Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 16

Вблизи проводника, согласно (3.1), Е =, причемε0вектор Е направлен в сторону плоскости только в случае σ < 0.Приравнивая оба выражения для Е, находим97Гл. 3. Проводники в электростатическом полеqh.2π(h 2 + r 2 ) 3 / 2Для проверки полученного результата вычислим полный зарядq', индуцированный на плоскости. Он должен быть равен –q, таккак все силовые линии, исходящие из заряда q, заканчиваются наплоскости. Чтобы вычислить q', выделим часть плоскости, лежащую между окружностями радиусов r и r + dr.

Площадь этой частиплоскости равна 2πr dr, и на ней находится заряд dq'= σ(r)⋅2πr dr.Интегрируя по r в пределах от нуля до бесконечности, находим полный заряд q'∞rdrq′ = −qh∫ 2= −q .(r + h 2 ) 3 / 20σ( r ) = −σ( r ) = −Ответ:qh.2π(r 2 + h 2 ) 3 / 2Задача 3.3.10. Точечный заряд q находится на расстоянии b отцентра заземленного металлического шара радиуса r (b > r). Определить силу притяжения F между зарядом и шаром.

Какую работуА надо совершить, чтобы перенести заряд в бесконечно удаленнуюточку?РешениеПотенциал заземленного шара считаем равным нулю. В соответствии с §3.1. строим заряд-изображениеr,bнаходящийся настоянииPq′ = −q2рас-r1rbOarq' = – qbqxrbотцентрашараРис 3.9. Точечный заряд q вблизи заземлённого(рис 3.9).металлического шара и заряд-изображение q' (заПосколькуполе, дача 3.3.10)создаваемое индуцированными зарядами на шаре в точке нахождения заряда q, эквивалентно полю заряда-"изображения" q′, то искомая сила взаимодействия между шаром и зарядом q равна силе притяжения данныхa=98ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧзарядов противоположного знака q и q′, определяемой законом Кулона.

Следовательно, величина этой силы F равна:qq ′brq 2=k.(b − a ) 2(b 2 − r 2 ) 2При удалении заряда от шара за счет внешней силы будет также изменяться и положение (координата x) заряда-изображения.Учитывая, что внешняя сила направлена по оси х и выполняя интегрирование, находим величину ее работы, необходимой для полного разведения зарядов:∞∞rq 2 xdxrq 2.A = ∫ F ( x)dx = k ∫ 2=k( x − r 2 )22(b 2 − r 2 )bbЭта работа положительна, поскольку совершена внешней силойпротив электрических сил притяжения.F =kОтвет:F =kbrq 2;(b 2 − r 2 ) 2A=krq 2.2(b 2 − r 2 )Задача 3.3.11. Точечный заряд q находится на расстоянии b отцентра изолированного незаряженного металлического шара радиуса r. Определить силу притяжения F между зарядом и шаром.РешениеЕсли шар изолирован, то его потенциал, вычисленный в задачеqqrобеспе3.3.1, равен k .

Поскольку заряд-изображение q′ = −bbчивает равенство потенциала сферы нулю, то для увеличения еепотенциала до нужного значения надо добавить в центр шара тоqчечный заряд q'' такой, чтобы потенциал сферы стал равен k .bВеличину заряда q'' легко установить: она должна удовлетворятьq′′qrсоотношению k= k , откуда q′′ = q . В области вне шараrbbэлектростатическое поле будет в точности совпадать с полем, созданным тремя точечными зарядами: q, q'' и зарядом-изображениемqrq′ = − .bГл. 3. Проводники в электростатическом поле99К этому же выводу можно придти и по-иному: поток вектора Ечерез поверхность шара должен равняться нулю, т.к.

шар не заряжен. Отсюда по теореме Гаусса следует, что сумма зарядов, размещаемых нами внутри шара для моделирования внешнего поля, также должна равняться нулю: q'' + q' = 0, что опять приводит к равенству q′′ = q (r b ) .Теперь вычисляем силу, действующую на заряд q, как суммудвух сил от точечных зарядов q′ и q′′. Первое слагаемое в скобкахсоответствует притяжению зарядов q, q', второе – отталкиваниюзарядов q, q''. Хотя заряды q' и q'' одинаковы по модулю, в итогеполучается сила притяжения, поскольку заряд q' находится к qближе, чем заряд q''.1b1Ответ: F =rq 2  2− 3  .2 24πε0b  (b − r )Замечание.

