Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010), страница 8

причем меньшая волна находилась справа. Некоторое время спустя волны начинают взаимодсйствоват|и бел! |пан по! лощает м<зныпз |о, Зат<'.и возшы снова раз,и шются н постепенно (нри Š— +:х,) восстапавл|пзают свою первоначальяую форму. а, следовательно. и скорость. Всзс', нзаимодс'Йст|зие свод|и'ся '|'олько к сдвигу цен! ров двух Волн по сраш|ешпо со свободным движением каждой из них. Теперь большая волна находится справа.

и волны удаляются лру| от дру|'и и |-'за рах|и'цля зна'нз|шй их ско1хзстей... 1.2. Классификация уравнений в частных производных второго порядка. Приведение их к канонической форме 1.2.1. Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка Дифференциальным уравнением с частных|и произво,|ныл|и второ| о порядка называется уравнение, ихн юшее хотя бы одну производную второго порядка от неизвестной функци|л и(<г<, ....

х„,) и нс' содержащее прои зводных более высокого порядка. Прон пюдные функции и оу;<ем как и в и. 1.1 записывать в виде <Зи д| и и, = —, и,, =; д...,, х„- действите.|ьцые переменньих дх, "" дх,дх, Ф(х< ...х„.и...и,„,...,а,,и„а и,„,,.,.,,и,, )=0 11,28) — общин вид такого уравнения.

Здесь прсдпо|загтцзтся, по заданная дсйствит<'льпозцачпая функция Ф имеет пропзводныс 1)ф " -(1)ф , причем 2 ~ ~0. Уравнение (1.28), вообпзе года...,,, ~суп, „. поря, пе:швейно относительно фуикшш и и ес пропзводпых. Если (1.28) имеет вид а,и,, +Г(тп....х„,!кззп,....и, )=О, (1,29) ~.! ! — ! ! де и„= зз„(!гз,..., !г„) — зазаппые д! й! Таит!и!ызо !ив зные фуакшзи, !о ура!знание называется иинсйныи оппзогззпшльно ати1зиззихзгрозюзеодззыга Именно уравнения вида (1.29) и будем к:зассифипировать.

1.2.2. Классификация уравнений, линейных относительно старших производных, с двумя независимыми переменными Опипзз'л! подробпо классификацшо уравпеиий (1.29) в случае .и!ух незашлсимых переменных, обозпа шв их крез т и у: ап(х. у)и,. + 2из2(х. у)и,, -з- и (.г, у)и„+ + Г(х. у, и, и„и„) = О, и = и(г,, у). (1.30) Предположит!, что козффпцпспты прп старших производпых !и прерывиы и нигде пе обращаются в пуль ошювремеино, Выпозшпм некоторую невырохкдеипук! замену независимых пере)~= ("у) лизин! зх Тот.ззз искомая функпия примет впд и =- (ц= '(ту) -= и,(сс,(х, у). ц(х, у)). Выузазпм частпьп.

произво;шьк! и,. иг и, из„в новых перс мепш зх: с и„= (и,,-х~( + 2ззоД, ц, + ит,ц, )+ и;~„+ ихц„,, и — (и„~~ ~~ + и, ((, ц +( з) )+и ц ц )+и,1 + и ц, ии = (иц'.! +2ио!.лца т 'л !!з1!л)+ иана + иацо Найдем зависимость переменных з. у от новых независимых !и ременных г~, ц и подставим вайд!'нные выражения для функции и и сс ироизводиых в ураииаш! (1.3()). 1ог:)а о,о оуд!"т имсть )и)д ап (с, ц) а., + 2)ьы (с, Ц) и,- „+ а?> (с, ц) Оа с + с" (с . Ц, а, а, . П„) =- О. ! д),)сйс п)итсльньи коэффш)пс)пы при старпшх производных ац =- )55)с,-,' -~- 2а)>с„с! + а,, С-„', а,ь =- ацС,Ц, Ч- аи ((ЦЦ) + ч~>Ц, )-~- Гь»с,сц>, )!» — -- Гьп ц', + 2а, ц,ц„+ а»ц,', и дсйствите:)ы)а>! фуикцпя Р выражспы в псрсмсццых ~.

ц. ПОДО!.1эем таку ю зам! и> )вх)аВ)ц имых )и>р) хинных, п1эи ко)О- р)и) урш>Пеши (1.30) будет црпвед! Ио к >шибо:и;с простому виду. Иод этим цодра Эумсвастся, )то урш)децис (1.30) с )И1>с.лье)5)5)5ьл)а коэффициентами при старших ирои:)водш*)х постараемся прсобраювать в уравиа)5>и) с 5)осгаол))нича лооффий))ввп)ахт при старших пропзводиых. При этом цас )и будет интересовать, сгаиет ли )Г более сложным выражсписм.

