Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Уравнения математической физики (2010), страница 5

В ненозмущенном состоянии ее можно представить кяк всю ось Ох в нросграпств( Охуг или кяк сс коне шый отрезок 0 < |г < «. Струну можно возмутить разными способами: изогнуты я зятем от((у(г(ивы ударить. сообп(ин некоторыи ряснрс:|сленный вдоль струны импульс'. приложить к струне распрел(гн"иву|о вдоль нее нонере шую ( илу; иере>нин ать по определенному закону концы струны; приложить силы к кош[ям струны и г.д.

20 В любом случае по струне стану ! ра! пространяться во !муще!шя по ней побегут волны. Для ош!сания распространения волн вве,шм виктор (и!(х, ~), и!(х. Ц, ив(х, !)), зндающий положение в пространстве в момент време!ш 1 той гочки струны, которая в !и возмущенном состоянии имели координаты (х. О, О). Рассмотрим простейший случай. когда все возмуп!шшя и вызывающие пк причины лежат только в плоскости Охг. Тогда достаточно и!ести одну скалярную величину и(х. !) ! мегцение в направлении оси О- в момент време!ш 1 той точки ! трупы. которая имела в невозмушенном состоянии координату .х па оси Ог.

Величина н являеп я и!!перс"!ньы! см! !цсппем в то !кс х (нс будем рассмнтривпть возможные продольные смещения, !"!итая их пренебрежимо малыми), Из-зв ныли !ия изгиба в струпе вопшкнут вну!рсннис упрутп(! силы, Предположение о еиГтос!и!! струны означает, что зтп силы в каждый момент времени нвправлещ! по касательным к ес профилю. Коп бац ия с ! руны будем г и! гать .малыьип и допускакнпими применение, закона Гука В сделаннык п1)е!пп!сп!ж! пинк ве!!и и!нв 'Х и!гру гой си.п.! нс знвнсн г от и и и щ про! кци!о пв ось Ох ь!ожпо с !и! вть рнвной 7п(х, 1). Кром!' гого. суммв проекций всск сил на ось Ох должна быть равна нулю. поскольку раггматртзнются только поперсчныс колей!и!ия струны.

Пуси, в направлении оси Ох па струпу;!ей! твует распредсленпвя внеппшя силн с линейной плотностью Д(х, 1) () силв, прикодящаяс~! на единицу шипы). Выдс:шм у щеток струны (хе аЯ и нпйдсм изменение количества движения зтого участка в направлении оси Ог в течение времени (!! Я. Если р .!инейная пг!огп!!сть массы струны (д.ш однородной струны р(х) = сопя!), то рп,(х. 1)!!и импу,п.с се участка длиной г)х, тог,!а и Х р (2х; (:г. У2 ) — и, (х. ~! ) ) г!х = и = ~ !" (!!, (х,,1) — и, (г!.!))<!г+ ) ) ! (х.!)г!х<И.

К кяж,!ему иптггрвлу В 3!Ом рви!ястве прим!!и!м формулу среднего значения н раз:!елим равенство на х:, — х, и па 1е — 1!. Ватем и! рейдем к пределу при х, — х. з;, — х, ~! — й 1! — й прсдполагвя существование у функции и(х;, 1) непрсрывнык вторых произвол!ых и,.„(:!! !) и вв(х! 1). То!да получим и„(х, 1) .== ееи„(х, 1) + Т 1 + у(и( 1), $',(( а =- — = сони!, д(гу) .

) ( $.!). 11олуч(нио< лиифр фереш<иальиое уравиеии< $($( и,)(ьи» я (1»)ши вием ноисрсчных колсбаиий оде(ор(у(иой гц)( и! !. 1»«)и )(гл /) =.. О. то сто и ()ые)а<оч уравигч<исм <и(>(>о(!и<а)'и($:и(»$(ий 1и;! «груиу ивд(й( п>уи>т $)пеши)и ( $! <ь) л)($$>и(5$)и $$!»~$$)* и~ )и г )о икО ИОд $55<иянисм сил ) ирт- $ и"<и) 11(и"$(шшши ($0 м)р»кгп ри)уег материал. и( когоро<о (,.и, шии с ц)( ии, 11к ! (ы(ки т«я, $ го а является скоро(тью р и иро("цк)$$( $$$!)$ ы).

