Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 9

Показать, что заданное распределение заряда можнопредставить как результат малого сдвига по оси Х относительнодруг друга двух равномерно заряженных цилиндров одного радиуса, плотности зарядов которых равны по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти векторнапряженности электрического поля внутри области пересеченияцилиндров, воспользовавшись результатами задач 1.3.13 и 1.3.14.Ответ: E x = −σ0.2ε 01.4.18. Точечный диполь с электрическим моментом р, ориентированный в положительном направлении оси Z, находится в начале координат.Для точки S, отстоящей от диполя на расстояние r, найти проекцию вектора напряженности электрического поля Еz и проекциюЕ⊥ на плоскость, перпендикулярную оси Z. В каких точках Е ⊥ р ?p 3 cos 2 ϑ − 1p 3 sin ϑ cos ϑ, E⊥ =;34 πε 0r4πε 0r3Е ⊥ р в точках, лежащих на поверхности конуса с осью вдоль Zи углом полураствора ϑ, для которого cos ϑ = 1 3 (ϑ1 = 54,7°), вОтвет: E z =этих точках E = E⊥ =1 p 2.4πε0 r 351Гл.1.

Постоянное электрическое поле1.4.19. В центре полукольца раxдиуса R находится точечный заряд –q.Полукольцо имеет полный заряд +q,qRраспределенный по закону τ(ϑ) ∼ сosϑ,где τ – линейная плотность заряда, ϑ –ϑугол между радиусом-вектором рассматриваемой точки и осью симметрии–qzсистемы Z (рис. 1.26). В дипольномприближении найти напряженностьэлектрического поля на оси Z на расстоянии z от системы (z >> R).Рис.1.26. Система из точечного1 qRзаряда и неравномерно заряОтвет: E ( z ) =.женного полукольца (задача8 ε0 z 31.4.19)Литература к главе 11.2.3.4.Матвеев А.Н.

Электричество и магнетизм. –М.: Оникс 21век, 2005, §§ 1-3, 5-7, 12,13.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. –М.: Физматлит, 2006, §§ 1 – 9.Калашников С.Г. Электричество. –М.: Физматлит, 2003.§§ 8-15.Тамм И.Е. Основы теории электричества.

– М.: Физматлит,2003, §§ 1- 4, 13.52ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧГлава 2РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ.ПОТЕНЦИАЛ§2.1 Теоретический материалРабота сил электростатического поля при перемещении точечного заряда q из точки 1 в точку 2 определяется линейным интегралом∫ q(Edl ) ,A12 =(2.1)( L12 )где L12 – траектория движения заряда, dl – бесконечно малое перемещение вдоль траектории. Если контур замкнутый, то для интеграла используется символ∫;в этом случае предполагается, чтовыбрано направление обхода контура.Электростатическое поле потенциально: при перемещенииточечного заряда по любому замкнутому контуру работа равна нулю.

При произвольном перемещении заряда из точки 1 в точку 2работа не зависит от траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек 1 и 2. Благодаря этому работу поляможно представить в виде(2.2)A12 = q [φ(r1) – φ(r2 )],где скалярная функция φ(r) называется электростатическимпотенциалом. Эта функция непрерывна во всем пространстве иимеет конечные первые производные.Потенциал является энергетической характеристикойэлектростатического поля, его можно определить через потенциальную энергию W(r) пробного заряда q в электростатическом полеW (r )φ(r) =.qПотенциал в точке r численно равен потенциальной энергииединичного положительного точечного заряда, находящегося вэтой точке.Физический смысл имеет только разность потенциаловдвух точек, поэтому потенциал, как и потенциальная энергия, оп-Гл.

