Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 15

Проводящая сфера радиуса R,на которой находится заряд Q, имеет малое отверстие. Как будетменяться потенциал сферы, если точечный заряд q перемещать избесконечности через отверстие внутрь неё?РешениеВклад собственного заряда Q в потенциал сферы постоянен иQравен k . Для случая, когда заряд q находится вне сферы на расRстоянии r > R от ее центра, ее потенциал определен в задаче 3.3.1 иравенq Qφ = k + .r RКак только заряд окажется внутри сферы, на внутренней поверхности сферы возникнет индукционный заряд –q (распределённый неравномерно), а на внешней поверхности сферы – равномерно распределенный заряд +q, и потенциал сферы станет равнымq+Qk. R 89Гл. 3.

Проводники в электростатическом полеПотенциал при дальнейшем движении заряда q внутри сферыизменяться не будет. Это следует из того, что независимо от положения заряда q внутри сферы поле вне сферы остаётся постоянными не зависит от перемещения заряда внутри сферы. В этом случаеработа по перемещению пробного заряда из бесконечности на поверхность сферы, а, следовательно, и потенциал сферы, будут постоянными.Ответ:q Qr ≥ R: φ = k  +  :r Rr ≤ R: φ = kq+Q:RЗадача 3.3.3. Точечный заряд q находится на расстоянии r отцентра О незаряженного сферического слоя проводника, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно R1 и R2.Найти потенциал φ0 в точке О, если r < R1.+Решение+qВвиду электростатической индук+– -q+–ции на внутренней поверхности слоя–R1–появится заряд (–q), а на его внешней+q– +R2 O rповерхности +q.

Таким образом, по- +–тенциал в центре сферического слоя––складывается из трех вкладов: от заря–++да +q, равномерно распределенного по+внешней поверхности слоя с радиусомR2, от заряда –q, распределенного не- Рис.3.2. Точечный заряд внутри проводящего сферическогоравномерно по внутренней поверхно- слоя (задача 3.3.3).сти слоя с радиусом R1, и от заряда q,расположенного от центра на расстоянии r. Так как все индуцированные заряды на внутренней поверхности расположены от центрана одинаковом расстоянии R1, то их вклад в потенциал будетqq.

В итоге− k , вклад от зарядов на внешней поверхности + kR1R2 11 1потенциал в точке О будет равен kq  − +  . R2 R1 r  11 1Ответ: φ0 = kq  − +  . R2 R1 r 90ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадачи типа 3.2Определение распределения потенциала в пространстве, в котором расположена система из нескольких проводников, для которых заданы величины их зарядов или значения потенциаловМетод решения. Использование формул для определения потенциала и условия его непрерывности. Если в задаче распределение электростатического поля обладает элементами симметрии, то,пользуясь теоремой Гаусса, можно найти напряженность поля визучаемом пространстве, а затем путём интегрирования рассчитатьпотенциал в заданной точке.Задача 3.3.4 (базовая задача).

Металлический шар радиусаR1, на котором находится положительный заряд q, окружен расположенным концентрически незаряженным металлическим шаровым слоем с внутренним радиусом R2 и внешним R3. Построитьграфики зависимости напряженности поля Е и потенциала φ отрасстояния до центра шара.РешениеНапряженность поля находим по теореме Гаусса, используя вкачестве вспомогательных поверхностей Гаусса концентрическиесферы с переменным радиусом r.За счет электростатической индукции на внутренней поверхности слоя радиуса R2 появится заряд (–q) (все силовые линии заряда q должны закончиться на отрицательных зарядах).

Из законасохранения заряда следует, что на внешней поверхности слоя радиуса R3 должен появиться заряд +q. По теореме Гаусса находимнапряженность электрического поля:qr > R3 :Е= k 2 ;rR2 < r < R3: Е = 0;qR1 < r < R2: Е= k 2 ;rr < R1: Е = 0.График зависимости Е(r) изображен на рис. 3.3а. Отметим, чтона тех поверхностях, где есть индуцированные заряды, напряженность не определена (испытывает скачок). Физический смысл скачка напряженности на заряженной поверхности обсуждался в задаче1.3.8. главы 1.91Гл. 3. Проводники в электростатическом полеДля расчета потенциала используем его связь с напряженностью поля (2.17) и условие его непрерывности.

