Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 14

3. Проводники в электростатическом поле83при переходе заряда от него на данный проводник. В качестве такого большого проводника обычно подразумевается Земля. Обычнопотенциал заземленного проводника принимается равным нулю.Потенциал φ уединенного проводника пропорционален находящемуся на нем заряду Q:Q=Cϕ.(3.2)Коэффициент пропорциональности С между зарядом проводника и его потенциалом называется емкостью проводника. Приизменении заряда проводника на ∆Q его потенциал изменяется навеличину∆Q.∆φ =CВ системе единиц СИ электроемкость измеряется в фарадах[Ф].Емкость проводника зависит только от его формы и размеров (в вакууме).

В частности, емкость уединенного шара радиуса R равна С = 4πε0R.Если имеются N проводников, то потенциал каждого из них является однородной линейной функцией зарядов всех проводников,включая его самого:Nϕi (r ) = ∑ α ij q j .(3.3)j =1Например, для двух проводников, несущих заряды Q1 и Q2,их потенциалы равныφ1 = α11Q1 + α12Q2 и φ2 = α21Q1 + α22Q2.(3.4)Величины αij называются потенциальными коэффициентами.Они симметричны относительно своих индексов (αij = αji при i ≠ j) иположительны.Решая систему (3.3) относительно зарядов Qi, находимNQi = ∑ Cij ϕ j .(3.5)j =1Величины Cij называются емкостными коэффициентами.Все емкостные коэффициенты с одинаковыми индексами i = j положительны; все емкостные коэффициенты с разными индексамилибо отрицательны, либо равны нулю.84ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧСистема двух любых проводников с одинаковыми по абсолютному значению, но противоположными по знаку зарядами,называется конденсатором. В этом случае проводники называются обкладками конденсатора, а модуль заряда на обкладке называется зарядом конденсатора. В конденсаторе все силовые линии,начинающиеся на положительно заряженной обкладке, заканчиваются на отрицательно заряженной обкладке.

В технике конденсаторы конструируются так, чтобы все электрическое поле былов максимальной степени сконцентрировано в области между обкладками, а краевые эффекты были бы минимальны. Это достигается выбором геометрии обкладок – например, это плоские пластины, или скрученные в рулон проводящие ленты, разделенные оченьтонким диэлектрическим промежутком.Емкостью конденсатора С называется положительная величина, коэффициент пропорциональности между величиной зарядаконденсатора Q и абсолютным значением разности потенциаловмежду обкладкамиQ = CU .(3.6)Разность потенциалов между обкладками конденсатора частоназывают напряжением.Если между обкладками конденсатора вакуум, то1) емкость плоского конденсатора равнаεSC= 0 ,(3.7)dгде S – площадь пластин, d – расстояние между пластинами(d << S ) ;2) емкость цилиндрического конденсатора равна2πε 0 h,(3.8)C=ln(r2 / r1 )где r1 и r2 – радиусы внутренней и внешней обкладок, h – длинацилиндров (h >> r2 – r1);3) емкость сферического конденсатора равна4πε 0 r1r2,(3.9)C=r2 − r1где r1 и r2 – радиусы внутренней и внешней обкладок.Электрическая энергия, запасенная в конденсаторе, равнаГл.

3. Проводники в электростатическом поле851Q2 1CU 2 == QU .(3.10)22C 2При параллельном включении конденсаторов их емкости складываются:С = С1 + С2 + … ;(3.11)при последовательном включении конденсаторов складываются обратные величины их емкостей:111(3.12)=++ ... .C C1 C2Метод изображений (или метод зеркальных отображений) –способ рассуждений, позволяющий в некоторых случаях получитьочень простые решения для поля зарядов, распределенных по поверхности проводников.

