Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 18

Нормальная компонента вектора P испытывает награнице раздела диэлектриков скачок, равный плотности связанного заряда.Теорема Гаусса для вектора поляризации:(4.3)∫ P dS = − q ′ ,Sгде q′ – полный связанный заряд, находящийся внутри замкнутойповерхности S.Напряженность электрического поля в диэлектрике – этосумма напряженности Е0 поля сторонних зарядов в данной точке вотсутствие диэлектрика и напряженности Е′ от всех связанных зарядов, возникших в результате поляризации диэлектрика:112ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЕ = Е0 + Е′.Если поляризация вызвана сторонними зарядами, то поле индуцированных связанных зарядов направлено так, что всегда уменьшаетнапряженность поля сторонних зарядов, т.е.

Е < Е0. Поэтому этополе часто называют деполяризующим полем.Диэлектрическая восприимчивость. Во многих случаях поляризованность P диэлектрика пропорциональна напряженностиполя в диэлектрике E, а свойства диэлектрика по всем направлениям можно считать одинаковыми (такой диэлектрик называется линейным изотропным). Для такого диэлектрикаP = æ ε0E,(4.4)где коэффициент æ называется диэлектрической восприимчивостью. Это соотношение неприменимо к диэлектрикам с постояннойполяризованностью (например, к электретам), когда вектор Р определяется не внешним полем, а внутренними структурными факторами. В общем случае, который мы рассматривать не будем, связьвекторов P и E тензорная и при больших величинах Е – нелинейная.Если внутри однородного и изотропного диэлектрическоготела отсутствуют сторонние заряды, то при воздействии на негопроизвольного электростатического поля в нем возникают толькоповерхностные связанные заряды σ′ ≠ 0, а плотность объемных связанных зарядов в любой точке равна нулю ρ′ = 0.Вектор электрического смещения или вектор электрической индукции (оба названия эквивалентны) определяется соотношением(4.5)D = ε0E + P.Если выполняется (4.4), то векторы D и Е связаны линейно:D = εε0E.(4.6)ε = (1 + æ)(4.7)Величинаназывается относительной диэлектрической проницаемостью (часто ее сокращенно называют проницаемостью диэлектрика).Вектор D не является чисто полевым вектором, так как он учитывает поляризованность среды.

Он является суммой двух совершенно различных по физическому смыслу слагаемых и поэтому неимеет глубокого физического смысла. Однако в математическомотношении использование векторного поля D в ряде случаев упро-Гл.4. Диэлектрики в электростатическом поле113щает расчеты электростатических полей в диэлектриках. Это связано с тем обстоятельством, что в определении вектора D учтенвклад в электрическое поле от связанных зарядов. В однородныхизотропных диэлектриках с линейной восприимчивостью, т.е. подчиняющихся соотношению (4.6), источниками векторного поля Dявляются только сторонние заряды, поэтому в этом случае при нахождении поля D можно как бы "забыть" о существовании связанных зарядов.Для вектора D имеет место дифференциальное соотношениеdiv D = ρ,(4.8)где ρ – плотность сторонних зарядов.Свойства вектора электрического смещения.

В диэлектриках, подчиняющихся (4.6), векторное поле D(r) потенциально ианалогично по свойствам электростатическому полю напряженности E(r). Это означает, что rot D = 0, а линии поля D начинаются изаканчиваются на сторонних зарядах (или в бесконечности), а вточках без сторонних зарядов они непрерывны (включая и точки, вкоторых находятся связанные заряды). Поэтому для нахожденияполя D можно использовать все формулы, относящиеся к расчетунапряженности электрического поля E в вакууме, только подставлять в них нужно уже не все заряды, а только сторонние заряды, иубрать из этих формул множитель ε0.Если же соотношение (4.6) в диэлектрике не выполняется, полеD может иметь вихревую компоненту, у которой линии D замкнуты и для возникновения которой не требуются свободные заряды.Например, такова ситуация в электретах, т.е.

