Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010), страница 3

'1йкйя (руоп(-(ь х<йг(мй)и н(кой кн) не<и ирои(хо;<ит из (()(ч(ом(ч<оло! и н( кого зйкоий (ру рь(. ко<орый <н учи! ынйе(, '! <О '(тпнгяй)! з<н1и ия и;Н Й(твит(ь<ыни"1 и 5(В(<5н' Г( я эп( р! ией .(впжугцихся <истиц. й ге)пи рятуря пропорги<оп.<ьна е1н,пн Й кп!и'гн'><ской 'л!и'РГпн 'шГ!Иц (д'ш г(рмодн(ш)пл*нски ргп>новссн(й! мй яро('копи пекой( ('ис !Гх!ы!.

ВО!Ц)ос о пригодно< ли ) рйвн(.'- ния т( п,юпрогкшпос)и сводится в сущ!ю«ги к шл!росам об и<- хо.н!ых,!ля дйшюй модели !й>(д!П>.!Ож<'ниях и о !Очности онпсйнпя шо р<-а.(ьных процессов. Более пос:и юватсльной мо„<елью яв.!я(тся ингегро-дифференциально( уравненн< пер(но(й. й Замечание !.2. «Л случае ««Л1 Ц— : 0 можно.юказать, Гг)о в любой открьпой области изменения переменных >а у, а «решение уравнения ил =-.

Ц~Ьибесконеян!Одиффсрспцпрусмо н йнй.шти шо по переменным я, у. а. ° 1.1.3. Уравнение диффузии Диффузия —. это взаимное проникновение <оприкйсаюн!ихся веществ в процессе теплового движения пх молекул (более крупные частицы также могут диффупдпровйть вследствие броуновского движ< ния!. Диффузия !йюп(ходит в газах.

жидкостях и тв( рдых телах с разными характерными скоростями. Расс)!о!рих! Простейший случай однокомпон(нтпой среды. ГО<>тоя п<е'й и:3 молекул О«1ПО!'О вида. Концов!трациш! тйкОГО всн<ес!Ве! назывй(',тся <ГО масса. содсржйн<йяся в сд!Нппю Ооъсма. '1' е. об ьемпая пгютно( ть мй<>сы (если бы рассмйтрива:пн:ь мпогокомпонентнйя (рсдй, то концентрйпией какой-либо ее компон<нты нужно бы,то бы назвать парциальпу!о плотность . массу всех молекул данного вида в <дшшцс объема, ! Ко!и!снтрацня вен<сотай в различных частях пространственной области В може ! оказал ься неодинаковой. Тог,(а зй счет персносо, нск<>горой массы веще<Ггвй н процессе !силового движ( ния молекул о)лет проис ходить выравнивание концснтрац!ш.

Такой перенос массы н облас(и В от частей с высокой копн< нтрйцисй ве!цсства к частям с меньшей концентрацией н!Глывает< я самодиффузией, он ведет к равномерному распределению всщс<"плй в первоначально нсо, (породной СРСДЕ. Концентрация кйк о! ношение массы вещества к зйшнмасмому обьсму имеет вполне опрсде,!Гнный смысл лишь д(!я конечного ненулевом> об ьема (бо и>е то шос название — средняя ко!Нн>нтрация в дюшом обьеме!. ! «Ренсбрсгая молекулярной <Ггрук гурой нен!ецп!а.

бу,!Гм считать с( о сплошной сусл«он и ввод( м конпентрацик) и(Л«, «) в каждой толке ЛХобласп! 0в момшп времени «. ОТй ИДЕйЛИ:!КЦИЯ Озпй'1ГЦГ!. КОНЕ'!НО, '!ТО !Ц)С;ПЮ;1й18СИ Я СУ!Ц('- ствовяпис предела сред!и)й концептраппи в некоторой Окрестности толки ЛХ при стягивании этой окрестпокги в точку ЛХ, 13!)одя понятие кошлептрацци и(ЛХЗ 1) в каждой отдельной точке ЛХ, мы огрубляем реальную ситуацию.

