Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 12

ПотенциалE2(r) =71q(r )a  R1 =1 −  .24πr ε 0 ε 0 r r Потенциал внутри слоя φ2(r) находим по (2.17):rϕ2 (r ) = ϕ( R2 ) − ∫ E2 (r )dr =R2raR1  a 1  R1 aRr = 1 −  −1 − dr = 1 − 1 − ln .∫R2  ε 0 R r r rR2 ε0 ε0 Внутри сферы радиуса R1 зарядов нет, поэтому напряженностьполя внутри нее равна нулю, а потенциал постоянен и равен егозначению на сфере R1:a R2φ(r < R1) = φ2(R1) =ln.ε 0 R12Ответ:1) φ1 =a R2lnε 0 R1при r ≤ R1;2) φ2 =a  R1R 1 − + ln 2 ε0 rr при R1 ≤ r ≤ R2;3) φ3(r) =a R2 − R1rε0при r ≥ R2.Задача 2.3.11.

Бесконечно длинный круговой цилиндр радиусаR равномерно заряжен с объемной плотностью заряда ρ. Найти потенциал в произвольной точке пространства, считая, что потенциална поверхности цилиндра равен нулю.РешениеНапряженность поля такого цилиндра была определена в главе1 (базовая задача 1.3.13). Ввиду цилиндрической симметрии системы целесообразно использовать для решения цилиндрическую систему координат (r, φ, z), у которой ось Z направлена по оси цилиндра, а начало координат расположено в произвольной точке на осицилиндра.

Учитывая, что на поверхности цилиндра потенциал, согласно условию, равен нулю, можно применить формулу (2.17),которая в нашем случае примет вид:72ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧrRRrϕ(r ) − ϕ( R ) = ϕ(r ) = − ∫ Edr = ∫ Edr .Учитывая, что внутри цилиндра (при r ≤ R) E1 =ρr , находим2ε 0потенциал в этой области:ρρτ r2 1 − 2  ,rdr =R2 − r 2 =2ε 04ε 04πε0  R rгде τ = πR2ρ – заряд, приходящийся на единицу длины цилиндра.ρR 2и для потенциала в этойВне цилиндра (при r ≥ R) E =2ε 0 rобласти имеемR(ϕ1 ( r ) = ∫)Rφ2(r) =ρR 2 dr ρR 2 Rτr=ln = −ln .∫2ε 0 r r2ε 0r2πε0 RВнутри цилиндра потенциал убывает по квадратичному закону,а снаружи – как логарифм расстояния от оси цилиндра.Сохраняя цилиндрическую симметрию, перенесем весь зарядна поверхность цилиндра, сохраняя линейную плотность зарядаτ = πR2ρ.

Внутри заряженной цилиндрической поверхности заряданет и напряженность поля равна нулю. Значит, потенциал во внутренней области равен нулю (при нормировке потенциала, указанной в условии). Потенциал вне цилиндра опять, как и прежде, будетτrравен φ2(r) = −ln .2πε0 RЕсли уменьшать радиус цилиндрической поверхности, то впределе она превратится в бесконечную прямую нить, заряженнуюс постоянной линейной плотностью τ.

Из-за неопределенности значения ln ( r R ) при r → 0 и R → 0 нельзя полагать равным нулюзначение потенциала на нити. Поэтому для нормировки потенциалапридется использовать какое-либо другое условие, т.е. положитьравным нулю значение потенциала в произвольно выбранной точке.Отметим, что физический смысл имеет только разность потенциалов. Например, в точках, удаленных от нити на заданные расстоя-Гл. 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал73ния R1 и R2 (R1 < R2), а такая разность потенциалов равнаτR∆φ12 = −ln 2 и от нормировки не зависит.2πε 0 R1Ответ:φ1 =ρ(R2 − r 2 )4ε 0φ2 = −ρR 2 rln2ε 0 Rпри r ≤ R;при r ≥ R.Задачи типа 2.4Построение картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей для заданной системы неподвижных зарядовМетод решения.

Обычно рассматриваются достаточно простые конфигурации, когда условия симметрии в достаточной мереопределяют характер силовых линий и эквипотенциальных поверхностей. Хорошо, если задача сводится к построению плоской картины. Иногда из общих соображений удается сделать вывод о расположении поверхностей, на которых потенциал равен нулю, иногда приходится выполнить расчет для получения уравнения эквипотенциальной поверхности. Силовые линии должны начинаться наположительных зарядах (или приходить из бесконечности) и заканчиваться на отрицательных зарядах (или уходить на бесконечность).

Принимаем во внимание, что вблизи точечных зарядов силовые линии расходятся радиально и равномерно. Во всех точкахследим, чтобы силовые линии и эквипотенциальные поверхностибыли взаимно перпендикулярными. Силовые линии нигде не должны пересекаться друг с другом. Густота линий тем больше, чембольше напряженность поля в данной области. Вблизи точечногозаряда эквипотенциальные поверхности будут сферами (на плоскости – окружностями).

