Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010), страница 2

Ди< (г'): —...Тогдй к прйззо<1 шсти бй;зйпсй т<знлозы (1.1) нйдо с см' ч прибавить /) ~ ~ Г(х,т)</г</т, Полагая. !!о фупкпия г(,г, 1) не<й)< рьпзнйзю з и по / н (по< й зп по !кзуя н!и< грй<ьну!о т<ор<з!1 о среди( и. полу шм и<'одно/х)днос сравнение теплопроводности: и, = а'и,.„+ /(!г. 1). (1.2) Г где / — —. ср Если стержень не является однородным (г.е.

свойсчвй его мйт('риала зй!)исят От тОчки х). то В !зырйжйюн<ех! Ой.,<йнс т('.ИлО- ты ран<читке надо учесть, что с =- с<х), р --.= р(х). А: =- 11(х). То!дй вместо лтпейно!о уравнения (1.2) с спи!воли!ньют лс)7)ГРЕ[777иссезз7Памп прп ис, и,, !юлу'ЬИ)! лпп1СЙНОЕ) гравпСНИЕ' С Перез!Сиз! ыси77 коофс[1777 Г и юпс и!Ис и г(х)Г)(»)71,(х.«)= — Й(х) +Г(777«). д ( с) и (:г, «) ) дл:~ дл; (!.3) Заметим, зто рсшспия зядя ! дли урявпсиия (1.2) можпо посгрОить В вид!7 йнал1гги'!с'с'к!!К с[)ОГ)х!зт!. й:зйдячи:17!71 урйянсспсз! (1.3) приходится решать чис:и яно. С,ВОйс1ВЯ мйгсрнялй сгержия зсогз''7 завис!'и От егс! тс'мпе'.рйтуры.

Например. при известной зависимости козффицисптя теплопроводпостп от температ1ры Й = А(х. и) вместо ура!!и!)и!зя (1,3) будем иметь нелинейное 7««)аь)се!с!се д ( д71(х.«) г(х)р(х)и,(х.«)= — ~А:(х.и(г,«)) ~+Г(х.«). (1.4) д» дх Возможен и слу шй. когда с = с(х, и). р = р(х. и), При Ьзыводс уравнений (1.3) и (1.-1) следует полагатзя что с и р . Испрсрывиые функции, а функция Й непрерывно диффсрсицируема.

И.зъя;нение температуры стержня можс'т происхо.шть енсе и вследствие обмена теплотой меж,су сзержисм и окружающей средой через боковук) поверхность стержня (сслп такого ос)меня пег„то боковая иотгрхиосм стержня Называется теп,кисяолирояа)исаи — поток теплоты !срез нее равен пуспо.) Пус 71 температура впешией среды нс зависи г ни от х, ии от «, Пр«сположим.

! 10 плО1ИОсть НО1Окй и п ПОты. ИОки,1яюще Й стсржс нь н)ре 3 ОО- ковузо поверхпосгь по,ипшяеття:закону Нькионя, Ь.с. Иропорциональиа расзнос'ти и(.г, «) — ии„„„,. Запишем в асом с, !у !ас баланс теплзоты;щЯ Участка стеРжнЯ [хзп хл[ за вРемЯ [«е «7[: д 71 (».

т) д и (.г. т) «) ~СР',71(х «7)- 71(х.«1)17«»=Я~ [А; — Й с«т+ +) / / «з'(».т)«хс«т — [ '[ О(и(т.т) — и„„.„,)ре«сгс«т. я гсе р -. периметр изотермического поги речного сечения с)с ржия (тОГ«1я «)7«7: влзззхн'ит и:ЬОщяди ООкОВОЙ пояе1)х!юсзи); и Г) козффпцисит тсплообмсия хи!жду !ювсрхиосзью ю!сржпя и окружающей средой. Для ОдНОрОдНОГО Стс'ржия (АС С, р, С), д. р ПОСс»ОНПНЬ!) КЯК И в случае баланса теплоты (1.1) получаем диффсрсзщийльнос уравнение тепл(лгроводности с учетом потерь теплоты через бо- КОВУ(О ПОВЕРХНОСТгп (1.5) и, = и-и,, + Й(.г, «) — 6(и(х, «) — исг,„(,„).

