Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 13

Силовые линии равОбщаякартина силовых линий схематиномерно заряженного тонкогочески представлена на рис. 2.8. Поведестержня (задача 2.3.15)ние эквипотенциальных поверхностейлегко представить, учитывая, что они в каждой точке перпендикулярны силовым линиям.Задача 2.3.16. Два точечных заряда q и –nq (n >1) расположенына расстоянии d друг от друга.

Доказать, что одна из эквипотенциальных поверхностей такой системы есть сфера конечного радиуса.Определить радиус этой сферы и положение ее центра.Гл. 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал77РешениеyУспех в решении этой задачи во многом зависит от удачM(x,y)ного выбора системы коордиAxнат. Свяжем систему координатс положением зарядов, а именbqd–nqно, поместим начало координатО в точку, где находится зарядq, а ось x направим по линии,К нахождению эквипотенциальсоединяющей заряды. Пусть Рис.2.9.ной поверхности двух точечных зарядовзаряд –nq находится в точке А. разного знака (задача 2.3.16)Ввиду осевой симметрии системы, достаточно рассмотреть картину в какой-либо плоскости, содержащей отрезок ОА.Вычислим потенциал в произвольной точке М(x,y) этой плоскости.

Задача будет решена, если показать, что вычисленный потенциал сохраняет постоянное значение на некоторой окружности,лежащей в выбранной плоскости, и определить радиус этой окружности и положение ее центра. Вычисляем потенциал в точке М (см.рис. 2.9):1 qnq + const.φ=−4πε 0  x 2 + y 2(d − x) 2 + y 2 Примем потенциал в точке М равным нулю. Тогда получаемуравнение(n2 –1)y 2 + (n 2 – 1)x2 = d 2 –2d x.Это есть уравнение окружности с центром, смещенным по осиdx на расстояние b = − 2.

Записывая это уравнение через коорn −1динату x1 = x – b, получаем уравнение окружности в стандартномndвиде y2 + х12 = R2, где R = 2.n −1Ответ:R =nd,n2 − 1b= −d.n −12Задача 2.3.17. Точечный диполь, момент которого равен p, находится в однородном поле напряженности E. Направление дипольного момента совпадает с направлением поля. Доказать, что78ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧсреди эквипотенциальных поверхностей есть сферическая поверхность и определить ее радиус.РешениеНачало координат поместим в точку расположения диполя(рис.2.10).

Потенциал однородного поля относительно начала координат в произвольной точке r от равен ϕ1 (r ) = −Er . Потенциал,создаваемый диполем в этой точке (см. (2.5)), равен1 prφ2(r) =, так что суммарный потенциал будет равен4πε 0 r 31 pr.4πε0 r 3rЭквипотенциальные поверхности опEределяются условием φ(r) = const. Используя свободу с нормировкой поO pтенциала, примем одну из них за поверхность с потенциалом, равным нулю.ДляэтойповерхностиРис.

2.10. Диполь в однородномвнешнем поле (задача 2.3.17)1 p − E + r = 0 во всех точках,3 4πε0 r ϕ(r ) = ϕ1 (r ) + ϕ2 (r ) = −Er +что возможно, только если выражение в скобках тождественно равно нулю. Учитывая условие параллельности векторов p и E, нахо1 pдим уравнение этой поверхности:= E . Это есть уравнение4πε 0 r 31/ 3 1 p .сферы радиуса r =  4πε 0 E 1/ 3Ответ: 1 pr =  4πε 0 E §2.4. Задачи для самостоятельного решения2.4.1.

Два коаксиальных тонких металлических кольца радиусаR расположены на расстоянии а, друг от друга. Заряды колец +q и– q соответственно. Найти разность потенциалов между центрамиколец.Гл. 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал79q11 −.2 2 πε 0 R ()+aR1/2.4.2.

Найти потенциал в центре полусферы радиуса R, заряженной равномерно с поверхностной плотностью заряда σ.σRОтвет: ϕ =.2ε 02.4.3. Бесконечно длинная нить заряжена равномерно с линейной плотностью заряда τ = 0,4 мкКл/м. Вычислить разность потенциалов между точками 1 и 2, если точка 2 находится в η = 2 раздальше от нити, чем точка 1.τОтвет: ϕ1 − ϕ 2 =ln η ≈ 5 кВ.2 πε 02.4.4. Три плоскости расположены параллельно друг другу нарасстоянии h одна от другой.

Каковы разности потенциалов междуплоскостями, если на первой находится равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью заряда +σ1, на второй +σ2 ина третьей (– σ3).h(σ1 − σ2 + σ3 ) , ∆ ϕ23 = h (σ1 + σ 2 + σ3 ) ,Ответ: ∆ ϕ12 =2ε 02ε 0∆ϕ13 =∆ϕ12+∆ϕ23.Ответ: ∆ ϕ =2.4.5. Принимая Землю за шар радиуса R = 6400 км, определитьзаряд Q Земли, если напряженность электрического поля у поверхности Земли составляет Е = 130 В/м. Определить потенциал φ поверхности Земли, принимая φ∞ = 0.Ответ:Q = 4πε0Rϕ = 5,92·105 Кл;φ = ER = 8,2·108 В.2.4.6.