чем ьч Зафиксируем точку (х. д) и поставим в соотвс') с! Вие уравнению (1.30) квадрати п)с)5> фоРМУ ~2 == ац (>лУ))1! + 2а!;(>Г,У)У)д, +асм(х,р)Уь от независимых псремсипых гй, у>>. Симметричную матрицу коэффи(ац а)> ) цп))пов ква,)1>а)и п)ой ф)ирмы А =- ~ !, а,, = и„, прив)>))м ))555 аь)ь) и! вырож;и ш)ым 5)и)55>йнь)л! Преобралова)ш! и 23 к;)иаго,альыому виду.

',+! о зла пп. что после пр! обра)о)>аии>! Исремеииых с1 =-. Ь>р. (У)) (Р>) ) С1 ==-, р=, квадратп шая форма примет ка~опи некий! у Рь вид С>= )э)У, +О,Р; в новых пе)ависимых ИСРСК)сивых РО Рь. Можно вьюрать такое пр)>о)б>разовапи! о', ! ГО коэффицпшп ы о, и )э буду!'1>авиы )к> мОтулк> СДиницс и.ш пу>)н> (Гак!)Й ВПД к)5а- .0>ати*пюй формы называется пормальиым). Закон инерии)ь квадратичных форм утверждает. МО ')и)110 гн>лож)п)лы)ых и число от1>!)ца))с)ьных ч;д'НОВ в ка)юпи'и'скОМ )5ид!'.

)и' ')ВВиси Г ОГ !'ЛОсооа И1эп!5)>дсция. +Г)э позВО>ьи'!' прОВ)>!"Ги классификаци)О ураВИР)шй Вида (1.30) и подООра> )* 1'с, = "(х.у) требуемую замену перемсппых ~ ц =- у;(т, у) 'Ура))пение (1.30) называется уравпсши м л)>р)>бол 55>)лтоа)> т)та в то )кс (х, У), с«ли один и.) коэффициевтов сэц Г>ь в кацоии и)скОМ )5ид)> кВВД1>ати')БОЙ фОрмы )5> раВОВ иу>ИО. >0!Иаа д1>у! ОЙ коэффицисиг можно выбрать по модула> равным е:)ииипе. Для ) равиепия параболического ги(ш в точке )т, у) выражеипе В (х, у) === а!) - апай, = О. Урависвие ('1.30) пя)ывяется уряви( пием ал.(илгаичс( кого (и Ива в 'ГО'(к(' 1Г, 7(), е('ли ко)н))(1)ици('и! ы ()! и О ~ в кю(Оп«'и'- !'ком вид() квй.царя!'и'п(ОЙ! формы Ц имсн) !' ОлииякОИ! ((' ')Ийки.

!1х можпо выбрать о.(иовремеипо равными либо -С1..шбо — 1. ,.1.о! уравиечпш зллипти и«кого типа в то"(ке 1х. у) В0(.у)=-- - и, --апа,, (О. Уравпеиие (1.30) ийпывйстся урйвп()паем яипсуиалааы!) Ова а(ипа в точке (.г, у), если о, и о, в каиошгич'ком ви,и) ква;(ря(! и (- ((ОЙ ())Орх(ы Ь) ((хи)ю! 1«юпь«) ввйки. Их меж«о выорй;(ь равпыми ! 1 и — 1. Д)(я уравнения гиперболп «ского типа в то (ке От, у) В 1(а. у) =- а,: — ап а,2 ) О. Теорема 1.1. Пусть новые иезависимьи перемеипы( г, )~ выораиы так, нос, = — Ьп, Ь(== Ь„, )1„:=: Ьвв О,==.

Ь„, где Ь, )г(ек(еи! ы матрицы В. ( помощью которой квядраги шая ())орх(а Ь1 была ир(пя)(епа к кйнОни'и)скому ви,[ъх ТОГ.(й кОэ())фпциеп'и ! Ири вторых прои:)водных фупкщш «1г, у) в уравнении 1!.30) будут 1Ь,-= .(Сиу) ((реобрявовавы при аам(пе ' так же, кяк ковффици- ~ 0 =- )л(з:.у) ! и ты квадрати шой формы () при )амеис р =- В 'С1. Дана()агисльсгиаа. Ес)п( в псйемеипых (1(, ()! квйай)а(ичийи форма () имеег матрицу козффициептов Л, а в иеремеииых ,а(, р, матрицу ковффициеигов А, при и м Ч = Вр, то .1 -- В'АВ.