Если заряды расположены в ограниченнойобласти, то на больших расстояниях от них эквипотенциальные поверхности также будут сферами.Задача 2.3.12. Начертить схему силовых линий электрическогополя и эквипотенциальных поверхностей для системы двух точеч-74ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧных зарядов +q и –q, находящихся на некоторомрасстоянии d друг от друга.РешениеПотенциаллюбойточки плоскости, относительно которой зарядырасположены симметрично, равен нулю, так как Рис. 2.5. Силовые линии и эквипотенциальныелюбая такая точка равно- поверхности системы из двух одинаковых поудалена от зарядов +q и величине и противоположных по знаку зарядов(задача 2.3.12)− q . Значит, силовые линии вблизи этой плоскости нулевого потенциала направлены по нормали к ней.

Напряженность поля в точках этой плоскости убывает по мере удаления точек от зарядов.Поэтому густота линий будет максимальной вблизи силовойлинии, соединяющей заряды. Схематически картина силовых линий (сплошные линии) и сечения эквипотенциальных поверхностей(пунктир) представлена на рис. 2.5.Задача 2.3.13. Проанализировать картину силовых линий электрического поля и эквипотенциальных поверхностей для системыдвух одинаковых положительных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.РешениеИз соображений симметрии ясно, что силовые линии не могутпересекать плоскость симметрииданной системы зарядов. СледоваАтельно, приближаясь к этой плоскости, силовые линии должны изгибаться, сближаясь, и затем расходиться, уходя на бесконечность.

Судалением от зарядов картина силовых линий приближается к таковойдля точечного заряда величиной 2q.Модуль напряженности поля Рис. 2.6. Силовые линии системыравен нулю как в центре симметрии из двух одинаковых положительсистемы, так и в бесконечности, и ных зарядов (задача 2.3.13)Гл. 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал75не меняет знака при удалении от центральной точки.

Это означает,что в некоторой промежуточной точке плоскости величина напряженности достигает максимума, и именно там густота линий будетнаибольшей. Направление на эту точку (точка А на рис. 2.6) задается углом, для которого tg φ = 1 2 (φ – угол, отсчитываемый от линии, проведенной через заряды). Картина силовых линий показанана рис. 2.6. Картину эквипотенциальных поверхностей легко представить, учитывая, что они в каждой точке перпендикулярны силовым линиям. На больших расстояниях от зарядов эквипотенциальные поверхности будут сферами.Задача 2.3.14.

Начертить схему силовых линий и эквипотенциальных поверхностей для системы двух точечных зарядов +q и +2q,находящихся на расстоянии d друг от друга.РешениеРешение. Ввиду осевой симметрии системы достаточно рассмотреть картину силовых линий в плоскости, проходящей череззаряды. Поскольку оба заряда положительные, все силовые линииначинаются на зарядах и заканчиваются на бесконечности. Отсюдаясно, что на выделенной плоскости должна существовать линия,которую силовые линии не пересекают.Силовые линии от каждого заряда на подходе к этой разграничительной линии изгибаются и уходятна бесконечность, асимптотическиприближаясь к ней. На отрезке, со+2q+qединяющем заряды +q и +2q разграничительная линия проходит черезточку А, в которой напряженностьполя равна нулю.

Точка А отстоит отзаряда q на расстояние а = d ( 2 –1).Около каждого заряда картинаРис. 2.7. Силовые линии и эквиблизка к картине силовых линий по- потенциальные линии системы изложительного заряда: силовые линии двух неодинаковых положительвыходят из каждого заряда симмет- ных зарядов (задача 2.3.14)рично, а сечением эквипотенциальных поверхностей рассматриваемой плоскостью, являются окружности. В то же время понятно, что на очень больших расстоянияхот зарядов эквипотенциальные линии вновь становятся почти ок-76ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧружностями. Ясно, что внутренняя часть должна отделяться отвнешней части некоторой эквипотенциальной линией, проходящейчерез точку А. Потенциал поля в точке А равен1 q2q  +.4πε 0  a d − a На линии, соединяющей заряды +q и +2q, находим точки В и О,в которых потенциал равен потенциалу точки А. Разграничительнаяэквипотенциальная линия проходит через точки А, В, и О. Общаякартина изображена на рис.

2.7.Задача 2.3.15. Начертить схему силовых линий и эквипотенциальных поверхностей для тонкого равномерно заряженного стержня.РешениеУчитывая свойства симметрии системы, поместим начало координат в центр стержня, а ось Z направим вдоль стержня. Ясно,что достаточно рассмотреть картину в плоскости XZ при x > 0 иz > 0. Все силовые линии должны начиZнаться на стержне и уходить в бесконечность.Силовая линия, выходящая из центра стержня, совпадает с положительнойосью x, а силовая линия, выходящая изX конца стержня, пойдет вдоль оси Z. Набольшом расстоянии от стержня эквипотенциальные линии становятся близкими к окружностям. Для анализа картинывблизи начала координат можно воспользоваться решением задачи 2.3.1.Рис. 2.8.