Считая значениепотенциала на бесконечности равным нулю, получаем следующийответ:qr ≥ R3 :φ1(r) = k ;rq– потенциал постоянен;R2 ≤ r ≤ R3: φ2(r) = kR3kqR12ЕqR22qk 2R3Рис. 3.3аkrϕ 111 kq  −+ R1 R2 R3 qkR3Рис. 3.3б0R1R2R3rq+ С;rКонстанта С определится из условия непрерывности потенциала при r = R2: 11 C = kq  −  . R3 R2 Итак, в области R1 ≤ r ≤ R2 имеем1 11 φ3(r) = kq  −+  . r R2 R3 При r ≤ R1 потенциал остается постоянным и равным111 ϕ4 = kq  −+  . R1 R2 R3 График зависимости φ(r) представлен на рис.3.3б.R1 ≤ r ≤ R2:φ3(r) = k92ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧОтвет: r > R3: Е= kq,r2φ1(r) = kq;rq;R31 11 qR1 < r < R2: Е= k 2 ,φ3(r) = kq  −+  ;r r R2 R3  111 r < R1: Е = 0,φ4 = kq  −+  . R1 R2 R3 Замечание. Разумеется, ответ можно сразу получить, если использовать известные формулы для потенциала сферы радиуса R:qqφ(r) = k при r ≥ R; φ = k= const при r ≤ RrRи принцип суперпозиции.R2 < r < R3: Е = 0,φ2 = kЗадача 3.3.5. В условиях задачи 3.3.4. сферический слой заземлен. Найти потенциал шара.РешениеВ данном случае поле Е и потенциал φ в области пространствас r > R2 равны нулю. Поле Е в пространстве с R1 < r < R2 будетравноqЕ= k 2rи разность потенциалов φ12, а, следовательно, и потенциал шара φ1,будут равныR 11  .ϕ1 = ∫ Еdr = kq  − R1 R2 R2111 ϕ1 = kq  −  . R1 R2 Замечание.

Внутренняя поверхность металлического слоя в этомслучае имеет заряд –q, а внешняя поверхность не заряжена.Ответ:Задача 3.3.6. Имеются три концентрические сферы 1-3 с радиусами R1 < R2 < R3. Сферы 1 и 3 несут заряды соответственно +Qи −Q. Средняя сфера 2 заземлена проводником, искажающим действием которого на поле можно пренебречь (рис.3.4). Найти заряд qзаземленной сферы 2.93Гл. 3. Проводники в электростатическом полеРешениеПусть индуцированный заряд на сфере 2 равен q.

Так как потенциал φ2 этой сферы равен нулю, то∞R3R2R20 = ϕ 2 = ∫ Е (r )dr = k ∫∞q+Qq +Q −Qdr + k ∫dr =2rr2R31q1 1∞ 1= kq  −  | + k (q + Q )  −  | = k+ k (Q + q )  −  =R3 r R r R R2 R3 R332 qQq Q q = k  ++−−  . R3 R2 R2 R3 R3 Отсюда 1Rq1 = Q  −  или q = Q  2 − 1 < 0 .R2 R3 R2  R3RОтвет: q = Q 2 − 1 < 0 . R3R2R3Замечание. При решении этой задачиR1можно воспользоваться известными форO Qмулами для потенциала заряженной сферыи сразу записать потенциал средней зазем–Qленной сферы как суперпозицию потенциалов, создаваемых тремя сферами:Рис.3.4. Система из трёхQq Qϕ = k  +−  = 0 , откуда сразу концентрических сфер сзаземлённой средней сфе R1 R2 R3 2Rполучаем ответ q = Q  2 − 1 . R3рой (задача 3.3.6)Отметим, что теперь, зная заряды всех сфер, можно по аналогии с задачей 3.3.4 найти зависимости Е(r) и φ (r).Задача 3.3.7.

Имеются три незаряженные концентрическиесферы 1-3 с радиусами R1 < R2 < R3. На вторую сферу помещаютзаряд +Q, а сферы 1 и 3 соединяют проводником, искажающимдействием которого можно пренебречь (рис.3.5). Найти зависимости E(r) и φ(r) и построить их графики.94ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРешениеДля решения задачи нужно сначала узнать заряды сфер 1 и 3.Пусть на сфере с радиусом R1 индуцируется заряд q1, на сфере срадиусом R3 – заряд q2.