и! (»1О.<(, о('и (0)(а '1'$ )и рь 1>и(т>ю< рим в и.соек(Эсти Оху(:$(я )Ну<о об(шс) ь и( $1ии ини и л', й)о,к)и) ('шт» гь се(!!)ух)ер)<о<5 о,<иоро, <(юй )и ьчпмуи<( и)»)й мсмбрши)й. Воэмутим мембран( к»кнм.лн(х) (а)ра (ох). Прелиоложим ирн этом, по.иобая чо )ки м( >$$)р(и)ы, к(порвя в иев<жмуиц ши)х! состоянии и<и ч» $(рги )рши ! )и )ии и к()ор иишгы (х у О), ('ме<ий(тся 'гО.<$>ко в На<О))н)<и'ии)! <и'$$ (12 $$$! $$!«<и'!!<И)' и(.$. у. 1) $5 момент $)реки )ш ~,. Д и( о)$)и»$<ия 1ю< »1хи гр;)и( иия воли ио мембраш «дели м ир( „ии>)и)ж( н)о(.

2!!!<с ик и и(ьи $$0(у($<о Ео>кеииям о ио)и'р(")ных кол(6$)и)ш>. ( П)( иы и. И) о иродо.и ных ко.,<ебаниях ("$)рж)и<, 1(и>!» )и)л) 'и)м )1»)шии)и' м»иыт< !)обойных ио<ир(чиых к(си 6 ишй мсм61»иич ии(,г. у, 1) ." » ( 2$„,(.$( у, 1) + 'и (г. у, 1)). Если )ш м( м61ки)), и ш $ иу( г1»и ир(ьих и иная ио Еи и иои( рс шая виеш)нш снл», т() ) рани»Ни ко <сбаиий >и мбр»иы имес! Ии ! ии(г, у. 1) == - и-(а,(.г. у, 1) $- и,„(.а у. 1)! т у(:г, у, 1) Замечание 1.~. Чалые упругие $)ои(рс'ниис кол(бати( стс ржня ( шжатым в тиски коицом о)ии;ьиицот('я уравиеиием ии(,г. 1) + ($525....,,(:<( 1) =- О. В,(вум(рвом (лучи (кол< баиия иластешки с 5$)- кР! и:и ени,)м $0>й( м) с! О а<шлОГОм Яи)ии'т( Я УРйви( ни( ии(:г. (У 1) + + ($'-'хсхи($; )й 1) .=.

О. В<ли еу)я < труиы и хи мбрйе)ы в с)н(5$(2)и>и)1>- 2(а(«к)у <йе ио;!)'$»и и урй>)и< н)И,.1йи:Ейс;! (И.и! у рйв<и ии(' 11) а(- со)и), го лля укаааииых уравиешш бигармоничееное уравнение <хсхи(з( у) = 0 (или <х.">$$(г. у) =(5($$( у)). И Во,)Новым )равнеиисм ви„(а 2<22(Л), 1) .= — а .>)$25(2$! 1) <ц -'= 1((!' у г) х(о к))о Оии(<$$! р<и:$)ро("$1»ии(™(' )е)уке! $5 и!>0("ЕР<и)- «!!5(»,1$)у $$)ии( чм.и> ( груиа. мембраии,,<уховой мгр)ыка.)ьиый ии(тря>ив! И.ЕИ 5)гобой ир(п)Й и("(о <иик )в(кй вы)ы<5»("! )<5)О- до<1 ы()м(.' ко))сбй)$$(я ИО( (ух»: (го (жач ия и р»50(жс иия ( кО. Ио шия Еа(егия ирои«хо.оп вдо.и и»нрав.ишия ра($0>оса>а)и иия волиы: и .

