<о <и ре, сап студенту без демонстрации пшр<э ьайш<то много< эбэ<э<сн<я конкретных задач данной учебной дисциплины. 11озтому в у и бник вклкэчено значительное число зала ! для самостоятельного решеэшя.

Следует подчеркнуть, гго это не отм< пяет пеобхо„<ив<ость неволь:к!Ванин задачников. Учебник снабжен приложением, в котороь! содержатся и<'- которые справочные сведешля из ма гсмэ! н н.ского анализа и линейной алгебры, важные понятия и <1эакты, которые шракэт суп<естькэпную роль в основном тексте. Книга моэкет быть использо<эана для чтения курса лекций, а также при проведении семинарских занятий. С<ту, кчпх приступакппнй к изученшо курса «Уравнения ма <емати и"скоп физики», должен знать основы математического анализа <вкэ<ю <а<< теорию функциональных рядов, рядов и интеграла Фурье, несобствшшых интегралов и интегралов, зависящих от параметров, злементы векторного анализа) и уметь реп<а< ь за,<ачи для простейших обыкнов<шцых дифференциальных уравнений.

Знание основ теории функций комплексного переменного не предполагается. В некоторых случаях придется вспомнить сведения из линейной алг< бры. Глава 1 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1л данной г, шве приведена классификация основных уравнений магематической физики и даны некоторые дополнительные условия.

с помощью которых можно определить конкретное решение. 1.1. Уравнения математической физики и описываемые ими процессы Уравнения математической физики описывают физические процессы и явления средствами мателштического анализа: они выраж пот физические законы в виде интегральных или дифференциальных соотношений. При этом всегда делаются упрощакь шие предположения: среда, в которой протекает процесс. рассматривается как сплошная; характеризующие ес фпзиче< кис величины считаются функциями координат и времени, пепрерывнымп и досгато шое шсло раз дифферепцируемыми: некоторые величины пре„шолагаются малыми и т. д. Если интт ресуюппаи нас вслп шна завпс1гл от нескольких независимых переменных.

то получаем для пее дифференции;иыюе йриененпе о чвгшшых пропзеоон ькт. 1.1.1. Распространение теплоты в стержне. Уравнение теплопроводности с одной пространственной переменной Части тела могу г обмениваться теплотой, которая передается от более нагретой к более холодной. Рассмотрим шюпесс теплопроводнос|и в стержне .- обмен тепловой энергией между со- с(дпимп чйстями (т<ржпя. Нй||рйвим «с| Ох !5,1«$|ь (-1< рж»я и обо)пй !им '!ер<5 $1(<г. /) Тем!При гуру с|хржпя в точке х в мом< пт врем()п|1 /. П!Кдпо.|йгй<'и. по тс>ш(!ипурй <т(ря(ПИ!«|явися| «т коордипй,г // и =..

Пр<'дполо)кепие об одпомсрпоств $|роцсс(й и( редйчи т<чпогы очпй пп 1. |то в каждый момент вр( мепи и юпрмиче( кис сс и пия (т('рж|!я совпадают < его пош'.ре шыми с(- *и" виями х = соп.'! . и в('е 1$«п('ре*и|ы(' ('е"«'пия ("!('ржнв О/ип|йковы и пмекн плошадь <). Если и |мепеппе г< мпсрйтуры происходит только вс.п|дстви( ).( п:п»|ров«д»ости, |о со|:|й(|по:|в«опт < окрйие пия й|«ргии д.|и у 1<п тки (<г< ржпя 1г$, .!5,~. тепло!)йя»пергпя. затрачен пйя ий пиме испи( т( ыпсрйтуры втОго учйс 1 кй 15 тс «иие иром( жу ) кй време)ии ~/$, /)).

