Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 17

Тогда потенциал в точках плоскости симметрии системы, перпендикулярной линии, проведенной через центры шаров, равен нулю.Потенциалы шаров относительно этой плоскости равны1 q1 2q. Следоваϕ1 == −ϕ 2 , а разность потенциалов ∆ϕ =4πε 0 R4πε 0 Rтельно, согласно (3.2) емкость такой системы равна С = 2πε0R. Этавеличина вдвое меньше емкости уединенного шара.Ответ: С = 2πε0R.Задача 3.3.17 (базовая задача). Батарея из четырех одинаковых конденсаторов включена один раз по схеме а), а другой раз –по схеме б) (рис. 3.14).1234а)12341234а)1324б)б)Рис. 3.14.

Две разные схемы соединения конденсаторов в батарею (задача3.3.17)Рис. 3.15. Эквивалентные схемы батарей, изображенных на рис. 3.14 (задача3.3.17)В каком случае емкость батареи будет больше? Если емкостиконденсаторов различны, то какому соотношению они должныГл. 3. Проводники в электростатическом поле105удовлетворять, чтобы при переключении со схемы а) на схему б)емкость батареи не менялась?РешениеПостроим эквивалентные схемы, используя точки с одинаковыми потенциалами (рис. 3.15).

Теперь легко сразу дать ответ напервый вопрос:1411Ca = C + C = C; Cб = C + C = C.3322Видим, что Ca > Cб.Емкость батареи не будет зависеть от схемы подключения, еслиC4+ C123 = C12 + C34,гдеCCCCC1C2C3.C12 = 1 2 ;C34 = 3 4 ; C123 =C1C2 + C2C3 + C1C3C1 + C 2C3 + C 4Отсюда следует ответ на второй вопрос: емкость схем а) и б)одинакова, еслиC1C3C3C C (C + C 4 ) + C3C 4 (C1 + C 2 )= 1 2 3.C4 +C12 + C 23 + C13(C1 + C 2 )(C3 + C 4 )Ответ: Ca > Cб; емкость батареи не будет зависеть от схемы подключения, еслиC4 +C1C3C3C C (C + C 4 ) + C3C 4 (C1 + C 2 )= 1 2 3.C12 + C 23 + C13(C1 + C 2 )(C3 + C 4 )Задача 3.3.18. Два конденсатора, емкости которых C1 и C2, соединены последовательно и присоединены к источнику ЭДС E.Определить напряжение на каждом конденсаторе и находящиесяна них заряды после установления равновесия.РешениеПри последовательном соединении заряды на конденсаторахбудут одинаковыми, а сумма напряжений равна ЭДС подключенного источника.

Поэтомуqq∆φ1=, ∆φ2 =, ∆φ1+ ∆φ2 = E.C1C2Решая эту систему уравнений, получим106ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОтвет:∆φ1 = EC2C1C1C2; ∆φ2 = E; q=E.C1 + C 2C1 + C 2C1 + C 2Задача 3.3.19. Четыре одинаковых конденсатора соединены, как показано нарис. 3.16, и присоединены к батарее с ЭДС E.Ключ К2 сначала разомкнут, а ключ К1 замкнут. Затем размыкают ключ К1 и замыкаютключ К2. Какова будет разность потенциаловна каждом конденсаторе, если ЭДС батареиE = 9 В?K112K2E43Рис. 3.16. Схема соединения конденсаторов взадаче 3.3.19РешениеВ первом положении три конденсатора замкнуты на ЭДС E.

Накаждом конденсаторе будет напряжение (1 3)E и заряд q = (1 3)CE .После переключения ключей заряды на конденсаторах 1 и 3 останутся неизменными (следовательно, и напряжения не изменятся), азаряд конденсатора 2 распределится поровну на два одинаковыхконденсатора 2 и 4. Поэтому напряжение на конденсаторах 2 и 4станет равным (1 6 )E . Итак, разности потенциалов будут 3 В; 1,5 В;3 В и 1,5 В.Ответ: 3 В; 1,5 В; 3 В и 1,5 В.§ 3.4. Задачи для самостоятельного решения3.4.1. Заряды распределены равномерно по поверхности двухконцентрических сфер с радиусами R1 и R2, причем поверхностныеплотности зарядов на обеих сферах одинаковы. Найти плотностьзаряда σ, если потенциал в центре сфер равен φ0, а на бесконечности равен нулю.εϕОтвет: σ = 0 0 .R1 + R23.4.2.