Но это понятие позволяет сформулировать простой заков. о!лись!!зан))ций самодиффузию. и вывести уравнение, которому подчиняется и(ЛХч $). Если область Р заполнена неоднородной средой. то зя единицу времени распо„ложенну!о в Р поверхность $1О псрессчет пскоторое число молекул кяк в направлении уменьшения конпентрации.

так и в противоположном направлении. Рагпюсть между числачи молекул. пересекаю!Них с!о в том и другом направлениях, определяет речу,)ьтирующпй без!зозвр ппый пот!)к массы вещества через $1О в сторону меньшей копцецтрации. Его можно охарактсризовать вектором плотности диффузионного потока %'(ЛХ.1); если и едиппчная внешняя пормаль к И то лиффузиопньш поток равен (уу,п)$1О Пр!$ отсутствии внсшпих возгссйствий и в случае постоянной в области Р температуры (а также постоянного в области Р давления, если речь идет о газе) Ж определяется законом Фика: ЛЛ' = — 7сягас)яа, где Аз > О .— коэффициент' диффу:зии 1Н физике принято другое обозначение). В общем случае коэффипиенз диффузии можно опреде.ппь, расс матр)пзая смещение отдельно!л мо,!скулы.

Нроисход)пцее вследствие сс столкновений с другими молоку. зам и. Это схпз ценив ъи няе ггя со времен! м случайным образом, по при большом чис'- ле столкновений сто средний квадрат растет пропорщлопально времепп; коэффишсент пропорпиопалыкюти Называется нозсХ)$1)$$- й)и ни)оги сг))сХ)фузпа. Г)чев!лзсно, что коэффипиент диффузии )1 *) см им с ст разме1я сост ь —.,Дсз)! $!рос !шлшс ! О с. 11 ча5$ само, лиф!1)у 11111 с в ! а:зях коэффициент диффузии можно найти и:з несложцых молекулярно-кинсти кзских рассуждений, Знак «минус» в закопе Фика показывает.

)то перенос массы в процессе диффуз!ш проигхо, сит от области с выс сжой кошлеп грацией к области с меньшей конпсзптряшп'й, я не 1)ю)б(ц)от. Закоп Фика яв,зяс',1Г)$ фс',ПОмс'НОГ!О!'И'!РС;КИМ, ПОСКОС)ЬКУ ИС!!ОЗ!ЬЗУЕТ ПОНЯТИЕ.' КОН1$СПТР)ПШИ Ы В толке ЛХ(я. у. г). которая должна быть непрерывной и дифферепцирусмой зю га д, г функцисй. Л1атсз)сат!$ !секи !акоп Фикя сшалоги зон закону Фуры.'. оп)лсывянпцс му зсплопрояолнос"ль (в !ястности. в привсденной выше е) О форму.,шровкс с реля с )итастся 1$зотрол)по!1).

В основе яв, и ппй теп:пяйнян)дпогги и злифс1)у- .зии л("жиг о:)ии и )о! же механизм молеку>шриого иер( нося: я!кои Фи«я я! )!«)ж)н'! Пер('ио( мас('ы, я и)кон (1)у!я (' )и"р(')нк' 'ии ргии, 1! )яя их ! лу (аях ир(длагается ие р «тмя )!низать го6- ("! ю'и!«) ляиж(иия Огд(ьи и! )х мо>н к) л, Й я!«("и! и )О)ж.(ои то'(к(' Ч о6. )ю"! и 0 и(личииу и(М, !) (ко)щеит1юция). )( ми! рятуру). мйюкт( ризующую идеа. июирояаш(ую юп(ю! ))у«! ср(,(у . !1ыдслим и области 0 ироизяо и иук) !«(«)6.)ю гь !У.

