Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 7

1.18. К определению напряжен,dE = −ности поля в центре сферы с неравно4πε0 r 2 rмерно распределённым поверхностa ее модульным зарядом (задача 1.3.20)1dE =ar cos ϑ sin ϑ dϑ dϕ .4πε 0Проекции dE на ось Z и на перпендикулярное направление y соответственно равны2πdE z = − dE cos ϑ ∫ dϕ =0arsin ϑ cos 2 ϑ dϑ и2ε 037Гл.1. Постоянное электрическое поле2πdE y = − dE sin ϑ ∫ dϕ = −0arsin 2 ϑ cos ϑ dϑ .2ε 0Интегрирование по углу ϑ соответственно даетπEz = −πarararsin ϑ cos2ϑ dϑ = −и Ey = −sin 2 ϑ cos ϑ dϑ = 0 .∫2ε 0 03ε 02ε0 ∫0Вспоминая, что ось Z направлена вдоль вектора а, можно ответ наrписать в векторном виде E = −a.3ε 0ra.3ε 0Замечание. Другой способ решения этой задачи предлагаетсяниже в задаче 1.4.11.Ответ: E = −Задача 1.3.21. Тонкое кольцо радиуса R заряжено с линейнойплотностью τ = τ0 cosφ (начало полярной системы координат в центре кольца).

Найти напряженность поля в центре и в произвольнойточке на оси кольца.Решение-dq+dqС учетом симметрии системырассмотрим четыре участка кольцаEϕдлиной dl = Rdφ каждый, располоXженных на концах двух взаимноперпендикулярныхдиаметров(рис. 1.19, на котором стрелками по+dq-dqказаны напряженности1 dqРис. 1.19. К вычислению напря,dE1 =4πε 0 R 2женности поля Е в плоскости неравномернозаряженного кольцасоздаваемые точечными зарядами dq(задача 1.3.21)= τdl, находящимися на каждом участке dl).Видно, что при их сложении будет отлична от нуля только проекция на ось X:1 τ0dEx = –4dE1 cosφ = −cos 2 ϕ dϕ = dE.πε0 R38ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИнтегрируя это выражение в пределах от 0 до π 2 , получим значение напряженности в центре кольца:τE=− 0 i,dE14ε 0 Rα(здесь учтено и направлениевектора E, а i – орт оси Х).В точке на оси кольца,rrzотстоящей от плоскостикольца на расстояние z, усло–dq+dqRRвия симметрии те же, поэтоРис.

1.20. К вычислению напряженности му опять будет отлична отполя Е на оси неравномерно заряженного нуля только проекция E накольца (задача 1.3.21)ось X. Но теперь (см.рис. 1.20)dE1 == −41dq, dE x = −4dE1 cos ϕ cos α =24πε 0 z + R 2τ0 R 21dq1cosϕcosα=−4πε0 z 2 + R 2πε0 z 2 + R 2(Вычисляя интеграл по φ в пределах от 0 доление вектора E, находимОтвет:E=−(τ0 R 24ε 0 z 2 + R 2)3/ 2)3/ 2cos 2 ϕd ϕ .πи учитывая направ2i.Задача 1.3.22.

Система состоит из шара радиуса R, заряженного равномерно, и окружающей среды, заполненной зарядом с объαёмной плотностью ρ = , где α – постоянная, r – расстояние доrцентра шара. Найти заряд шара, при котором модуль вектора напряженности электрического поля вне шара не будет зависеть от r.РешениеЗадача обладает сферической симметрией, что позволяет воспользоваться теоремой Гаусса. Выберем в качестве поверхности39Гл.1. Постоянное электрическое полеГаусса сферу с радиусом r > R.