Можно дополнительно вычислить и работу, необходимую для удаления заряда q на бесконечность. Она вычисляетсясовершенно аналогично расчету, приведенному в задаче 3.3.11. Вr 3q 2нашем случае она равна A = k 2 2. Как и следовало ожи2b (b − r 2 )дать, она меньше, чем в случае заземленного шара предыдущей задачи, потому что тогда за счет заземления на шаре появлялся отличный от нуля индуцированный заряд противоположного знака итребовалась дополнительная работа по преодолению его силы притяжения.Задача 3.3.12. Тонкое проволочное кольцо радиуса R имеетзаряд q. Кольцо расположено параллельно безграничной проводящей плоскости на расстоянии h от последней.

Найти: а) поверхностную плотность заряда в точке плоскости на оси кольца; б) напряженность и потенциал электрического поля в центре кольца.РешениеВоспользуемся результатом решения базовой задачи 1.3.5, вкоторой получено значение напряженности поля на оси заряженного кольца на произвольном расстоянии z от его плоскости:1qz.E ( z) =24πε0 ( R + z 2 ) 3 / 2100ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗаряд-изображение имеет вид заряженного отрицательнокольца, расположенного симметрично относительно плоскости.Ответы на вопросы задачи получим, суммируя вклады от заряда qи заряда-изображения.а) Речь идет о точке плоскости, через которую проходит оськольца.

Для нее z = h и векторы напряженности от двух колец направлены одинаково. Поэтому суммарная напряженность равна1qh.E = 2 E ( h) =2πε 0 ( R 2 + h 2 ) 3 / 2Искомую плотность заряда найдем из формулы (3.1), что даетответ а):1qhσ=−.22π ( R + h 2 ) 3 / 2б) Напряженность в центре кольца создается только зарядомизображением. Для этой точки1qhz = 2h и E =.22πε 0 ( R + 4h 2 )3 / 2Мы считали q > 0, поэтому вектор Е направлен вдоль оси кольца в сторону плоскости.

Итак, получена первая часть ответа б).Задача о потенциале для точек на оси такой системы двух колецрешена в главе 2 (см. задачу 2.3.5). В общий ответ, полученный принормировке потенциала на нуль в бесконечно удаленной точке,1 q1q2,ϕ=+22 4πε 0  R 2 + ( x − h) 2R + ( x + h) надо подставить q1 = q, q2 = –q, x = h.q  11 , где ϕ – потенВ итоге получаем: ϕ =−4πε0  RR 2 + 4h 2 циал средней точки кольца относительно проводящей плоскости(или, эквивалентно, относительно бесконечно удаленной точки).В этом частном случае, когда заряды q1 и q2 равны по величинеи противоположны по знаку, потенциал в точке x = 0 тоже равеннулю.

Это означает, что вся проводящая плоскость из условия задачи имеет равный нулю потенциал.1qhОтвет: a) σ = −;22π ( R + h 2 ) 3 / 2101Гл. 3. Проводники в электростатическом полеб) E =1qh22πε 0 ( R + 4h 2 )3 / 2;ϕ=q  11−4πε0  RR 2 + 4h 2.Задачи типа 3.4Расчет емкости конденсатора и батарей конденсаторов приразличных их соединенияхМетод решения. Анализ распределения потенциала в системепроводников и использование формул (3.2), (3.6) – (3.9), (3.11),(3.12) теоретического материала.Задача 3.3.13 (базовая задача). Расстояние между обкладкамиплоского конденсатора равно d. В пространство между обкладкамиконденсатора вносится металлическая пластинка толщиной h, поверхность которой параллельна обкладкам и находится на расстоянии b от одной из обкладок (рис.3.10.) Пластины конденсатораимеют потенциалы φ1 и φ2 < φ1.Найти потенциал φ металлической пластины.РешениеВнутри металлической пластины Е0 = 0, а вне неё поле однородно и имеет напряженностьϕ − ϕ2E= 1.d −hИзменение потенциала при переходе отϕ1верхней обкладки к пластине вычисляемbкак взятую с обратным знаком работуэлектрического поля Е по перемещениюединичного положительного заряда на d hϕ2расстояние b: ∆φ = –bE.