Заряды распределены равномерно по поверхности двухконцентрических сфер с радиусами R1= 10 см и R2 = 20 см, причемповерхностные плотности электрического заряда на обеих сфераходинаковы. Найти плотность заряда σ, если потенциал в центресфер равен 300 В, а на бесконечности равен нулю.ϕεОтвет: σ = 0 0 = 9·10-9 Кл/м2.R1 + R22.4.7. Две концентрические сферы с радиусами R и 2R заряжены равномерно зарядами одного знака: внутренняя – одним микро-80ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧкулоном, внешняя – двумя микрокулонами. На расстоянии 3R отцентра сфер потенциал φ = 9000 В. Найти R. 1 q1 + q2  = 1 м.Ответ: R =  4πε 0 ϕ 2.4.8. Две концентрические сферы с радиусами R1 и R2 (R1 < R2)получили заряды Q1 и Q2 соответственно, которые распределилисьравномерно по их поверхностям.

Найти потенциал на расстоянии rот центра сфер.1  Q1 Q2  +;φ1 =Ответ: 1) r ≤ R1,4πε 0  R1 R2 1  Q2 Q1 +  ;4πε 0  R2r 1 Q1 + Q2φ3 =.4πε 0r2) R1 ≤ r ≤ R2, φ2 =3) r ≥ R2,2.4.9. Две коаксиальные цилиндрические поверхности с радиусами R1 и R2 (R1 < R2) равномерно заряжены с поверхностнымиплотностями заряда σ1 и σ2 соответственно. Вычислить напряженность электрического поля и потенциал этой системы зарядов, считая, что на оси цилиндров потенциал φ0 = 0.Ответ:r < R1:E0 = 0, ϕ0 = 0;1 σ1 R11rR1 < r < R2:E1 =, φ1 = − σ1 R1 ln ;ε0 rε0R1r > R2: E2 =1rr 1 σ1 R1 + σ 2 R2, φ2 = −  σ1 R1 ln + σ 2 R2 ln  .ε0rε0 R1R2 2.4.10.

Шар радиуса R заряжен по объёму зарядом Q так, чтообъемная плотность заряда ρ ~ r2, где r – расстояние от центра шара. Определить разность потенциалов ∆φАВ между точками А и В,если они отстоят от центра на расстояния rA = 0,5R и rB = 2R соответственно.Указание: см. задачу 1.4.9.Q  R 4 − rA4 1 1 47QОтвет: ∆ϕ AB =+ − =.54πε0  4 RR rB  256 πε0 RГл. 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал812.4.11.

Шар радиуса R заряжен с объёмной плотностью зарядаρ(r) = αr (где r – расстояние от центра шара, а α – известная постоянная) и поверхностной плотностью заряда σ0. Найти распределение потенциала во всём пространстве.R2 αR 2  σ0 +;Ответ: 1) r ≥ R:ϕ1 (r ) =ε0 r 4 2) r ≤ R:ϕ2 (r ) =RαR 2 α σ0 ++R3 − r 3 .ε0 4  12ε 0()2.4.12.

Заряд с объёмной плотностью ρ = 3 мкКл/м3 равномернораспределен внутри сферического слоя, ограниченного сферическими поверхностями с радиусами R1 = 3 см и R2 = 5 см. Найти разность потенциалов ∆φ12 между поверхностями слоя.2R 3 ρ  2 3R1 − R22 − 1  ≈ 50 В.Ответ: ∆ ϕ12 = −6ε 0 R2 2.4.13. Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен так, что объемная плотность заряда ρ убывает по линейному закону в зависимости от r, причем ρ(R) = 0, а полный заряд на единицу длины цилиндра равен Q. Определить модуль напряженности электрическогополя Е в точках r1 = R/3 и r2 = (3/2)R и разность потенциалов ∆φ12.7QQОтвет: 1) E (r1 ) =2) E 2 ( r2 ) =18πε 0 R3πε 0 R3) ∆ϕ12 =1.2.3.4.Q  3 56  ln +  .2πε0  2 81 Литература к главе 2Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. –М.: Оникс 21век, 2005, §§14, 15.Сивухин Д.В.

Общий курс физики. Электричество. –М.:Физматлит, 2006, §§ 17 – 20.Калашников С.Г. Электричество. –М.: Физматлит, 2003,§§ 16–25, 37.Тамм И.Е. Основы теории электричества. –М.: Физматлит,2003, §§7, 8, 11, 12, 15, 16.82ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГлава 3ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ.ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ§ 3.1. Теоретический материалПроводники – это материальные тела, в которых при наличиивнешнего электрического поля возникает направленное движениезарядов, т.е.

электрический ток. В проводнике электрические заряды могут перемещаться внутри тела на макроскопические расстояния (такие заряды называются свободными).Внутри проводника при электростатическом равновесииэлектрическое поле отсутствует (Е = 0), следовательно иdiv Е = 0. Это означает, что в любом физически бесконечно маломобъеме проводника содержится одинаковое количество положительных и отрицательных зарядов, так что суммарная объемнаяплотность заряда ρ равна нулю (см. (1.11) глава 1).Если проводник заряжен или находится во внешнем электростатическом поле, то электрические заряды располагаются на еговнешней поверхности и распределены с такой поверхностнойплотностью σ, которая обеспечивает равенство нулю напряженности поля внутри проводника.Электростатическая индукция – явление перераспределениязарядов на поверхности проводника при его помещении во внешнееэлектрическое поле.

В любом статическом поле поверхностные заряды распределяются так, чтобы внутри проводника сохранялисьусловия E = 0 и ρ = 0.Снаружи проводника вблизи его поверхности вектор напряженности поля Е в каждой точке направлен по нормали кповерхности, а его модуль равенσ.(3.1)Е=ε0Весь объем проводника в условиях равновесия являетсяодной эквипотенциальной областью – в любой точке проводникапотенциал один и тот же (он называется потенциалом проводника).Заземление – соединение данного проводника с очень большим проводником, потенциал которого можно считать неизменнымГл.