Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010), страница 9

С;кловагельно, иа Решении гх* уршзнени( име("т парябозшчесюш .пш. 2. ФиксиРУем Решение гх**. На этом Решении Вн = 1, а,х:== ае, = = О, и(в =- 1. поэтому квадратичная форма, ?1.31) уже приведена к канонич((кому виду () =(хх +(?х. Следовательно, на решении и"" урявнсшхе имев г эллиптический тип.

3. На решении и'"'"* получаем ан = 1, ахх = а.„= О. аех = — 4. ?) = (!)з — 4(з,', поэтому на а*"" уравнсзше имеет гиперболический х пп. ?1 тр(х рассмотренных случаях коэффициенты а„не зависели (г! х и гх. Поэтому В каждОМ и 3 хп ххх с!)" ХясВ ) рявнсиис им(схо Один и тот же тип во всех гочках !х. д). ° 1.2.5. Характеристики. Классификация уравнений с двумя независимыми переменными с помощью уравнения характеристик Приведение к канони и"( кому виду квадрахичной формы ?), отис Хающ(й уранн(нин) (!.2О), позволяет записать урахзненис в наибол(( простой канонической форме в каждой фххксгхроааноа ии)чкс ?хх, ..., .(,„).

Но оно н( дает способа нахож,!синя шмсны шззявисимых иерем(ншах сразу В некоторой области их хг зысн()ния .Дзхя ) рявнюпзхх с хи!имя независиххыхзи Хх(грех!('ыхх! )ххи ГОлькО дл)1 (!их) хякОЙ ('хзосОО (ухз(с(.'тзз)(зт. В (го ОсзхОВ(з:из)кпт !)оняти(' харак!Ори("пхк ураВ)н:ния ?1 ЗО). а»(<к«у)ы-,'+2<к<к(кпу)ы, „+и., (:г,<к) з-,', =О. <«1.32) С'пракзгдл и в<з слелуня па я теор< ив. Теорема 1.2. Фупкпия з(х, у) явля<"тся чагтпым решепием урагиншия (1.32) тогда и колько тогда. ког;зв ргазеиство !',.г. у) = = сопя предстгпзля< т собой обший инт<храл обык»овсяного диффе)з<'ппиальнопз '<'1)а!<пения <к»(<1у)з — 2а<к<)а<)ук+ <ккк(<1г,'к =. О.

(1.33) Урвав<<к!!к< (1.33) называется дифференлкиальным, ураенекием, характеристик. Знание хврактери< тик уравнения (1.30) позволя<'! привес!и <кго к кшкоои пч кой форме сразу для всех точек з. у в о< к<асти. в когорой 11.:50) имеет о,<ин и тот же тип. Прп в<ем едппвя д.ш указанной обласкп замена переменных ! с,.( !) может бы гь <ш< тро<я<в в явном виде для уравп< ний 0 =- ! (.к«У) каждо! о и:з трех пиков.

11р<кдполвк ая, к го а»(х, у) я О. из (1.33) к п»1! „' << «з ! <1у а,к х,,~<к,з — а»акк <1:! <'! к (1.3-1) Гиперболический тип. 0(х. у) = а, — а»а,, > ОУ! о да нр»- вые шскп! обоих уравп<яшй (1.34) д<зйс<викельпы и разли'шы. 1 йкжгомг имеем;!на кн »аж!сиз!в!к ип ! <!с)зила н)!в!!<к ипя ( 1. 53 ): зз(" .<к) =- <и'пвк «'(к: .у) '= '<<!!в!" ~" — -(' у) !1олигая по ку п<м а! ! О аз С), а<з ~ 0 (см1<) =-. <г(х.д) выражения <<а кз переменных,',, !)). 1'аз!<слив уравнение в перемеины:< «и з) иа аь» по.,<учим капо»и иску!о форм«рввпения гпкп рболп и ского кппв (»< раун! к п~ш ин кунк <)к<з)знку): гн„= бк(«.