и 1.2.3. Классификация уравнений, линейных относительно старших производных, с л независимыми переменными К;)йсси())икйции уравп(*ииЙ видй (1.29) с про«иве. (ьиым )ис.юм и пеаависимых переменных проводится аналогично случаю двух п(рем(".Ипых, Зафиксируем точку (т!......г„) и поставим в (оотвстствие ура шк иию 11.29) квядратич пук) форму П П (() =- ~ ~ а)) (т!....,а„)(ЬЙ( (1.31) ! от независимых переменных дп .... д„.

Онмметрп н!у!о л!я!рину А коэф(рпцнентов ква„.(рапешой формы приведем нсвырожденным линейным нр(()брязованием к диагональному вп,(у. С'ог. !а(- по иакову инерции число попон(ительных и число отрицяп, и ных '!ГКПОВ В кднони'кском Виде кВядряти'пюй ())Орыы (7!и' зяВи(ят о! способа приведения. Это п позволяет провести классификацшо уравнений (1.27).

Если все к(хзффицпен ! ы квадратичной формы (г в ее каноническом виде о)ли шы от ну,тя и о,(ного знака. то уравнение (1.29) называется дзхгпшпг кслшм е точке (х,» ..,.,г„), Ес:ш Один иэ этих кОэффпциРнтО!з О'Грицят(;!Рн. а 1к'(' О('тя:1ьные положительны (илн наоборот). то уравнение (1.29) назывя( гся гье перболн зг(ъчли о ншчке (хп ..., х„). В случае, когда 1(1 < 7 < н — 1) кОэф())ициРнтОВ НОТОжитРльны. а и, — ]О!рицатОльн! !.

урявнРИН( (1.29) называетсЯ дчг(г»т7)агггггеРб»огггг»(сскгг»)г В пгочл(, (.гп ..., х ). Если же хотя бы один из этих коэффициентов (но !и) яс() рав(н ну.!ю. то уравнение (1.2!)) называется паробогпшескал! В пн)чк( (хп ....:Г„). Когда в разных частях области изменения не гависимых !нр(мепных уравнени( (1.29) принадлежит к разли !ным типам. говорят, что оно я!з.!яе!Гя !7]нг(зг(е!(ггге(( слгегггангного го шг а.

1.2.4. Классификации уравнений общего вида на фиксированном решении Огх!Рт!!)1, !То В пре;н!Оз!О)кепззн !К)пр(рывно('!и всех прог(»з- дФ водных можно провести кхнюсификапшо уравнений общее] гз,, Гс Ви:ш (1.28). ]„»!)! э1ОГО н!1до ())икс!1])о!зя!'ь и('КОто]кк'. ]»()пн'ни(' а" (х,» .... х,,) )тоГО ургз!)Иен!(я и приве( Ги к кянОни юском! Ви;!). квадрати гную форму (1.31) с коэффициентами ач (х,.„,.х„) =- ()Ф Тогда уравнение (1.24) назовем эллпптичедгзл» -,ггп ским, гипер(ю,чпческим и так далее в точке (:ге ..., .г„) (7»гла Выбранного репк!пега гг". При иер 1.хх. 11езависимьн переменные з:, и хг обозна шм чер('з:г и д соответственно. 11( линейное уравнение Ф(х,д.гг»л,гг,ч ичч)= и,„+ и, ае» ч-гг;,'ч — 4(гн -— -]7 40 и)кот частные решеиихз а"!х, д) .=- 2у .

Ва"?г. р) = 5хгх, гх"**!.(х у) = х ?!!роз)(рьт(з!). Перепишем это уравнение в !)их!с ! х дФ г(,., + — и„,их„+ — (гт,г(хз + и;,( — 4и„, = О и найдем ан = — =1, В„ дФ 1 (ОФ дф (х(х = = — гхз,, ил — — — — — ()ге (ххх — — — = ио + 2(х„„— 4. 1. ФикспРУ( м Решение и'. На этом Решении (хх х =- 1. Ви —— — ам —— =- 2.

Яз, = 4. поэтому квадратичная форма ?1.31) имеет вид ?~ =- (1)х + 4()х()х + 4(х;. Матрица коэффпци( нтов .)той квадрати шой формы имеет (обе(!)(ххххьхе значения о, =- О. ш, =. 5 ?хзрохзерьте!). ! 1оэтом) ~ожно Выорал ь независимы( !!Орех!с)хзх! х( 1)о х),. В которых Х,) = о,р, -~-о,?) =-5рх ?вхож!Хо выбрать друтис нохзые незя; Шн ИМЬНЗ ХЦ'РОМ(ХШЫ(ь ('СЛИ Д:ХЯ Хй)ИВЕДЕНИЯ О К КЯПОХПХ'!СОКОМ'г' Вп гУ заметить, Хто ?4 = ?(!г + 2(?х)з).