О«1 Г. И' «( == — = СОПЯ! Хл «). Я(р Если вместо и(х. «) ввести функцию и(:г. «) =- и(х. «) — и(„,, „,. то опа будет у.ювлетворять уравпеник! и( =. а~г„+ «' — бс. Чтобы избавиться от члг на. содержащего новун1 неизвестную функцию г(х, «), г!ыполнпм еще одну замену искомой фупкпии: и(х, «) =- =- е "1(1(х. «). Тогда относительно функции и((.г. «) получим вместо (1,5) уравнение и,, = а'ш, + е!(1. В некоторых случаях может оказаться, что в проне!те распротраненпя теплоты температура пс меняется со временем: и = =- и(х). Например, вместо уравнения (1.2) она, будет описываться Е() уравнением и„, (х) = — — - стационарным уравнением теплопроводности. Ыожио выбрать другие независимые псремснныс х' п «'.

в ко(оРых УРавнснпс и, =- и и„., пРимет щ1Д и„== и,х. Оно гоже на- 'И (ВСиГГСЯ УРВВги«НИЕХ! ТЕП:1ОП1ЮВО;[НОС!'И, Дсг!СТВ(с!гад! НО, К ЭЗОМ'(' виду мож!ю привести исходно(1 уравнение. Сс.ги выбрать поныл. переменные з.' = х. «( = и-«или х =-= —. «' =. «. Тогда и = и,(х(х), «'««,)), упрощать уравнения можно не пглько заменами независимых !и ременных, но и с помощью заме!г иг:комой функпии (см. урав!и иие (1.5)). Приведем с!не один прих!ер. Пример 1.1 (уравнение Бюргерса). Уравнением Бюргера нгс!ыввется нелпнегшое уравиение (1.5) о гносигельно функции и(х. «), тесно связанное с уравнением теплопроводности.

Если про,щфференцировать (1.6) по х и положить г(.г, «) = и,(х, «). то функпия и(:г, «) будет удовлетворять гк.,щнсйному уравнг нщо и, = —. и,, + 2(г(, которое появляется в неХОтО1эых физичггг'ких:!'1да гах (Оно такж(1 пазыВается ураВПС(пиеа! Б!оргерса). Введем ггще одну новую функцик1: и((х, «) =- с""" и найдем сс производнькч ш, = ие' ш, = и,е". и,, == (и,, + (и,.)-)е".

И. ().б! следует, что <р(<г„!) удо«летворяел уравнению тепло«ропп,!«о<пи и, = и „. Зйметим. по пйм нужны только положилсльпьк' <то роше««я: и .— < " '. О, В* 1.1.2. Уравнение теппопроводности с тремя пространственными переменными )1яя <«<игйция процес< ов рис«рос грйцепия теплоты в прострй«- <-! «шп<ом <<.«! 0 введем температуру и! Л!. !) в точке Л!(<й д, а) е )! (г, <!. „<<'кйр<овы кое(<о<иийгы) и к<птичи вр<м<!в! !. Если тетю<ерйтурй в рй<иых то <квх те:и риза<и п<й, го в ием возпикйкп потоки теплоты (тепловой энергии), ийпрй<ь<лшыс из облйст<<й с «ьиокой гемиерпурой к об шстям с меньшей т<м<крйтурой. .<лотпокола тетклолпы через эл<ементт! ткйо«(адо повершностпи <(<< нйзьп<йегся количееп<о в!плоты, пересекающей <!<! в сдтпплпу «ром< пи.

Его к!еж«о охйрйк<< )!ивова! ь в< «тором и <пою< <и лап юкого <шток«, 'лат(Л1,(): <с.ш и <диппчпйл шипшяя «ормй.,п к <)л. то поток теплоты через <!Бравен (ЪК.п)<1:х По зпконй Фт!!х«, в пкпрошюй среде <<т = — ййг!«1яй. где й > О . кочффипие«т и и. юпроводности ср<;<ы. Ес.ш сред« и<о;шород<и, то й =. Л(Л(!. 1)ы,'<е.п<к! «роп <во.<ьиую про<гера«<-<веп«уюоб.<ьтть |У с !), огра- «и и п«ую <ймк«утой кусо шо-г;шдкой поверхность!о,'л .