и! рации)ииук) замкиутой кусо шо-гладю)й !«ц«рх!««"и ю ()!. Е;ели а обси«ти 0 щт источников (или !'ниии)! ю )ц!'стая, пят д)и)к))у!ни ю) юи'и)юою ср(ц[(з и ко)ф())и)ии'ит,.и«!)())ггзии !' =- ('Оия! ) (). >О из 6иланса агасси для о6(ингги 1У я иром(жу)ке ярсмсии (!! 1„) Щ~ (МЛ.,) я(>!Сй)~6!и!!)1>-- -/'!!Ц(ЪК. ) 1,'! О' и и ! .закона (!>икя иолу )ю м ! со)юри«иио яиало! и*шо выводу ураииеиия (1.!!)),)и(!)(!)( р! )щиа.и иос уравнение лиффу:иш; ий М, !) = !>-)>)и(йз: !). (хяк и ц ураа)цчши теи. к)ироиодиости, и урию«иии „(яффу.иш можно у их ть,((>йстяие;й>у! их факторов. иаиримср. зависимость козффициеита;(иффузии от коицеитрации: ,(М. !) = (!1: И(и()11. !))й ' ! )и(М.

!)) 1.1.4. Стационарное уравнение теплопроводности: уравнения Лапласа и Пуассона Коикретиый! процесс геплоирояодиости ц области 0 задается ие то.,)ько уравиеиием теилоирояо;шости (у и(зго им(елея б(скоие шо мио! о решеиий). ио и иекоторыхш доно ипп(.>ьиь)ми ус )оииями. 1! ка )еств( таких доиолпи и льиых ус, «азий могут яы( г(— ц)з! (, кача. )ы)ое у( лояие. оире;(еляющсе температуру я 0 я маме)п времени ! =- О, рязиообраз>ц )е режимы иа ! ряиице >'облил и 0 и ;(р. Можно иодобр и ь так)и> доно, шит(е)ьиы( услоюш, ири когорых п маер пури ие будш зя)зисап о! иремсии: из — !й !'якой ироцесс теилоироиодио(чи (и о(х)яс.)и 0 имеклся теи.«яшя иогоки!) иазьи)яе г( я споацнонарным.

Ес. )и ко)ффицис)п теилоирояодиос! и й == соця>, то (-гацио)шрияя т(эи)ерятура и(й/). Лу Е 0 у.(о)з>иг!'аоряет ие ураяиеиию (1.()), и урию«иию (за(М):: —— Г(М) (1.10) ко горо( ! ш.и,(ю«'! ( я у)>агзнен))ел( Пуассона. В|ли в облас! и О нст ш то ишков тс |шоты. то стяциопарияя темие1япура удое, 1ег3)с)ряе.! в й уравиешпо (1.11) .':>и(Л!) =: О. кгп орое н азы вас и я рри> и|гн ш ш,!!1177,.1737>сс,. 1!ссг>и)3|ио>3ар)сь31* уряш«иия |е|шопрово,|пости и диффу иш, у рая!«||ив,,!ап, |си и и 11уяссо||а у.|об||о за||и!||вать в с !«цпя:и ис) выбря)3иОЙ с3>с'1'ох|с) коор>|и|ИЛ, с!|я||ы||ая с|с' ||ыООр с Гс'Омс'3'рис'и 1)б.исти О.

На||рих)с'р, если О имее! форм| ирямоупшьиоп> па!я|17«с И1|и1« дя. 'и) с 13ес|вс 13|ю рс и|а п '|агш'|и | |я 'п1ких ур|)в)111- 1|ий 331!с'к )рто>>ой прямоуп>льной съ«гемс коор,и|пап Если О прямой круговой цилиндр. то разумно выбрать |пслипдри !!*с>сусо сисис)му кс)с?рд|пс!сг., 1>ся пшровой с>бласги !!удоб)3!3 сфсри я|скяя сис тема коорли|ш г. Возмо>кпы и бо,и с с:«))кпь«с итуации. дикиукицие выбор др| п|х криво сш>си13|ых шн тем коор шнят.