Следовательно,потенциал металлической пластины ра- Рис. 3.10. Металлическаяϕ − ϕ2пластина внутри плоскоговен φ = φ1 + ∆φ = φ1 – b 1.конденсатора (задача 3.3.13)d −hОтвет:φ = φ1 – bϕ1 − ϕ2.d −h102ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 3.3.14. Плоский конденсатор состоит из двух пластин,находящихся друг от друга на расстоянии 0,5 мм. Как изменитсяемкость конденсатора, еслиа) его поместить в изолированнуюметаллическую коробку («экраниро12С∆ϕ1вать»), стенки которой будут находиться на расстоянии 0,25 мм от пластин2С∆ϕ2(рис.

3.11)?32С∆ϕ3б) если коробку соединить с однойиз пластин? При расчётах искажениемполя у краев конденсатора пренебречь. Рис.3.11. Плоский конденсаторвнутри металлической коробкиРешение(задача 3.3.14)Потенциал коробки есть величинапостоянная, поэтому работа по перемещению единичного положительного заряда от нижней плоскости коробки до верхней по любому пути равна нулю. Иными словами,∆φ1 + ∆φ2 + ∆φ3 = 0,где индексами 1, 2, 3 отмечены последовательно проходимые промежутки между всеми пластинами (рис.3.11). Пусть С – емкостьнеэкранированного конденсатора.

Из условия задачи следует, чтоемкости каждого из конденсаторов, образованных внутренней пластиной и пластиной коробки, равны С1 = С3 = 2С. Из симметриисистемы заключаем, что∆ϕ2.∆φ1 = ∆φ3 = −2Значит, конденсаторы С1 и С3включены навстречу конденсатору С,2CCт.е. эквивалентная схема имеет вид,2Cпоказанный на рис. 3.12 (работа приобходе всего контура равна нулю). Используя формулы сложения емкостей,находим ответ: суммарная емкость (т.е. Рис.

3.12. Эквивалентная схемаемкость конденсатора С, заключенного конденсатора, находящегосявнутри металлической коробкив коробку) равна 2С.(задача 3.3.14)Если коробку соединить с одной изпластин, то это эквивалентно удалению одного из конденсаторов семкостью 2С (соединение проводом без геометрического перемещения). Суммарная емкость при этом станет равной 3С.Гл. 3. Проводники в электростатическом полеОтвет:а) С1 = 2С;103б) С2 = 3С.Задача 3.3.15. Два длинных провода радиусом а каждый расположены параллельно друг другу. Расстояние между их осямиравно b (b >> a).

Найти емкость участка проводов длиной h.РешениеЧтобы воспользоваться формулой (3.2), необходимо вычислитьразность потенциалов проводов, если поместить на них равные повеличине и противоположные по знаку заряды. Пусть на одномпроводе находится заряд с поверхностной плотностью +σ, а на втором – с поверхностной плотностью –σ (рис. 3.13). Провода рассматриваем как бесконечно длинные цилиндры.

Напряженностьполя в точке А, находящейся вне проводов на расстоянии r от осипервого провода, равнаσaσa–σ+σ,E=+ε 0 r ε 0 (b − r )rAгде r – расстояние от левого провоbда (см. задачу 1.3.12, глава 1). Отсюда следует, что потенциал в точ- Рис. 3.13. К определению ёмкостисистемы из двух длинных провоке А равендов (задача 3.3.15)σar+ const.ϕ(r ) =lnε 0 (b − r )Потенциал первого провода φ1 получим, полагая здесь r = a:φ1 = φ(a); для второго, полагая r = b – a: φ2 = φ(b – a). Разность потенциалов2σ a b − a∆φ = φ2 – φ1 =,lnε0aа заряд q, приходящийся на участок провода длиной h, равенqh = 2πσah.πε 0 hπε hqhИз (3.2) при b >> a находим ответ: C ==≈ 0 .∆ϕ ln b − a ln baaπε 0 hπε h≈ 0 .b−ablnlnaaЗамечание.

При решении задачи не учитывалось перераспределение поверхностных зарядов на проводах за счет электростатиче-Ответ:C=104ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧской индукции. Это приближение оправдано при большом расстоянии между проводами (b >> a).Задача 3.3.16. Определить приближенно емкость C системыиз двух одинаковых металлических шаров радиуса R, находящихсяна очень большом по сравнению с R расстоянии друг от друга.РешениеПоместим на шарах заряды +q и –q. Условие большого расстояния между шарами позволяет пренебречь перераспределениемзарядов на шарах за счет электростатической индукции и приближенно считать распределение зарядов на шарах равномерным.