диэлектриках с постоянной поляризованностью, рассмотренных ниже (задача 4.3.14).Интегральная электростатическая теорема Гаусса для вектора D:∫ DdS = q,(4.9)Sгде q – полный сторонний заряд, находящийся внутри замкнутойповерхности S. Теорема справедлива при любом расположениипроизвольной поверхности S относительно диэлектрических тел.Если однородным диэлектриком заполнить весь объем между любыми эквипотенциальными поверхностями поля, существовавшегов отсутствие диэлектрика, то напряженность поля в диэлектрикебудет в ε раз меньше, чем она была в соответствующей точке довведения диэлектрика. В частности, для точечного заряда в безгра-114ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧничной однородной диэлектрической среде с проницаемостью εэлектрическое смещение и напряженность электрического полябудут равны1 q1qи E (r ) =.(4.10)D(r ) =24π r4πε0 ε r 2Если все пространство между обкладками плоского, цилиндрического или сферического конденсатора заполнить однороднымизотропным диэлектриком, то напряженность поля в диэлектрикебудет в ε раз меньше, чем напряженность поля в точно таком жеконденсаторе до заполнения его диэлектриком, а соответственно,емкости конденсаторов будут в ε раз больше.Граничные условия. На границе раздела двух диэлектриков 1и 2:E2t = E1t ,(4.11)D2n –D1n = σ,(4.12)где σ – плотность сторонних зарядов на границе раздела, а векторнормали n направлен из первой среды во вторую.Если на границе раздела двух диэлектриков отсутствуют сторонниезаряды, то нормальная компонента вектора D непрерывна при переходе через границу(4.13)D2n = D1nДля такого случая выражение для плотности связанных поверхностных зарядов на границе (4.2) можно записать какσ′ = ε0(E2n – E1n)(4.14)Если ε2 > ε1 и поле направлено из первой среды во вторую, то σ′ < 0.Если ε2 > ε1 и поле направлено из второй среды в первую, то σ′ > 0.В том и другом случае поле во второй среде (с большей ε) слабее,чем в первой (где ε меньше).

При ε1 > ε2 знаки связанных зарядовнадо заменить на противоположные (см. [1] §17).§ 4.2 Основные типы задач (классификация)4.1. Определение плотности поверхностных σ′ и объемных ρ′поляризационных зарядов в диэлектрике, а также вектора поляризации P.4.2. Определение напряженности Е, потенциала φ и вектораиндукции D в системах с однородными диэлектриками.Гл.4. Диэлектрики в электростатическом поле1154.3.

Определение емкости конденсаторов, заполненных неоднородным диэлектриком. Нахождение электрического поля в системах с неоднородным диэлектриком.4.4. Определение напряженности поля внутри и вне диэлектрических тел, имеющих заданное статическое состояние поляризации.§ 4.3 Методы решения и примеры решения задач.Задачи типа 4.1Определение плотности поверхностных σ′ и объемных ρ′ поляризационных зарядов в диэлектрике, а также вектора поляризации PМетоды решения. Использование формул (4.1) – (4.7). Эффективный прием – приравнять выражения для напряженности поля вдиэлектрике, записанные в «макроскопическом» представлении(через известную диэлектрическую проницаемость диэлектрика) ив «микроскопическом» представлении (как суперпозицию напряженностей полей от сторонних и связанных зарядов).Задача 4.3.1 (базовая задача).

Металлическая сфера радиусаR, несущая заряд q, расположена в безграничной однородной диэлектрической среде с проницаемостью ε. Определить вектор поляризации Р(r) в произвольной точке среды, а также плотности поверхностных σ′ и объемных ρ′ связанных зарядов в диэлектрике.Решение:Внутри сферы (r < R) зарядов нет, поэтому по теореме Гауссанапряженность электрического поля там равна нулю.В произвольной точке, находящейся на расстоянии r > R отцентра сферы, напряженность поля в диэлектрике будет такой же,как от точечного заряда q, помещенного в центр сферы, и определяется формулой (4.10).

Используя (4.4), (4.7), получаемР(r) = (ε – 1)ε0E(r) = (ε – 1)ε01 ε −1 q r1q r=.24πε0 ε r r4π ε r 2 rВ нашем случае диэлектрик изотропный и сторонних зарядоввнутри него нет, поэтому объемных связанных зарядов в нем не116ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧвозникает: ρ′ = 0. Этот вывод легко проверить независимо, вычисляя дивергенцию вектора Р в сферических координатах1 ∂ 2r P = 0.ρ′ = – div P = – 2r ∂rДля вычисления поверхностной плотности связанных зарядовσ′ запишем два эквивалентные выражения для напряженности поляE в диэлектрике.

Согласно (4.10), поле точечного заряда, эквивалентное полю заряженной сферы, в безграничном диэлектрике в εраз меньше, чем в той же точке в отсутствие диэлектрика, т.е.1 qЕ=.4πε0 εr 2С другой стороны, эта напряженность поля реально создаетсясторонним зарядом q и поляризационным зарядом q′, образовавшимся на сферической границе диэлектрикаЕ = Eq + Eq' =1 q + q′.4πε0 r 2Приравнивая эти выражения, получаемqq + q′ε −1= 2и q′ = −q2εεrrε −1qσ , где σ =.или σ′ = −ε4πR 21 ε −1 q rε −1 qОтвет: для r > R: σ′ = −ρ′ = 0; P(r) =.2ε 4πR4π ε r 2 rЗамечание 1. Другой способ решения данной задачи основан наиспользовании соотношения (4.2): σ′ = P1n – P2n.