Е)удем .1я|сс |к) |ь>сяип ься только ука |апиыми ир>|моу! олы1ой. цилпп„|рин>ской и сфери и;ской спш ех|ами кех)рдипат в 33!?сх тря!«|ве. В «с которых глу ишх мо)кет ока|ап !я. ито те|ш|ература пс' .>Ивисиг от одной ирос|рш«твеииой коор„|ииап ! (!|усть. ияириж р, от коор,|и||агы = в декартовой сиспгх«| Ог!а): и .—.- и\!а 77, !). '1ог |а и кя «спи облясп| Она |о рясгмятришпь ооласть измы«- 3|па перемс|шых,|: и 77 ия илогкснтп Оги. При атом уравнения 1!.8) 11.11) сохр|шяк>т свой 3|ид !надо |ольке у нсть, я|о вес| прои ||и>дпыс фуикц||и и по в рав||ы 3|у.,|ю!.

В заш«:имсхти от ГСОХ|с'Гр1|и сх>ляс>'и О 3|я 13:!|х'кс)с"333 бы||я|"!' у.|О|я«? им|с"31> 3|рямоу|ссп пой гис |с мы координ)п Ог|7 выбрать,сругую, ияпричс р и ).|яриую шн тему коорлииа!. Ваиип«м с>33сриор „!И!3733?с>я в укя ипшых систс;мях коор,|и13|П: ° в с!С)с13!>77!1)с>О1! Ог||с д-и д-и д'-и Л, „ч -.= —, +, И вЂ”, Л! =- 3!!(.31 1Л т); д -' дд! д.> е с с!>7|риис|вой Ог == гяшйсс>ь;.. й -=- |тйи0яшях в == гсояй) 1 с)(,с!и>~ ! д( с)17) ! ди г-' с!7 ~ с!г) 7'я)130 д0~ д0 1 г-'И!3330 др-' Л! -= 7!Е(7. О. Л); ° ци:|и>|див 71 Гас>и (.г .= 7'со! и и -'= г;3|и.|', " ='- е! ! с?1 ди) ! д>и д и 7'х, .и -- — — г — + — — ' —,, —,.

Я.— Л!(Г| .;. "). 7' д7' д|') 7' д д: 16 Н<з плоскогги: ° в декартовой системе координат Охту дли д <л Ь, т тл =- —, + —, ЛХ =- ЛХ(х, й); дх- ду ° полярной (х.— -- тсоа,>, й =. гв(п,р) 1 д ( дтл) 1 дли А з и = — — ~ г — ~ + —,, —,. ЛХ = ЛХ( тс .р). г дг~ дт ~ г дчз' Приведем примеры стационарных распределений температуры. Пример 1.2. Пусть в момент времени Е = 0 однородный стержень (П = 10< х < ()) имел температуру и(х., О) == ц,х, ц,:= ссшвт, Град [иц1= . Во все моменты времени 1.> 0 концы стержня поддерживаются при температуре и(0, 1) = 0 н и((, 1) =- и„(, а боковая поверх<сост< стержня теплоиволирована: источников теплоты в стержне нет. Очевизсно, что функпия и„х удовлетворяет уравнсник> ит = а и„= О, т.

с, яззляс'.тся стационарным распределением т<зхтп<зратуры и стс.'ржне. ° Пример 1.Ж Пусть в момент времени 1 = — 0 однородный стержень (Х1 = 10 < х < 1)) с коэффициентом теплопроводности Й = И'(( = сопв1 имел техшературу и(х,О) =- — ~ — — х . И' = согни ) О. (< 12 Дж (И)== лИо все моменты времени т ) 0 горев лсвыи конец с смл стержня снаружи «нагнетаетсз<» теп:лота внутрь стержня с постоянной плотностью теплового потока Ит, а через правый конец теплота хвыкачивается > < той >ке плотностью теплолзого потока: — (т<л,,(0, 1) = И; — Ьл,(!.