Тогда величина заряда внутри этойповерхности будет Q + ∆q, где Q искомый заряд шара, а ∆q – зарядшарового слоя, равныйr∆q = ∫ ρ 4πr 2 dr = 2πα(r 2 − R 2 ) .RСогласно теореме Гаусса, напряженность поля на выбраннойповерхности будетQ + ∆q1 Q2παR 2 E=2=+πα−4πε0 r 2 4πε0  r 2r 2 Величина Е не будет зависеть от r, если Q = 2παR2. Напряженαность поля при этом будет равна Евне =.2ε 0Ответ: Q = 2παR2.Задачи типа 1.5Определение напряженности поля, в создании которого участвуют электрические диполиМетод решения: использовать определения диполя или дипольного момента системы зарядов (1.5), (1.6) и выражения для напряженности поля диполя (1.4).EЗадача 1.3.23. Используя сферическую систему координат сортами er и eφ, начало которой совпадает с точечным электрическимдиполем с моментом p, найти впроизвольной точке А с координатами (r, φ) компоненты и модульвектора напряженности.αEϕErereϕ A(r,ϕ)rϕpРис.1.21.

Компоненты напряженности поля диполя в сферических координатах (задача 1.3.23)РешениеПоместим начало координат в точку нахождения диполя и направим полярную ось φ = 0 вдоль вектора p (рис. 1.21). Используемдля расчета формулу (1.4) теоретического введения, отсчитываяугол φ от направления вектора p:40ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1  3(pr )r p − 3.4πε0  r 5r Поскольку в выбранной системе координатpr = pr cosφ, per = pcosφ, peφ = – psinφ, reφ = 0,находим из (1.4):E(r ) =p sin ϕp cos ϕ, Eφ =,34πε 0 r 32πε0 rpE = Er2 + Eϕ2 =3cos 2 ϕ + 1 .4πε0 r 3Отсюда E = Er er + Eφeφ. Вектор E составляет с направлением r угол1α, такой, что tgα = tgφ.2p cos ϕp sin ϕpОтвет: Er =, Eφ =, E=3 cos 2 ϕ + 1 .4πε 0 r 32πε 0 r 34πε 0 r 3Er =Задача 1.3.24. Два точечных диполя с одинаковыми по величине дипольными моментами p находятся на расстоянии R друг отдруга и ориентированы взаимно перпендикулярно. Найти величину напряженности поля в точке О, расположенной посередине между диполями.

Вектор момента р1 одного из диполей направленпод углом ϑ относительно прямой, соединяющей диполи(рис.1.22а).РешениеИспользуем решение иπобозначения задачи 1.3.23.ϑ+p2p12Для первого диполя угол φ1Oϑмежду векторами р1 и r1 равенφ1 = 2π – ϑ(см.Rрис. 1.22б), поэтому для проРис. 1.22а. Система двух взаимно перпенекций напряженности на оси дикулярных диполей (задача 1.3.24)сферической системы координат получаем1 2 p1 cos ϑϑ.E r1 =, Eϕ1 = − 1 p1 sin4πε 0r134πε0 r13Знак «–» в Eϕ1 показывает, что эта компонента направлена проти-41Гл.1.

Постоянное электрическое полевоположноортуeϕ1 (см.рис. 1.22б).Аналогично для второгоπдиполя имеем (φ2 = − ϑ ):21 2 p2 sin ϑ,4πε0r231 p2 cos ϑ.=4πε 0r23Er 2 =Eϕ 2Рис.1.22б. Напряженности полей Е1 и Е2,создаваемые диполями p1 и p2 в точке О(задача 1.3.24)Так как направления векторов Е1 и Е2 не зависят от выбраннойсистемы координат, то используя принцип суперпозиции в точке О(r1 = r2 = r = R/2) и учитывая, что р1 = р2 = р, имеем:Er =1  2 p cos ϑ 2 p sin ϑ 1 16 p(cos ϑ − sin ϑ) ,−=3334πε0  rr 4πε0 REϕ =1  p cos ϑ p sin ϑ 1 8p+(cos ϑ + sin ϑ) ,=3334πε 0  rr 4πε 0 RE = Er2 + Eϕ2 =Ответ: E =2p5 − 6 cos ϑ sin ϑ .πε0 R 32p5 − 6 cos ϑ sin ϑ .πε0 R 3Замечание.

