Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010), страница 7

'+Я(ктромйпи1пюе ио;н опис ыв(и тся гистемой дифф( рщщийльных урйщи ни 0 и Гйгт ных ирои(5ВО, ИГых и( рВО('О иорядкй цраанен((ялс)), Л) ((н()пелла. В сист(м(. (линии Г !усей Оий имс(т 1)ид др уравнение неразрывносгпи — + Йз0 = О, которое выражает г1! закон сотринения элекзпричесьчого заряда. 1 гзссмотрпм эгзззк'з1)0«зззг'пгзтззозз гюле ««вкщ/ззс в об.зззгч и!Оззь сз!изззг ыза. зи. соде!пказзкззз изчез зззгзкозз ззо„зя (!з '=:.

О. з —:: О): 1 дЕ го!Н ='.— (!.21) с д! 1 дН гогЕ = —— с д! (1.22) г1!кН =- О, (1.23] г11еЕ =- О. (! 2Л) 1 1) Иримг пим оперев««ого! куравпепшо(1.21): го! гогН = — — го! Е. с г)1, Ич векторвоз о шиши за и.звестно, по пи го! Н == кзтзг1з!исН вЂ” АН, где ззН вектор (если в ~зряыоугольнозз системе коордшаз Пзу вскторНимесгкоьзззззззеззты Н =- (Л10 ~(Л!.!),Н'в(Л1,!).г)З (ЛГИ)), то А Н == (Ь и П" ( Л1 д), Ь з з П' " ' (Л1. ! ).

А зз У' з ( Л1. ! ) ) ) . В и т и е м 1 д случае з11з Н та О, поэтому го! гогН = — АН = — — го! Е. Тогда пз з" д! (1.22) иолу шелз ««лн«««с рра«ззсниг для Н: Н„= с-' 'ХН. Зимечвние з.9. В общем случае вместо Е и В можно ввес ги векторный зютеипиал А(Л1,!) и скалярный потешгиазз зз(ЛО !). ! дА чере з которые выражакзтся Е и В: В --- гогА. Е =- — йз аз1« -- —— с гд! Ан;шоз.и шо полу зается уравпеппе Е, = с-'АЕ. Иакоаеп.;заметим, 'зто в ззлучш эл«кпзр«сгзтт«ка (р = = р(Л1), з::- О, Н = =О, В =: 0) уравзпзние (1.1«) гогЕ = 0 озвазаег, по злекгросзазичегкое полз Е ззотсициальпо, тз.

езо можно охарактеризовать скалярной фу«копей гз(Л~/) злектрост пи нски.,з зютепцпалззм, свя.иппп,зм з Е стзоззззззззеззиезз Е = — !1ггзз(«. И,з (1.20) по.,зу пн м для зз(ЛЦ уравнен!а« Пуассо- 4 на: з1И й аг1« (М) =- — — р (Л1). Потепцнйлы А и и опредс.!яются неоднознй !но; если вместо них 1 дс выбрй!ь А' .= А + о!йг)!(М, 1), !!' = и — — —, то векторы В и К нс и 5м!'.нятся (проверьте!). ° 1.1.9. Уравнение Гельмгольца Уравнение!и Гелъмголъиа нйзывйется уравнение ви,!й гз г(М) + сш(М) - — — 0 (или неоднородное урйвневие вида Аг(И) —,- + сг(ЛХ) =. --Х(ЛХ)), где с = сопй1; ЛХ =- М(з, !л с) в прострйнпгвенпом случае и.ш ЛХ = ЛХ(т, д) в плоском слу !йс. Прн с == 0 урйвпсинс Ге!!Ьмпт!Ьпй яв.!яется ур!!Внение ! „1йн.!йсй (или урйпнсипем Пуйгсгн!й), Прп с с 0 !'го принято 'зйписывй'!'ь в впгщ Аь!(ЛХ) — 1до(М) = (О пли — Х(ЛХ)), (1.25) й при с ) 0 в виде Аг(ЛХ) + Лдю(ЛХ) = (О или — Х(ЛХ)), (1.26) г.!с 1:.=.

сопя! > 0 (обы шо именно (1.26) нйзывйкл урйвненис!м Гсльмго, !ьпй). Свойс!в!! рспп ний уравнений (1,'26) и (1.26) рйзли шы. Это хюжно проследить уже для одномерного с.!учйя, когдй и.= в(:г). Урйвне!пио г,, — 1-,с: == 0 гоответствуе! харак!еристпческос урйвд пение р — ); = О, которое имс!.т вещественные корни р!д — — .-1:1! им отвел!йк>1 !!инейно $П'3йвисимые р!!п!ип!я и!(х) == е . !2(г) = е "'. Уравнению !!,., + 1~г = 0 соответ! твует хйрйктсрис и!чсгкос уравнение р! + Л! = О, которое имеет мнимыс корни р!д — — '.!Л (! мнимйя единицй); им отвечают лнпшшо независимые комплекснознй шые решения й,(х) = с' ', и (,г) = !!, (х) =-с "' .