!). и, кй. о,.к. Определение 1.1. 1!1< гь кривая ", иа плоскости х. у зв,<аиа уравнением к(х. у) =-- О. глс ы непрерывно диф<)кереяцируемая функпия, приз<'м ко вс<зх то'<кях втой к))ивой ьз, + ы ~ О. )«ркзкз<зк! "; кшзыпастгя характеристик<от< уравнения (1.3(!), если функ<шя ы(х, у) удовкн творяет хврвктеристи к!скому уравнепюо 1 с! =-О(Г,+ О); '<О Ц0„1У'<ИМ 1 !'~ -= —,, (' — О) Ес<!и вы«о.,шить !»х«иу ие1« м< ивых <, '(~ + О) 2 1 11= —,.(' -М '2! ~Г, == Ве.р(х, у) <елки!1« и<<1ависимы< и<!ремеиш «. ~ !1 =-.

1и! ээ (>г, У) Гогд» иоду чим каноническун> форму уравш иия эллиптического >«па; !х-< + и„, =- Е1с„!1,и,а<, и< ). Параболический тип. Г!( г. д) -= О, Ээо !Иачи 1, ч !о О ( <1< = ацал = )1»Ц<>т,~, иоэ!омУ а!Ии»» — —. ь!11«<г>1 Тогда а! — — (х<Гац)Г„+ ~~а,ф„) к!аиа». Выбирая ~ = .р(х, у), где <р(х. у) =-- согхк! . <И<и!ств<'нйый инте< рал уравнения (!.34), цолучим иц = О.

Но тогда»втоматически ац ----.О. поскольку »» == (1><!»>Г, +,)~<ц,)~<)(э)(и„(!), >(1!!1)!1, )к1йи<!». Ноэгому в ка«'ст<«> О(:г, у) можио вь!брать л!Обу!О <(>у»кци!о, !«х>а»и<им< го < р(<г, у). В переменных <„1~ полу шм к»нонн «скуло форму уран!»'Оия иар»ООИО1"«<'к»1О '!'Ии»: »,, =- 1 (г,. !1, и, « .

11,). Залаечание 1.11. Геомстри «ский смысл.<иффереыци»лы«>- ; ц ура»и«ыыя (1.33) со<*!и!п в г<ж!. что для <1<г, <й«улов. «ггворякь ;!шх ему и чочк< (.г, у), вектор с1 = (<йв — <1<>) >ада«э харак>цгуы; <аыческас !!<!!<11<и<и< ><<<с, церн< ндикулярыое к кривой -! в го !ке !.г, у). В то !к»х области эллинги шости ур»впс!ш«(1.30) !«Их«- <,действит<'льиых х»рактеристыческих направлений.

В каждой 1»чке области ! ииерболычыо< ти имеется дв» ра<иыых <<<!1«пиите<!ьыых х»рактсрыстичсскых п»правления: в точке обласги «ар»бо!и июсти о,<но;н>й<твит<льцое хар»ктсристи «скос ц»ира!и«- ыы<, Есчи коэф<(>ипис!мы <1,. уравц<ция (1.30) до«! >лоч!и втО1тв<О к»ИОИ«э<оку!О <)>Орму: ац — <<,; = <>1 (~.,11. «.И,, «„).

Эллиптический тип. 1.>(<г. у) . О. Имеем комп.!ек< ный интеграл р(х, у) = сои»1 Уравнения (1.3-1) (~". коми!и к<'поли»чная фуш<ция) и комплексно соиряжеииый с цим. Выберем д<истви- Гладкие О)унк!Еии. |о облйсть ! Ипероолн !нос!и |и)к1и!!я с|етью двух семеЙсГВ харак1сристик. й ООласть пяраОО.!ичнОстн О, Еним ССЫЕЗЙС'Т|5ОМ. ° 1.2.6.

Типы основных уравнений Задача 1.1. Приведите к канонп'!еской форин уравнсшн и,,+ хи„, = О в каждой об.!асти плоскости х, у, в которой оно со- ХР|1П)!Е:Т ТИН. Г)!си|ение. Запишем дифференпиа. !ьное уравнение характерис|ик: (1(у)з + х(сзх) ' = О. Если х < О, то исходное уравнение гиперболического кипа, В этом слу'|ае с)у ==- Л: ) —,)с(х.