скоро«! ь рас$)ро(трйи( ния во и<ы и = 330 — ). При атом выпи» с 3»у к» '3»вис1Г!' 01 'и(СТОГ[!. й <! и ии Ге»си»»О([ь О!' й:си ипуи< )й)» бй«ий.,Л!)у»0!)ыс БО и!ы ме)к!») (»(и(й(ь. (< )»[с !Исйп, !50(дух упру)ой средой.,[ля которой справ(',[.пп) зяко» рук». и Гк по.п; 50вйп !й)ниц»и ВО;и!СВОГО,[виж<1»ия 1 юйг(1!»й. [".ОГ.!й(»О при»- пи»у Гюйгеиса каждый з.

и ме!п !ювсрх»О«ги. котпрей,!Ости[ля в:[й»иый меме!и воша, яв)ь» !( я ц(»трем з.юмеп!»рных»о,ис. ОГиО»югцая кптпрых Оудс1 1»):!»0»ей 1ювсрх)»к"Гьк) 13 «Г,»;!< к)- )ций ° моме!и времени. 11ри 5 !Ом Обр<3.!.»1,!() алсмеи Гйрю» ж) Гиы БО виимаш!е п< при»им(потея. Тяк можно ири)пи к»о.п»»)ому уравпсиию, Описывак»»ему,лцьгис ко„себа»»я в ирпстраис ! !)е, приняв, ч)о ему по„'Гииь»тся БО )му)ц( иие;ии)лпшя во )дух». За.ие са)лис Х.5.

<1)!3:и!»)скис явсц пия в ! азах. свийс-п)й их »1<''ССИП» 1'ОР».3„[0 (С10)К»('(' а»УС[и'1<'скин 150<»!ОВЫХ ПРО!ЮГСОВ. 11 с жимасмых средах мо! у[ рги прострйия.п,ся со свс)рх:(вуковей скоростью )ссс)<5!»(ьс(5 Вой»и у)кис Облйс! и. в которых иреисходи ! !»:)кО(" ув(1.»1 [сши ис!ОТ1»»ти. дйв)и иия и скОрОГ1». 1 (»льиьн ГЯЗЫ И жИДКОС-Гп ООЛаД»КИ»(й)Л»ГП)ЬЮ ИГ<тРЕИИИМ ТРС !1»ЕМ. кО ГОРО(' Окй5»1[и»'1' сОИРОГББ. »»1»1 1»'1»'мс'пюви(О О:[!ю! О с.п)я От- 1(ОЮГ(сль»О,'ц)< и» О. 1 ( »Гсы и»и' тс" »! !ия ( у»и с "1)к)»1!О 11!)»»Г(ис))!(и, Б иих и(» у Г »0»иик(пь 1(О»х)с!»»ч»1<с сл»»100»йп!и и"Кипя ( 1»)- Гк рхиости обо касмого тела или и» гр»пи»С погоков. в которых резко и )х»5»яе!с'я скпрпс и, или !с'лсисрйт< рй) и»п)))бц,.<с!(»!)(с)с»<и )миогоиислеииые Вихри.

хйо[и кгким обр пим ивх!сияю!ц!и: ги5[рп(ии!ал!Б» скис и тсрмодииам(г» ски( харак и рп(п ики ( рс,!ы). [)ии( й»ие ирои( гсов и явлепий в Гй ых и жи,[костях ОГ[юв»»О ия !»н-гро<'пии урйюк'!Гий. !3!(рюкй!Сии!х 1»кь»ы спхраиеиия массы, импульс я и»пергии. а также иа урявиеииях с Осмеяния. 1!ри 5 сом ГК Се[»с[(.1»[ОТГЯ ..10»,1Ы!ЬН И!»,[1»)Ю)К()ИИЯ:,[(1»С)Ы(0 ) »1! Ы»й»пся особе'п»О( и! кпикрс'гиых т("циий и ша юиия хярйкг<ризук) »[их ('рс ду и»рйл!с !р()!» ° 1.1.7.