Метод основывается на теореме единственности в электростатике и состоит в подборе таких дополнительных фиктивных зарядов – "изображений", которые вместе с заданными зарядами создавали бы поле, у которого одна из эквипотенциальных поверхностей совпала бы с поверхностью данного проводника. В области вне проводника поле фиктивных зарядов полностью моделирует поле, создаваемое поверхностными зарядами,расположенными на проводнике, так что поле вне проводника полностью совпадает с полем исходной системы.В курсе общей физики обычно рассматриваются два случая, окоторых говорится ниже.Точечный заряд q около проводящей плоскостиW=ϕ=0Из левого рисунка видно, что поле двух противоположных познаку, но одинаковых по величине зарядов имеет плоскую эквипотенциальную поверхность с потенциалом ϕ = 0 (пунктир) посередине между зарядами. Если поместить на нее проводящую плоскость, то поле не изменится, и мы получим показанную справа86ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧнужную нам систему, а фиктивный заряд q' будет зеркальным отображением заданного заряда q.Точечный заряд q около проводящей сферы (шара)Среди эквипотенциальных поверхностей системы двух противоположных по знаку и неравных по величине зарядов q и q′ существует одна сферическая поверхность, потенциал которой ϕ = 0 (см.задачу 2.3.16 главы 2). Это позволяет легко решить данную задачу.Pr1rbOarq' = − qbqxПусть имеется проводящая заземленная сфера (или шар) радиуса r (потенциал равен нулю) и заряд q на расстоянии b > r от еецентра. Чтобы обеспечить совпадение эквипотенциальной поверхности ϕ = 0 с заданной сферой, нужно поместить дополнительныйфиктивный заряд-изображение величиной q′ = − qr b на расстоянии a = r 2 b от центра сферы на прямой, проведенной через зарядq и центр сферы О.

Поле этих двух зарядов вне сферы (и тольковне сферы) полностью совпадет с исходным полем, создаваемымзарядом q и поверхностными зарядами на сфере. Поле внутри сферы при этом равно нулю Доказательство данного результата можнонайти, например в [1], §16.Разумеется, задача может быть обращена. Если внутри заземленной сферы находится на расстоянии а от центра заряд q′, то поле внутри сферы совпадет с полем системы двух зарядов: q′ и заряда – "изображения" q = − bq′ r , расположенного на расстоянииb = r 2 a в соответствии с тем же рисунком.Гл.

3. Проводники в электростатическом поле87§ 3.2. Основные типы задач (классификация)3.1. Вычисление потенциала проводника в присутствии другихзаряженных тел.3.2. Определение распределения потенциала в пространстве, вкотором расположена система из нескольких проводников, для которых заданы величины их зарядов или значения потенциалов.3.3. Определение силы взаимодействия точечного заряда илидиполя с проводящей сферой или плоскостью, а также определениеповерхностной плотности индуцированных на проводнике зарядов.3.4.

Расчет емкости конденсатора и батарей конденсаторов приразличных их соединениях.§ 3.3. Методы решения и примеры решения задачЗамечание: коэффициент 1 (4πε0 ) ≈ 9·109 м/Ф, входящий вомногие формулы электростатики, как и ранее, иногда будет обозначаться буквой k.Задачи типа 3.1Вычисление потенциала проводника в присутствии другихзаряженных телМетод решения. Рассматривается как поле заряженных тел,так и поле зарядов, появляющихся на поверхностях проводниковвследствие электростатической индукции.

Используется определение потенциала, условие его непрерывности во всем пространствеи принцип суперпозиции.Задача 3.3.1 (базовая задача). Точечный заряд q находится нарасстоянии d от центра незаряженного изолированного проводящего шара радиуса R < d (рис. 3.1). НайтиRпотенциал шара φ0, считая равным нулюdqпотенциал на бесконечности.OРешениеПопытка определить потенциал,вычисляя работу при приближении заРис.3.1. Система из точечноряда q к шару, встречается с трудностя- го заряда и проводящегоми учета поля зарядов, появляющихся шара (задача 3.3.1)88ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧна поверхности шара за счет электростатической индукции. Но потенциал всего шара одинаков, поэтому найдем его в самой удобнойточке – в центре. Потенциал создается зарядом q и индуцированными на поверхности шара зарядами. В центре шара вклад заряда qqравен k , вклад индукционных зарядов равен нулю, так как всеdэти заряды находятся на одинаковом расстоянии R от центра шара,а их сумма равна нулю, поскольку в целом шар не заряжен. Потенqциал шара равен потенциалу его центра, т.е. φ0 = k .dqОтвет: φ0 = k .dЗамечание. Отметим, что если бы шар имел заряд Q, то от этогоQзаряда добавился бы вклад в потенциал φ1 = kи потенциал шараRq Qбыл бы равен φ = φ0 + φ1 = k  +  .d RЗадача 3.3.2 (базовая задача).