либо пара линейно незшзисимых вещественных решений соя(1т) = = В!ч!!(х). ып(1гс) = 1ши,(в) (нйпомнпм форт!улт Эйлера: е" = —.=. гоя(1гт) -!- !вш(Лги)). Физическое и|йчение имеет уравнение (1.26). описывйкзщсг ушнш!ооивишгсй колсба!пьй. Пусть в волновом урйвнепии и„(М, 1) = а!А пи(ЛХ. 1) -!- д(М, 1) функпиг! д периоди'шй по времени действует внешняя псриолическйя силн. Обозначим через , сс частоту, и зависящую от точки ЛХ ймп:штуду вели ншы д через а-Х(ЛХ): д(ЛХ. 1) =- йХ(М)с!зй( 1).

В и!которых случаях колебйния. они! ывш!чые фупкпией н(ЛХ, 1), будут происходить по тйкому же гармони некому закону, Усппкдиплпиеся колебания (например. стоячая волна) эго колебания с той жс частотой . и некоторой аъшлитудой а(Л1): и(ЛХ. <) = в(ЛХ)<ов( 1). Подставляя такие функции и и д в волново< уравн< ние.

«<злу |им <п носите и— но <<(ЛХ) уравпщше д<з(ЛХ) ч- — в(ЛХ) = — Х(ЛХ). Амплпту,|а |ХЛ1) а' свободных колебаний (д = О), имеющих частоту ы, удовлетворя- ст уравнению Ьи(М) + —,, г(М) = О. <! Стоячу|о волну можно рассматривать как сумму двух бегу|цих во;ш, распространяющихся навстречу друг другу, Стоя |ие волны м<лтт во:шикать в области 11 только при полном отрахсенип бегущих волн от ес границы и при отсутствии затухания в среде; в противном случае появляют<я еще и бегущие волны, которые могу|' рагпр<з<"с|!ни!<<вся и от и< точи««а кох«'баннй. Пример 1.7. Стоя ше волны возникают в виде плоских волн внутри чапо.щенной воздухом звучащей органной трубы, если олин ее конец закрыт идеально твердой стенкой. а другой открыт. ° Пример 1.8.

Пусть и . фиксированное натурально| число. (т<п, ) (япа Функция и (х. 1) =:= ьш ~ — з ~ сон ~ — 8 удовлетворяет уравневик| ) '~! по|«'ре шых свободных колебаний струпы <!« =- <<|и„(В = — (О < < х < <1), концы которой:закреплены: и(0. 1) = и(<, 1) =- О. Здесь з = —, а ахшлитуда г(:х) = |Оп~ — х удовлетворяет уравнению в„-<- —, <! = 0 (пр<зверыс!); и(х, 1) - стоячая волна. В в Пример 1.9.

1Ъсть т и и фиксированиыс натуральные |игла. <1|ункция <<(х,у,1)=ып — х в|п 'д сов — -|- — в1 Хлоп:и творяет уравнению поперечных свободных колебаний пр|<|нзугоз<ьпой ьп|мбраны и„=- а-'<д, „<! (П =- (О < х < йп О < д < (з|ш) (-и) ьз)), края которой закреплены. Здесь ы=- ~ — -~-~ — ! ш (717а ) (вгг, амплиту,!а и(и,)сг) =- вш — л вш — 17 удовлегворяетуравнепию с!с!+ — 717 =..- О (проверьте!): и(7, О, 1) с !оячая воши. ° а Замечание 1.10. 11аря„!у с периоди никими ко.нбаниякпл и(М.

1) =- и(ЛХ)сов(са!) можно рассматрш!Нть и колебания, нодчинякпциеся:!акопу гг(М)ягц( .Е). Удобно ввегн! комп!!скснолначную фупкцшо 7 ( Л1) (соя(;Ц -1- сгйн( 1) ) .= е(Л7)с ' ' и с штагь имс и- по ее удовлетворяющей волновому уравнегшю ии =- агса,сги. ° Пример 1. 10. 11 гфери пекой сис ! с ме к!го!5а!Ива! 7с О.. в прострасн'тве в случае цептральиой симметрии отпоеительно начала координат п(М. Р) =.

и(7. 1) = а(7)е'', и однородное уравиение Гс льмгольца имеет иид ( г > О) ! 11,- (г гг (7 )) — + l ги(г) == О. (!.27) Г С(7' С1цс! являс тс я обьгкновепиым шифс)к ренциа.гьным уравцением относит! льио функции г и(г): аа (7.гг(Г)) (, ) 7(гг(г))-- . 717.! когорсю имеег лпгюйно пс'!аиисимьнг ренюния Ги(7) =- с", ги(г) ,. ~О 1.',!едсгвагс)лг,псг, урависгпис (!.'21) иинст комплексиоппа !Иьн" реп!ени51 и! (Г) .=- . с: (7') =- а! (г') =.= — (или два вс!И!с!с'"гвс'нпьгх Г 7 сО8 (117') ап! (117') 1х'.1пени5! == 1сс' а! (7'), — 1Н1 !'! .(Г) ), г иг.г ь! Функция и, (гх!) = Имеет смысл бегушс й сфери и"- ! с кой во~ны.