Тогда q1 + q2 = 0, φ1 = φ3 и, следовательно,0 = ∆ϕ13R3R3R2R3112q +Qq= k ∫ E (r )dr = k ∫ 12 dr + k ∫ 1 2 dr =rrRRR 111 1 = k (Q + q1 ) −  + kq1  −  = R1 R2  R2 R3  1 11 1 kQ−  + kq1  −  = R2 R3  R1 R3 R2R1O+Q= kQРис.3.5. Система из трёх концентрических сфер, в которойвнутренняя и внешняя сферысоединены проводником (задача3.3.7).Еq− k 21rkQ + q1r2kQr2rОтсюда q1 = − q2 = −QR3 − R2 R1, при⋅R3 − R1 R2этом q1 < Q .Зная заряды всех сфер, можно поаналогии с задачей 3.3.4. найти зависимости Е(r) и φ (r) и построить ихграфики (рис. 3.6).Ответ:r < R1:E(r) = 0;ϕR3 − R2R − R1.+ kq1 3R2 R3R1 R3qQ q1 φ(r) = k  1 +−  ; R1 R2 R3 R1 < r < R2:qqQ q1 E(r) = k 12 ; φ(r) = k  1 +−  ;r r R2 R3 R2 < r < R3:r0R1 R2 R3Q + q1Q + q1;φ (r) = k;Рис.

3.6. Зависимость напряжен- E(r) = k2rrности и потенциала от расстояQQния до центра сфер в задаче 3.3.7r > R3: E(r) = k 2 ;φ (r) = k .rr95Гл. 3. Проводники в электростатическом полеЗамечание. Для определения зарядов сфер 1, 3 проще воспользоваться готовыми формулами для потенциала сферы и сразу найтипотенциал каждой сферы как суперпозицию потенциалов, создаваемых тремя сферами:qQ q2 Qϕ1 = k  1 ++  , ϕ3 = k, q1 = –q2, ϕ1 = ϕ3,RRRR23 3 1отсюдаq1 Q q1 QR − R2 R1+−=и q1 = −Q 3⋅ .R1 R2 R3 R3R3 − R1 R2Задачи типа 3.3Определение силы взаимодействия точечного заряда или диполя с проводящей сферой или плоскостью, а также определение поверхностной плотности индуцированных на проводнике зарядовМетод решения.

Применение метода электростатических изображений (см. теоретический материал). Замена полей, создаваемых зарядами на поверхности проводника, полем одного (или более) фиктивного точечного заряда позволяет легко вычислить силувзаимодействия, применяя закон Кулона. Чтобы определить плотность индуцированных зарядов, надо найти напряженность поля,создаваемого этой системой точечных зарядов в произвольной точке на поверхности проводника, и затем применить формулу (3.1).Задача 3.3.8 (базовая задача). Нарасстоянии h от проводящей бесконечной плоскости находится точечный заряд q.

Определить величину напряженности поля Е в точке А, отстоящей отплоскости и от заряда на расстояние h.РешениеСтроим заряд-изображение –q всоответствии с теоретическим материалом (рис. 3.7). Напряженность поляв точке А есть векторная сумма напряженностей Е1 и Е2 от зарядов q и –q. Изгеометрии задачи следует:h+qE2hAE1ϑEα–qРис 3.7. Определение напряженности поля, создаваемоготочечным зарядом +q над бесконечной проводящей плоскостью (задача 3.3.8)96ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЕ1 = kqq, E2 = k 2 .2h5hПо теореме косинусовE2 = E12 + E22 – 2 E1E2 cosϑ,где cosϑ = sinα =15Ответ: E = k. Отсюда получаем:q5h 2E= kq5h 226 − 2 5 .26 − 2 5 .Задача 3.3.9. На расстоянии h от заземленной проводящейбесконечной плоскости находится точечный заряд q. Определитьплотность индуцированного заряда в произвольной точке на плоскости.РешениеСтроим заряд-изображение –q (рис. 3.8).

Ввиду осевой симметрии системы положение произвольной точки А на плоскости можнозадать всего одним параметром –+qее расстоянием r от основанияhперпендикуляра,опущенного изArточки нахождения заряда q наE2E1плоскость. От такой точки плоскоhсти расстояние до заряда равно–qEРис 3.8.

К определению поверхностной плотности заряда, индуцированного на бесконечной проводящейплоскости (задача 3.3.9)r 2 + h 2 , а напряженность поляE1 = kq.h + r22Учитывая, что E1 = E2, находим полную напряженность Е в точке А, суммируя векторы E1 и E2:2qh.E =k2(h + r 2 ) 3 / 2Вектор Е направлен перпендикулярно плоскости в сторону отположительного заряда к отрицательному, то есть в сторону плосσкости (рис. 3.8).