Пусть р(Л!) о<п,ем«йя плотность масс ы «е«к егпп!, с(Л() <то удельная теп к<емкосгы и Е( Р!. !) объ<мпйя пк<ппос<ьмгцож<шых <оп!<и «ых и< го пи<ко«,,Зйпппи и 6<<„<й!«шсп.аотп<! „шя оо:<йс<и В' « <О<ом<'жУтк<" «Ромы!и )(р (а): Щ с(Л!)р(Щ~п(ЛЕ(с).— и(Л! (! )!<(г<(!)!<!л -=. =: — ~ <)! Ц(К~. и)<!!!' -' ~ <((Я Ул(Л(, ()<1<<(<!<Хв 11о форму и(!с! р<и рй и кого Я (Ъттт!)<)<! ---. Щ <1<х в <тт<)<<)!«)л !<' Предположим. по функция и('Л(, !) !«йжды «епре(пгишо <иффершп<ируемй по т, ((, г и непрерывно дифф< р< «цируемй <и! !.

11з <йкоп<! ФУ(!ы* <1!то У!т — —. — <1<т,<! (А и!'«<1 в!!). и 'ив дв бй:ии<' 'г<'<!. Пь ты шпппктся в «и,к Злса и л<ысс гиакоч в бт <ст о<яс <аю окончание л;шсчаиип. «иишсроа, рсмс«ии <алач и лока кпслксти <сором. 1О Щс(ЛХ)р(ЛХ)((<(ЛХ,Л)) — ()(ЛХЗ!)1(!<В(!Й(!г =- !) ь (1.7) =- '! (Х!Щ(1)<: и (Л Йг(н1 и(<)(ХВ(!(Х(!В р ) (!(Щ Хг(ЛХ,()(ХВ(!(1(ХВ.

и' и' Пу( гь функция Хг нспрсрывнй ио М и (н) й К каждому из инь <егрйлов / и Щ в (1.7) ириыених! формулу (реднего знйи' и ния, зги ем рйзде.<им рявеиство (1.7) ня объем облйсзи!У и ня б — !г Выиоггпих! (Й)е,н).<ьиый (н)реход, стягивй)«)блй<"и ХУ в .<Очку М и устрем <яя 1! — й Х) .-' Й В ( илу пр(.<по н)ж( пия и (угцествовяиии у функции и(М. !) указанных вьпие непрерывных нроизводиых полу <им '(ЛХ)1)(ЛХ) (<(М 1) =- <1! .И(Л<(ЛХ)й )((н(<(ЛХ» !)) + Хг(ЛХ, !).

(1.1() Х)!ф(()(реици((льнов урйВн()ни( (1.8) ОтнО()и<с:<ы(О ()); икции н(ЛХ, 1) нй')ывя('и Я урйьчгепи(.'и <еи(<опроно,<нос(и. Е(ги! (' = (Опя(, =- ((и<В(, ! =- < Опй!. ! О урявпеии( (1.8) им(<'! Ви,! (й(М, 1) =- а'-'Ь ив(М. 1) —; Х(ЛХ. !), (1. (Х) Л от<ератпор Лат)лапа: а ср гДе <.')И« =- (1)гикса((ии(ЛХ. !) Р(ЛХ,1) ср 11 Замечание 1.1.

В ! л. 2 при изу н)нии свойств р(чпеиий урав<н ния )( плопрово;пго()и буд< !. Иокй<йио. что уряви( и)и т<ч<лонроводиос (и обляд и т некоторым .деф(ктом» онпсяпия рейльиых <<роп(( сов ряснрос(ранения теплоты. С<или( но этому уравнении). (о<и й ~~~~~ ЛХ„<рйботти т и! но<я)нный (о и*.

И<ый исто ии(к, т (. в ЛХ(! мгновенно выделится ко)н) гное коли и ство т(плоты. то измен(ние .<емперйтуры во в(<ей облй< ти!3 прои <ойдет Немед н нпо: дл5! екоз! ТгоднО мй:<Ого Н1»пн'жтткй Вр(гкн'ии Нос(и' ('рйОйтыВВ- впя этого н("п)чникй обу(ловл< иное им и пни(ние темп(рйтуры в(тоду отлично от нуля. Это )ийчи г. что «лп нйль о срябйтывянпп <н <Очникй В,(йнпоЙ МО.Н,<и 1»нирОстрйня()зся ( б(скОН(! <ИОЙ скоро<")ьн).