Две концентрические проводящие сферы с радиусами Rи 2R заряжены так, что на внутренней сфере заряд q, а на внешней2q. На расстоянии 3R от центра сфер потенциал равен φ. Найти R.kqОтвет: R =.ϕГл. 3. Проводники в электростатическом поле1073.4.3. Внутри незаряженного металлического шара радиуса Rимеется произвольно расположенная относительно центра сферическая полость радиуса r, в которой расположен неподвижный точечный заряд q на расстоянии a от центра полости. Найти потенциал ϕ электрического поля в центре полости.1 1 1 ϕ = kq  − +  .a r R3.4.4.

Незаряженные концентрические металлические сферыимеют радиусы R1 и R2. Между сферами помещен на расстоянии rот центра точечный заряд +q. Найти разность потенциалов междусферами.1 1 Ответ: ∆φ = kq −  . r R2 Ответ:3.4.5. Найти потенциал φ(r) создаваемый двумя концентрическими металлическими сферами с радиусами R1 и R2, заряженными зарядами q1 и q2 соответственно (R1 < R2).q + q2;Ответ: R2 ≤ r: ϕ(r ) = k 1rqq R1 ≤ r ≤ R2: ϕ(r ) = k  2 + 1  ; R2 r qq r ≤ R1: ϕ(r ) = k  1 + 2  . R1 R2 3.4.6. Точечный заряд q помещен на расстоянии R 2 от центразаземлённой тонкостенной металлической сферы радиуса R, накоторой расположен заряд Q. Определить силу F, действующую назаряд q.8q 2Ответ: F = −k 2 .9R3.4.7.

Точечный заряд q находится на расстоянии r от центра Озаряженного проводящего сферического слоя, внутренний и наружный радиусы которого равны, соответственно, a и b. Найтиполный заряд Q слоя, если потенциал в точке О равен φ. Учесть,что r < a.b b Ответ: Q = q − − 1 − 4πε 0 bϕ .a r 108ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ3.4.8. Три концентрические металлические сферы имеют радиусы R1, R2, R3 соответственно. На внутренней сфере заряд +Q, навнешней +2Q, средняя – не заряжена. Определить:а) распределение потенциала во всём пространстве;б) поверхностную плотность зарядов σ на внешних поверхностях всех сфер. Считать φ(∞) = 0.3Q3QОтвет: r ≥ R3: ϕ = k, σ3 =;r4πR32 2 1QR1 ≤ r ≤ R3: ϕ = kQ +  ,σ2 =;4πR22 R3 r  21Qr ≤ R1: ϕ = kQ +  , σ1 =.RR4πR121  33.4.9.

Три концентрические металлические сферы имеют радиусы R, 2R, 3R соответственно. На средней сфере заряд +Q. В нейпроделано отверстие, через которое проволокой соединены первоначально незаряженные внешняя и внутренняя сферы. Найти распределение потенциала во всем пространстве, считая φ(∞) = 0.QОтвет: 3R < r : ϕ = k ;r1  32R < r < 3R: ϕ = kQ +; 4r 12 R 7  1R < r < 2R: ϕ = kQ  −+; 4r 12 R Q– +U0r < R: ϕ = k.3R3.4.10. Конденсатор С3 был предвариC3C1C2тельно заряжен посторонним источникомдо напряжения U0, после чего его отклюEчили от источника и подключили в разрывцепи (рис.

3.17) в указанной полярности. Рис.3.17. Схема подключеНайти заряд q, прошедший через источник ния конденсатора С3 к цепиЭДС цепи. ЭДС источника E, С1 = С2 = С3 (задача 3.4.10)= С.1Ответ: q = C(E – U0).3109Гл. 3. Проводники в электростатическом поле3.4.11. Плоский конденсатор находится во внешнем однородном электрическом поле напряжённости Е, перпендикулярномпластинам. Площадь каждой из пластин конденсатора S. Какой заряд окажется на каждой из обкладок, если их соединить друг сдругом проводником?Ответ: q = ± ε 0 ES .3.4.12.