и мы имеем двя независимых дсйств|епельных инте! раля уравнения харак !Ернстнк: у+ — ( — х) = сонэ! и у — — ( — х) = соннб Выпс).шпм |за- 2 .,Л 2;у 3 ' 3 ~ = у + —, (-и )' 3 „..(ля )того Выразим и,. и„, з)з й =- У вЂ” — ( —:Г) 3 мену псремс иных и„„и,„в переме!шых с,. |1и нодстшзим и„. и„„в исхо.слое уравнение, И:з уравнения (1.33) видно, пз) ура!зненпе тсплопроводпости и,(х, у) = а и,,(.г, Р) + )(х, 1) с одной пространственной переменной х является уравпешн м 1!Я1)збо !Иче ского пшя и имеет характеристики Е =- сонэ!. Уравнение и, (И'. 1) =.= с!'сзз!Н(ЛЛ ~) + )(ЛЛ Р) с двумя или тремя пространстве!шымн переменными (Л) =- ЛЕ(.г, у) нли 111 = Л|(х, у, )) — также пяраболичсского типа (ныясшгге, какую замену независимых переменных наг!о с:|слать, чтобы записать эти ура|знения в канонической форме!), Уравнения Лапласа.

Пуассона и Гельмгольца уравне!шя эллиптического типа (прс)верьте в случае двух независимых переменных| !То у ннх нст действительных х|й)йктсристик!). Дз!я во:шового уравнения ии(х, д) = и и,,(х. 1) -|- )(.1, 1) дифференциальное уравнение характеристик (1.33) имеет вид (с(х)'— — й(дс)" =- О. Получаем два семс йства характеристик: х — 111 = =.

со!)к1 и х+ с)1 =- с опэб Во, !новос| урбан)!Свис с Од~ой илн носко.н,- кими прострапственныхш переменными уравнение гиперболи- ЕескОГО тина (Выясните. каку|О:заысну незаВисимых переменных нядО сде1Я!ь. 'ПООЫ зяннсяп !|ГО В канО|нзческОЙ фо1)х!ей). ((с — 'О.,( В итоге получим ((о =,,(,, В силу выполняемой замены 3(- )"'' ((~! 3 в( — ((, перемеш(ых ( — я)' = — (с, — ц). Окончателы(о: ио, —— 4 ' ' с' 6(~ Ч) первая каноническая форма уравнения в области с, > (р 1 — - р. й1ожио вместо с„й ввести другие переменные; Ч = — ~ —:(;)Ю.

3 Снова выразим и, и„„итг и„„в переменных г„т~ и из исходного в„ уравнения получим н(- — и;,(, = — -- е(о вторую каноническуи> >1 ~=-,'(;+О) 2 проверьте полученные ответы, 1 Ч= —,Ь-О). 2 форму. Зная., что переходя от первой канонической формы ко второй. и наоборот. Если т > О, то исходное уравнение эллиггичсского типа.

В этом случае получаем два комплексно-сопряженных инте! ра>ш урав- 2.,„., 2 пения характеристик: р+ — (г а сопя!,у — — нг' = сопьГ. 3 ' 3 Выберем новые действителы(ые независимые п(ременные: ! .=У Выразим и„. и„, и„, и„г в новых переменных и получим >1 = — ха! 3 (л;, юпк>ни н>скук> форму исходно(о уравнения и, + и(,(, ч- — ' =-. О в области >1) О. 3>1 Если х = О. то формам(ьно исхо;шое уравнение параболического типа. Но имеет ли смысл при.г =- О указыва и его тш! как тип уравш'нпя в частных пропзводш (х.' Рассхи(тришое уравне(п(е называется уравнением Трикоми.

В газовой динамике оно описывает дозвуковое движение в иб. пшти (чп(е1>!б>ели*и(ости и св('рх'Звуковое дви>кеи(н' в области эллиптичш>сти. Уравнение Трико>(и .— уравнение смешанного ! ипа. ° 1.3. Задача Коши. Роль характеристик в постановке задачи. Теорема Ковалевской ;.1иф<!)< р<ициаяьиое уравиеиие, оииеываюи«е некоторый фи)шкекий процесс или яв;и цие, выражает оир<)д< лен вый фи )и <е< кии )акоп.

Оио име<п беекоиечио много решеиий и < амо ио ееб< ) «' выделяет одио.)ыа"шо коикр<.гиый ироцегг, '1тобы полностью охарактери:<овап, физическую )влачу, надо, <обавить иекоторь« доцолиительиые условия. еодержаи<ие ииформашцо об агом копкретиом проц<осе. Такая информация должна их«п фи)и<еекую иитериретацшо и гараитировать <кмь«леиио<"гь постаиовки математи «ской задачи.