При фиксированном R максимальное значение модуля напряженности Emax соответствует углу ϑ = 3π 4 или 7 π 4 .Минимальное значение Emin соответствует ϑ = π 4 или 5π 4 . Приpэтом Emin = 2 2, а Emax вдвое больше.πε 0 R 3Задача 1.3.25. В каких точках на расстоянии R от точечногодиполя с моментом р величина напряженности электростатического поля будет иметь максимальное и минимальное значение?42ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРешениеВыберем систему координат так, чтобы диполь находился в начале координат, а вектор р был паралYлелен оси Y (рис. 1.23).Из формулы (1.4)1  3(pr) r p − 3,E(r ) =4πε0  r 5r ϑpXопределяющей поле диполя, следует,что при постоянном значении R величина напряженности Е будет определяться значением полярного угла ϑ, и Рис.1.23.

Декартова системаво всех точках круга, полученного в координат для изучения полярезультате сечения сферы с радиусом R диполя (задача 1.3.25)плоскостью у = const, будет иметь постоянное значение. При этомвеличина Е определяется разностью двух векторов, один из которых направлен по радиусу, а второй параллельно р.Найдем проекции этой разности на координатные оси:1 3pEx =cos ϑ sin ϑ4πε0 R3и1 3p cos 2ϑ p  1 pEy =− 3=(3cos2 ϑ−1).4πε0  R 3R  4πε0 R31 pВ результате E = E x2 + E y2 =3 cos 2 ϑ + 1 .4πε0 R 3Разумеется, эту формулу можно было сразу взять из решениязадачи 1.3.23, где она была получена в полярных координатах.Анализ функции f (ϑ) = 3cos2ϑ + 1 на экстремум показывает,π 3π2ppчто Еmax =при ϑ = 0, π; Emin =при ϑ = ,.334πε0 R4πε0 R2 22pОтвет: Еmax =при ϑ = 0, π;4πε0 R3Emin =π 3πpпри ϑ = ,.34πε0 R2 243Гл.1.

Постоянное электрическое полеЗадача 1.3.26. Точечный электрический диполь с моментомp = 10−12 Кл⋅м равномерно вращается с угловой скоростью ω относительно оси, перпендикулярной вектору момента диполя и проходящей через его центр. Найти мгновенное значение напряженностиэлектрического поля в точке М, лежащей в плоскости вращения диполя на расстоянии х0 = 2 см от него в момент t = T/6, где Т – период вращения.

Угол поворота φ отсчитывается от направления отдиполя на точку М. В начальный момент (t = 0) положить φ = 0.РешениеВ задаче 1.3.23 получена общая формула для вычисления модуля напряженности при заданном полярном угле φ. Здесь надо применить эту формулу в точке r = 2 см в момент времени t = T/6, когдаφ = ωT = π/3. Остается только подставить все известные численныезначения и получить численный ответ: E = 9 13 10 3 В/м.16Ответ: E = 9 13 10 3 В/м.16Замечание. Приведенное решение, использующее формулыэлектростатики для нахождения переменного электрического поляот вращающегося диполя, асимптотически справедливо только намалых расстояниях r от диполя, удовлетворяющих условиюr << c/ω, где с – скорость света (электромагнитной волны).

В общемслучае надо учитывать излучение электромагнитных волн вращающимся диполем [1, §61; 2, §99].Задача 1.3.27. Пластины плоского конденсатора, имеющие видтонких дисков, заряжены зарядами +q и (–q) соответственно. Расстояние между пластинами l много меньше размеров самих пластин. В дипольном приближении найти величину напряженностиэлектрического поля на расстоянии r от конденсатора, много большем его размеров. Распределение заряда на пластинах считать равномерным.РешениеПоскольку полный заряд системы равен нулю, дипольный момент можно считать относительно любой точки, в качестве которойудобно взять центр нижней пластины.