Обкладки плоского конденсаторасоединены проводником друг с другом и заземлены (рис.3.18). Между обкладкамивставлена тонкая пластина с зарядом q, параллельная обкладкам конденсатора иимеющая ту же площадь. Какой заряд ∆qпротечёт по проводнику, соединяющему об- Рис.3.18. Конденсатор складки, если пластину передвинуть на рас- металлическойзарястояние х? Расстояние между обкладками d. женной пластиной (задача 3.4.12)qxОтвет: ∆q =.d3.4.13. В схеме, показанной на рис.3.19,сначала замыкают ключ К1, а затем (послеего размыкания) замыкают ключ К2. Определить напряжения U1 и U2 на конденсаторах С1 и С2, если ЭДС батарей соответственно равны E1 и E2.Рис.3.19. Схема включенияконденсаторовзадачиC E + C2 E2C (E − E )3.4.13.Ответ: U1 = 1 1; U2 = 1 2 1 .C1 + C2C1 + C2Литература к главе 31.2.3.4.Матвеев А.Н.

Электричество и магнетизм. –М.: Оникс 21век, 2005, §16.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. –М.:Физматлит, 2006, §§11, 23, 26, 27.Калашников С.Г. Электричество. –М.: Физматлит, 2003.§§ 27, 31-36.Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Физматлит2003, §§ 5, 9.110ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГлава 4ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ§ 4.1.

Теоретический материалДиэлектрики – это материальные тела, в которых нет свободных зарядов, способных под действием электрического поля перемещаться на большие, макроскопические расстояния (в отличие отпроводников). Заряды в диэлектрике могут перемещаться под действием внешнего электрического поля на расстояния порядкаатомных.Электрическое поле в диэлектрике. При действии внешнегоэлектрического поля положительные и отрицательные заряды вдиэлектрике смещаются в пределах молекулы в противоположныхнаправлениях.

Такая система сама порождает электрическое поле.Поле в произвольной точке пространства становится суммой внешнего поля и поля, созданного системой разделенных зарядов диэлектрика.Дипольный момент. В первом приближении электрическиесвойства нейтральной системы с неоднородным распределениемплотности заряда характеризуются ее дипольным моментом:p = ∫ r dq(r ) .Значение дипольного момента электрически нейтральной системы не зависит от выбора начала системы отсчета.

Поэтому радиус-вектор r можно отсчитывать от любой точки, выбранной за начало координат. На больших расстояниях от системы ее электрическое поле совпадает с полем точечного диполя (гл. 1, формула(1.4)).Поляризация. Процесс образования (или упорядочения) дипольных моментов внутри диэлектрика называется поляризацией.Поляризация может происходить за счет смещения зарядов в атомах и молекулах диэлектрика при действии внешнего поля, за счетупорядочения ориентации дипольных моментов атомов с несимметричным распределением внутриатомного заряда и по ряду других причин. Разделенные в процессе поляризации заряды называются поляризационными (или связанными) зарядами.

Связанныезаряды могут быть как объемными, так и поверхностными.Гл.4. Диэлектрики в электростатическом поле111Заряды в диэлектрике, не входящие в состав его атомов и молекул, называются сторонними зарядами (иногда их условно называют свободными зарядами, хотя в ряде случаев сторонние зарядымогут быть и не свободными).Поляризованность (вектор поляризации) P диэлектрика –это вектор объемной плотности дипольного момента.

Численно онравен дипольному моменту единицы объема диэлектрика:1P(r) =∑ pi = n < p >,∆V iгде ∆V – физически бесконечно малый объем диэлектрика в окрестности точки с радиус-вектором r, pi – дипольный момент i-тоймолекулы из этого объема, n – концентрация молекул в диэлектрике, < p > – среднее значение pi в объеме ∆V.Плотность объемных связанных зарядов в поляризованномдиэлектрике равнаρ′ = – div P.(4.1)Она отлична от нуля только в случае неоднородной поляризации.Ниже все связанные (поляризационные) заряды будут обозначатьсяштрихом (в учебниках встречаются также обозначения индексами"пол" или "св").Плотность поверхностных связанных зарядов σ′ на границераздела двух диэлектриков равна(4.2)σ′ = – n12 (P2 – P1) = P1n – P2n,где n12 – единичный вектор нормали, направленный из первой среды во вторую.