Гг с!с!агггсгссл в па гало каор !ипат и! ос скоп!"снос!и. Опа обычно це имесг физического содержания. Фупкцпя '.Ь) и, (Г,)) = ' имеет смысл бсгущси сфери пекой волны, рассгодл!цегнл от начала коордипат в бескопс*,чносгь. '1 акая волив сО!да!7!с51 '!с!'и" гпых! истОчпиксгм кОлсоаций в '1О'1кс' г' = О. (Вс!5!спин!, 'пО Оу,сот. сели ви!сстО сг(7)сг в!я!и функц!ПО и(7)с! ). и Пример 1.11. 11 квантовой механике состояние свобо;шой !истицы (иа которую нс действуют внешние с нлы) массеьс пг опп- сываегся 1)О.,!нон Й ())ункпи(1! (Х)(ЛХ. 1).

удонлспзоря!Ощсй ураВ1К- !!нк) Шред)ннтра д)Х) й) !Х) == — ез)1 (1). дг 2)п С.остояннс. которому можно при!шсап опре,юле)шое зн(шсни( нн ргпи Е частицы. Называ( тся ("и!пионарш !и. Его Волновая функпия нмссг впл (!(1ЛХ,1) = 11ЛХ)( ' . ~ — ~ =.= —. Дз!5! стапио- 111) с ш)рното со(тояния свободной пи типы с з!и рги(й Е) О функпия 1(' а1 ЛХ) удовлетворяет уравнения> Гельмгольпа (з() + Еи =.-- О ! н ро !)ей ь те)) . ° Урйвп(пш Гельмгольна 11.26) возникает в 6ольшом числе гсорети 1(1(ких и прикладных зала к ° В ак) сгпке'. (Онисйнне) излу ения звука ко;н6люн1имися! те)- !йми. рйснрострйненис звукй); ° в т(ории злсктромагни и!Ых волн 1излучснис злектромапнпных волн, их распространение в р(зонаторах.

теория йнтенн1: ° В г("Орин !)0(нннзодон: ° В т()Ории,1и())ракцни Волн. 1.1.!О. Уравнение Кортевега — де Фриза 11 но(л(дуннцих главах булут подробно и(зи !(ны зада ш для урйнн(!!Ий 1()н.ннй)о)и>.Вкати и,ш())фу"зии. урй!>пений Х!Яз!.,)йсй. 11) а( сонй, д!я вошового уравнения. Это линсйныс относит(льно нскомОН ф''пкцни и ((' !Йхн1зВО (ных уре!Вн("ния. Мне!'Н(' ян.1е'ния и н1хн!('('('ы. Н.зъ'н!е')н н' В ('Овре)н'н!КЯ1 ма>('мй'!'и'к'('кОЙ физике, 1«ноз)!О)кно они(. Ыь (то н нро("!О; онн мод(:н!ЙЛ ю!(я рйзнообр>езнь!Кн! Незлгинтны)!и ура(ни я ияин(. Одно и з ) ши6о)и с и зве( тных не.!и!и!пнях урйвн()ннй 1ра!1)к ни(1 К(Й)!(в(ей „(е Ф1нзза 1КЯФ), которос в ХХ н.

принс.)о к созданию новых методов зшг( )шти нх кой физики. 11а мелководы мож('г распрос (.ршьп ься длишшя усдшн !Ншя волна неизменной формы. !акая волна и =: и1(а 1). бегущая Вдо)п, о(и Ог11 время), опись)на('гся в (пецийльно выбрй)шых нсрсмшшых и, .г. 1уравнсшн м К,ЕФ: и,+ ии,+ В„.,=О. 36 11лних! из чапп|ых <то рецнний является фу|песня и(х.1).= | , !,~Я =.

йа с1<= ! — -(а' <з! —.г„) . а= соня! > О, з;, =- с!о!за!, !напомни»!. что ' з< с!з<з — --- — -). Такое решение называется соли»ионом |а'з спи |< по;юбпоп усдинеппой волной. Скорость а движения солитона вдо, и осп Ох пропорпиона.чьна его амплитуде йа, Заме |атсльпо, | го не:шнейное уршзцепие КдФ име<т решение, которое п1эи больших временах (<; —. — ос или Š— +эс) является суммой двух соли- тонов. Пусть в «достаточно давний» хи|мент времени (Š— зс) два солнтона с разными наборами постоянных а и а, двигались в напра|злении осн Ох на большом расстоянии друг от друга.