2. Работа сил электростатического поля. Потенциал53ределен с точностью до произвольной постоянной, связанной с выбором начала его отсчета.Нормировка потенциала – придание однозначности потенциалу путем приписывания ему определенного значения в какойлибо точке. Обычно используют один из двух наиболее удобныхспособов нормировки:1) если заряды занимают ограниченную область пространства,то принимают равным нулю значение потенциала в бесконечно удаленной точке;2) если проводящее тело каким-то образом соединено с Землей(заземление), то его потенциал равен потенциалу Земли (потенциалЗемли можно положить равным нулю).В модельных задачах, где заряды занимают бесконечные области (например, бесконечная заряженная плоскость, нить, цилиндр ит.д.), выбор нулевой точки потенциала произволен и определяетсясоображениями симметрии и удобством записи результата.Потенциал поля точечного заряда q равен1 qφ(r) =,(2.3)4πε 0 rгде r – расстояние от заряда q до точки наблюдения (потенциал вточке, бесконечно удалённой от заряда принимается равным нулю).Потенциал поля системы точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в рассматриваемой точкекаждым из зарядов (принцип суперпозиции для потенциалов).qi1,(2.4)ϕ = ∑ ϕi =∑4πε 0 i riiгде ri – расстояние от точки, в которой вычисляется потенциал, до iого заряда.Потенциал поля точечного диполя равен1 prφ(r) =(2.5)4πε0 r 3(начало координат взято в точке нахождения диполя).Потенциал поля непрерывного распределения зарядов: если все заряды расположены в конечной области пространства и потенциал нормирован на нуль в бесконечности, то54ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧφ=14πε 0dq(r ′)∫ r − r′ ,(2.6)где r′′ – радиус-вектор заряда dq, r – вектор, проведенный из точки,в которой вычисляется потенциал, до заряда dq(r′′) в бесконечномалой окрестности точки r′′. Интегрирование производится по всемобъемам, содержащим распределенные с плотностью ρ заряды(dq(r′′) = ρ(r′′)dV), по всем поверхностям, несущим поверхностныезаряды σ (dq(r′′) = σ(r′′)dS), и по всем линиям, на которых находятсяраспределенные с линейной плотностью τ заряды (dq(r′′) = τ(r′′))dl.Циркуляцией произвольного вектора A по замкнутомуконтуру L называется линейный интеграл∫ Adl .(2.7)LРотором вектора A называется вектор, проекция которогона положительное направление нормали n равна пределу отношения циркуляции вектора А по физически бесконечно малому контуру L к площади ∆S, ограниченной этим контуром1rot n A = limAdl(2.8)∆S →0 ∆SL∫Положительное направление нормали n согласуется с направлением обхода контура L правилом правого винта.В декартовой системе координат с ортами i, j, k ротор можнопредставить в виде векторного произведения:i∂rot A = [∇ A ]=∂xAxj∂∂yAyk∂,∂zAz(2.9)где символический дифференциальный векторный оператор ∇ (набла) определен в §1.1.

главы 1. В декартовых координатах он имеетвид:∂∂∂∇ = i + j +k .∂x∂y∂zФормула Стокса: циркуляция вектора A по произвольномуконтуру L равна потоку ротора вектора A через любую поверхность, опирающуюся на контур L:Гл. 2. Работа сил электростатического поля.