рйвпй КО|!ич('("п)у тсп„!Оты. И«.!у"«'шпик|у у'"и!Стком /х)$.:г;1:)й го же' !)рек!я '«'рев с|о ко<п<ы.,ЭТО:)и!5'$!гг, что |олько потоки т< $|л«гы и реч коицы:г = — х, и т = — х выде и ипо- ГО У!$!С)К<$ О|ЦЯЬ<С)|Я1ОТ И |МС!«П1«' Ч! Т., /). !!О!ОК '|СИЛ«П| '«Р<Т5 п«п('р!"1п(к.' се" 1спи(' сг<ржпя '<<' к«ОО'|ипй гой .<) Ит«к«5!и'$('- ство и п. «)и ы. Иересекйкицей даппое се и пие вдоль осп Ох и единицу времени.

/1.«т|нос|п< ю иит()к(1, )!|спи|<)т)<ь< И' /$5 !о |ке х) $«55! «5<<с) ( я ИО!Ок '|е р(х| (';ип1ицу п,|О1цй,'|и п<н|( р('чп«ж) ( ('- 'и'пия. О'и'видпО. 'п«$$('реди"|й '1сплОты прОисход|$т О)' '1<п"| и стержня с болея. высокой |емперйтурой к ча( !и стержня с и< иьп«)п тем|и рйгур«!!. '.+)о) (!)йкг вырйж«тс)5 ййк«п« |фуры'... свявывйкпцим И' и и( И<= /<'".

дх где / > О ко)(!)фш<и(ит !Ышопров«дпости, который )оигйк|<|в рипует мйтерийл ст( ржпя. ПОтОк тсп:и)ты, во)кйкв!!Сй пи у "ш<т«к /х$. Л)~ 15 м«м<п'1' и!5('м(И$и //и Гх, т) (/<$ !.х. Т) т. р<5$5(п /)$!' — ! — . !!ус) вудс,п,пйя гсп„юдх дх емкость !теплоемкость едипи||ы мйс(ы одиоро,|ного |я пк спш! с)т/)жпя < = сопя! > О. об<ьемпйя плотпость масс ы р =- с(пы< > О ..Гя< и ковффицпепт теп:«и!роводпои|и /5: -- («!$ь< > О, /<51-- Д . 1'!Ю;! 1' /р1 = —,. [/<) .== . тогд<! баланс тпеплотпы;!. П| /х), х,) <и' см (' ('рйд и //!.

/,1 можно:)вши йть в ви,и 6 , / ~ ди(хт) (/т ,1)' ~ ср/и(х./; ) — и(х,/<)]<1<( —.. Я ~ ~(И'(хз,т) — 1У(ге.т))(/т —.. 1, ди(х,т) — /; дх ( 1 . ! ) ! 1р( дп(ю!йгйя, 'Г!О у фу<'нк!<ин и(:Г,. 1) иые!отея неп/х'рывньге прО- пзкодпыс и, и и,, запишем левую н прйвун) части равенства (1.1) по интегральной теореме о грелнем, разделим нй х — х, и на 17-- — 1,, й зьтг< и стянем отрс юк )х:„з„! к 7 о зку х. й О<резок )1п 1!) к чочку 1..

Тогда баланс теплоты можно пред<)сакить в вн,<с и, =- лчи„, у где а .=- — (В = со!ж1 > О). Ч) Эч'О дчн))ф<'рспп!из.ч! Пес у/)йв!и'ни<' относит(:<ьно и(х. 1) пй'!к!- кается уравнением гпеплопроводносгпи. Температура стержня может изменяться нс только из-:зй пй. пгшя !з нем тенл<н(роводности, но и от действия исто шиков (или !П)ГЛО7'и!(сн."й) т('плоты В сг<зрж!пп п<<"зь Оно и('. 'заки('ит От тек!- нсрйтуры сч< ржня и(х, 1). Для описания действия исто шиков ченлоты надо указать, как (н<н распр(дслены в,<оль стержня и КйК ИХ МОПДНО(гГЬ:ЗВВПСИ! ОГ ВРЕМСПИ. БУ,!ЕМ С*!ИтатЬ ПЗВ<етНОй обьемпую плотность мгнозз<зн!<ых исто !Пиков теплоты Е(х, 1) /козорйя !и зйвиснт от у «х).,Эчо;п<й зиз. *<то нй у !Всч к( (х, х -+ + дх) зй время (1, 1 -~ (/1) выделится зсплоча Г(:г, 1)О</1<11.