Уравнение неразрывности. Уравнение потенциапьного течения жидкости 1ЪТ! ь и рс< Огр(ши и ю[ун) 061)Бе< ь !1 ирпс)р(ии 1»» ХЛГ<)т !йю1<юи)т жидк()сть )Гй)). 1ГОО1! В! (рй 3и)ь )йкО»11 Лю!жсиия жи1; ког[и пй я )ык( м»тем»гп» ске(О»и».!и ы. »»,[о с*(и !»и <(,[Вижугцей( я ( !1 ю!и!!ОЙ < р(с»~Г). (). йрй(с 1(ри <уем ес Б мем( !и' Бр(м( пи ! Б<'ктором скс)р(» Ги т[ЛХ.!) и <н)ъ('миий п.ю[исн [ыо л!<[с(1,! !)) ЛХ. !) в кйж,н)й го(ке ЛХ =:: ЛХбг, д, с) Обь»ти ХЛ 1! м(О» пг в)» ъи»и ! *)й Щ 1р ( Л1, 1,, ) — р (ЛХ, 1> ) ~ >1т>1>й<Ь = и —.— — / О р(Р.1)(ъ'(Р,1),п (Х>))>Б~>1б (1.!3) Формула Остроградского Я (1>ч, п)Ю = Щгйь'и (рч)>Х.Ый>1 а л для век> орного по»я 1>ч >юзвоззяет за>п>сагь (1.13) в виде Ш[р(ЛХА) — рыл,)'>Хлт1>д1 + л + ~ Щ >1>ъгз> (р (М ~ч(ЛХ 1$г>1й>1ай = О.

(!.14) и Баланс массы (1.13) справедлив в облас > и Х! р>я про>гз>зольнз>й подобласти 1У с кусо шо-гладкой границей. Запишем (1,14) для Х>',. к каждому из интегралов ~ и Щ применим форх>улу >у среднего значения, затем рве>делим полученное равенство па объем области ХУ и на 1~ — 8>. Вьшо>>пил> вреде:иный переход. сгягиззая 1У в точку ЛХи устремляя 1, — > 1, 1, - ~,.

Тогда получим в г> содержится жидкость массы Щр(ЛХ.1)>1х>11»1а (е< зависни мосп от времени может обьясняться, например, тем, что через Х> протекает смесь жидкостей перемшшых парцнальных концентраций). Границу области !!будем считать > ладкой (нли кусо шогладкой):замкнутой >зоверхнг>з тью Я; п(Р) вектор»пса>ней нормали к о в точке 1' Е о, ~~п(Р)/ = 1.

В мокнет >зреме>ш ! жидкость пересекает поверхность Я. пг>кидал облагз ь ХЭ, со скоростью Цр(Р 1)(ч(РД).п(Р))>Яр~ — ~ ((ъ, и) нормальная соггавля>о- 11.1 шая г»зор<>сз>з ч: (ч. и) >ХЬ" -- об ьем жзздк»пзи, з>праге>>пз>з>з>з>зй >ХХ>'в сднпипу времени; р(ъ. зз)г>о' ее масса; ръ вектор плотности потока массы). Если в области Х! нет источников или поглотителсй жидко> ти. то и:зменение массы в 0 в промежутке времени [1п Я обусловлено только потоком жидкости через Я; др(ЛХ.?) 1! . „(Р(ЛХ,() (Мд))= 0 (1.15) с?( (ифферепциальное уравнение неразрывности (выведено в предположении. что функция р непрерывна и имеет непрерывные производные.

а для векторного поля Ръ справедлива формула Осгро!римского). Уравнение (1.15) выражает в дифференциальной форме )акоп сохранения массы и явлж. 1ся одним из основных уравнений гидро- и газодинамики. Еспл в области Р распред! лены ис )о шикп (пли поглотители) жидкости, то их действие необходимо у н)сть в балансе массы. Интенсивность ъп'НОвеннь!х истО шикОВ х!ОжнО ОхарактеризОВВГ1 их огп,емной плотное!ью Х (ЛХ. 1): в промежутке време!а! ((н (1) а источники вы;нляг в В массу ~ Щ Хг(ЛХ,()5!г!1у(ХС(1(, которую н теперь надо приоавить к правой !асти (1.13).