Потенциал∫ Adl = ∫ rot AdS .L55(2.10)SТеорема о циркуляции вектора E (интегральная формулировкапотенциальности электростатического поля): в любом электростатическом поле циркуляция вектора E по любому замкнутому контуру L равна нулю∫ Edl =0.(2.11)LДифференциальная формулировка потенциальности электростатического поля: в любом электростатическом поле в любой точкеrot E = 0.(2.12)Градиентом скалярной функции φ назывaeтся векторgrad φ = ∇ϕ = i∂ϕ∂ϕ∂ϕ+ j +k.∂x∂y∂z(2.13)Этот вектор направлен перпендикулярно к поверхности φ = const всторону возрастания φ, а его модуль равен производной от функцииφ по этому направлению.Два полезных математических тождества:div rot A ≡ 0 для любой векторной функции A(r);(2.14)rot grad φ ≡ 0 для любой скалярной функции φ(r).(2.15)Эквипотенциальная поверхность – поверхность, на которой потенциал остается постоянным. Линии напряженности поля перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям и направлены всторону убывания потенциала.Связь потенциала с напряженностью поляE = – grad φ.(2.16)Обратная операция – нахождение разности потенциалов ∆ϕ21из заданной напряженности поля(2)ϕ2 – ϕ1 = − ∫ Edl ,(2.17)(1)где интегрирование идет по любой траектории, соединяющей точки1 и 2.56ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧДифференциальное уравнение для потенциала (уравнениеПуассона)ρ,(2.18)∆φ = –ε0где ∆ – оператор Лапласа. В декартовой системе координат оператор Лапласа является суммой вторых производных по всем координатам:∂2∂2∂2∆ ≡ ∇2 = 2 + 2 + 2 .(2.19)∂x∂y∂zВ сферической системе координат (r, ϑ, ϕ) оператор Лапласа имеетвид∂2 2 ∂1  1 ∂2∂2∂ (2.20)∆= 2 ++ 2  2++ ctg θ  .22∂rr ∂r r  sin ϑ ∂ϕ∂ϑ∂ϑ В областях, где заряды отсутствуют, уравнение Пуассона переходитв уравнение Лапласа:∆φ = 0.(2.21)§2.2. Основные типы задач (классификация)2.1. Определение потенциала или разности потенциалов полязаданного распределения зарядов. Вычисление работы по перемещению заряда в поле заданной системы зарядов.2.2.

Обратная задача: найти распределение зарядов, создающихзаданные значения потенциала или разности потенциалов.2.3. Определение потенциала или разности потенциалов, еслизадана или легко вычисляется напряженность поля, и обратная задача: найти напряженность поля, если известно распределение потенциала или задана разность потенциалов.2.4. Построение картины силовых линий и эквипотенциальныхповерхностей для заданной системы неподвижных зарядов.§2.3. Методы решения и примеры решения задачТак же, как в главе 1, из анализа условий задачи следует определить, к какому типу относится данная задача. Следует уяснить,какими свойствами симметрии обладает изучаемая система зарядовГл. 2.

Работа сил электростатического поля. Потенциал57и полей. В соответствии с этими сведениями надо выбрать наиболее удобную для расчетов систему координат. После того как решение получено, следует обязательно проверить его размерность, соответствие результата различных предельных случаев ожидаемымили ранее полученным результатам, а также рассмотреть физическую картину при различных значениях параметров системы.Задачи типа 2.1Определение потенциала или разности потенциалов поля заданного распределения зарядовМетод решения – прямое суммирование потенциалов в заданной точке от точечных зарядов (2.3), диполей (2.5) и непрерывнораспределенных зарядов (2.6). Этот метод универсален, т.е. применим к любому распределению зарядов.

Однако, в случае симметричной системы зарядов (как в задачах типа 1.2.3 главы 1), когда спомощью теоремы Гаусса легко выполняется вычисление напряженности поля E, можно свести задачу к типу 2.2.3 и найти потенциал из известной напряженности поля (2.17). Такой подход частопозволяет существенно упростить расчеты.Если заряды распределены в конечной области пространства, то в дальнейшем (если не оговорено другое условие) будемполагать равным нулю значение потенциала в бесконечно удаленной точке.Потенциал φ(r) – скалярная функция, поэтому суммированиевыполняется алгебраически, что значительно упрощает расчет посравнению с вычислением напряженности поля E(r), когда вкладыот разных зарядов складываются векторно.Наиболее общий подход состоит в использовании уравненияПуассона (или уравнения Лапласа). При этом учитываются условиянепрерывности потенциала, граничные условия и условия нормировки.

Однако решение дифференциального уравнения второго порядка в частных производных является достаточно сложной задачейи в курсе общей физики практически не используется. Отдельныепримеры применения этого метода можно найти в некоторых учебниках (см., например, [1], § 15). Другое дело – использование уравнения Пуассона для решения обратной задачи. Если задано распределение потенциала, то, вычисляя его вторые производные по координатам, можно с помощью уравнения Пуассона найти распределение заряда во всем пространстве.58ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.