Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 8

Ввиду симметрии системыотносительно оси Z (см. рис.1.24) вектор дипольного момента pбудет иметь только z-компоненту pz. Найдем ее.44ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧУчитывая, что при постояннойплотности заряда σ заряд малого участка пластины пропорционален егоплощади dq = σ dS , из (1.6) находим∫∫∫SSp = p z = z dq(r ) = z σ dS = lσ dS =z+++++++0 dq– – – – – –––xРис.1.24. Заряженный плоскийконденсатор (задача 1.3.27)l σS = lq .Интегрирование проводится только по верхней пластине, поскольку на нижней z = 0.Таким образом, плоский аксиально-симметричный заряженныйконденсатор на больших расстояниях от него эквивалентен диполюс моментом p = ql.

Напряженность поля диполя в произвольнойточке с полярными координатами (r, ϕ) была найдена в задаче1.3.23, откуда получаемE(r, ϕ) =pql3 cos 2 ϕ + 1 =3 cos 2 ϕ + 1 ,334πε 0 r4πε 0 rгде угол ϕ отсчитывается от оси Z. На больших расстояниях от конденсатора создаваемое им электрическое поле близко к полю то1чечного диполя и убывает по закону E(r) ∼ 3 .rqlОтвет: E(r, ϕ) =3 cos 2 ϕ + 1 .4πε 0 r 3Задачи типа 1.6Решение обратной задачи электростатики: по заданному значению напряженности электрического поля определить распределение зарядов, породившее это полеЕсли напряженность поля E(r) известна во всем пространстве,то распределение заряда, создающего это поле, находится по формуле (1.11).

Вычисление дивергенции выполняется по формуле(1.8). Для систем, обладающих сферической симметрией, используется выражение дивергенции в сферических координатах, в котором остается лишь одно слагаемое1 ∂ 2divA = 2(1.15)( r Ar ) ,r ∂rГл.1. Постоянное электрическое поле45где Ar – проекция вектора A на радиальное направление. В болеесложных случаях следует взять из справочника по математике полное выражение дивергенции в сферических или цилиндрическихкоординатах.Задача 1.3.28. Заряженный шар радиуса R создает в пространρ 3r стве поле, равное E = 0 r 1 − внутри шара (r < R) и3ε 0  4 R ρ0 R 3снаружи (при r > R). По какому закону распределен12ε 0 r 2заряд внутри шара?РешениеПоле обладает сферической симметрией, поэтому используемформулу (1.15).

Выполняя дифференцирование, находимρ rdivE = 0 1 −  внутри шара и div E = 0 во внешней области. Знаε0  R rчит, объемная плотность заряда внутри шара равна ρ = ρ 0 1 −  , а Rснаружи ρ = 0.rОтвет: ρвнутри = ρ 0 1 −  , ρвне = 0. RE=Задача 1.3.29. С какой объемной плотностью ρ следует распределить электрический заряд в шаре, чтобы поле внутри него быловезде направлено вдоль радиуса и имело одинаковую величину Е?РешениеСистема сферически симметрична, поэтому используем формулу (1.15). Напряженность в произвольной точке внутри шара запишем в векторном виде: Е = Ее, где е – единичный вектор, направленныйвдольрадиуса.Из(1.15)находим:1∂ 2 2EdivE = 2 E r =.r∂rrОтсюда получаем ответ: ρ = 2ε 0 E r .

Из физических соображений ясно, что создать такое поле невозможно (в центре шара объемная плотность заряда должна быть бесконечно большой). Отме-46ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧтим, что при этом полный заряд внутри любой малой сферы радиуса r, выделенной вокруг центра шара, будет конечным и равнымq(r) = 4πε0Er2, т.е. будет стремиться к нулю с уменьшением радиусавыбранной сферы.2ε 0 EОтвет: ρ =.r§1.4. Задачи для самостоятельного решения1.4.1. Два положительных заряда q1 и q2 находятся в точках срадиус-векторами r1 и r2.

Найти величину отрицательного заряда q3и радиус-вектор r3 точки, в которую его необходимо поместить,чтобы сила, действующая на каждый из этих трех зарядов, быларавна нулю.r q + r2 q1q1q2Ответ: q3 = −, r3 = 1 2.2q1 + q2q1 + q2()1.4.2. Три одинаковых одноименных заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q противоположного знака нужно поместить в центр этого треугольника, чтобырезультирующая сила, действующая на каждый заряд, была равнанулю?Ответ: Q =q.31.4.3. Тонкая непроводящая палочка длиной L = 0,08 м равномерно заряжена так, что её полный заряд равен q = 3,5·10–7 Кл. Какой точечный заряд Q нужно поместить на расстоянии d = 0,06 м отсередины палочки на её продолжении, чтобы на него действоваласила F = 0,12 H?4πε0  2 L2  d −  ≈ 7,6⋅10–8 Кл.Ответ: Q = Fq 4 1.4.4. Тонкое полукольцо радиуса R = 20 см заряжено равномерно зарядом q = 0,7 нКл.

Найти модуль вектора напряженностиэлектрического поля в центре кривизны этого полукольца.qОтвет: E = 2= 100 В/м.2π ε 0 R 2Гл.1. Постоянное электрическое поле471.4.5. Точечный заряд q находится в центре тонкого кольца радиуса R, по которому равномерно распределен заряд (–q). Найтимодуль вектора напряженности электрического поля на оси кольцав точке, отстоящей от центра кольца на расстоянии x >> R.3qR 2.Ответ: E =8πε0 x 41.4.6. Система состоит из тонкого заряженного проводящегокольца радиуса R и очень длинной нити, равномерно заряженной слинейной плотностью τ, расположенной на оси кольца так, чтоодин из её концов совпадает с центром кольца. Кольцо имеет зарядq. Найти силу взаимодействия кольца и нити.τqОтвет: F =.4πε 0 R1.4.7.

Из равномерно заряженной плоскости вырезали круг радиуса R и сдвинули его перпендикулярно плоскости на расстояниеL. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейсяна оси выреза посередине между кругом и плоскостью. Поверхностная плотность заряда на круге и плоскости одинаковая и равна σ.2L L  σ Ответ: E   =− 1.22 2  2ε0  L + 4 R1.4.8. Два длинных тонких провода расположенных параллельно на расстоянии d друг от друга, равномерно заряжены с линейнойплотностью +τ и (–τ) соответственно. Определить напряженностьэлектрического поля в точке, лежащей в плоскости симметрии нарасстоянии h от плоскости, в которой лежат провода.2τdОтвет: E =.πε 0 (4h 2 + d 2 )1.4.9. Шар радиуса R сферически симметрично заряжен пообъему зарядом Q так, что ρ(r) ~ r2. Определить напряженностьэлектрического поля в точках А и В, если rA = 0,5R, a rB = 2R.Ответ: EA =1 Q1 Q; EB =.24πε0 8R4πε 0 4R 21.4.10.

Имеются два сферических распределения зарядов с объёмными плотностями заряда +ρ и –ρ с центрами в точках О1 и О2,48ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧсдвинутых относительно друг друга на вектор а, такой, чтоa < │О1О2│< R), где R – радиус сфер. Найти напряженность электрического поля в пространстве перекрытия зарядов.ρОтвет: E =a.3ε 01.4.11.

Поверхностная плотность заряда на сфере радиуса R зависит от полярного угла ϑ как σ = σ0 cos ϑ, где σ0 – положительнаяпостоянная. Показать, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига друг относительно друга двухравномерно заряженных шаров радиуса R, заряды которых равныпо модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этимпредставлением, найти вектор напряженности электрического полявнутри данной сферы.σОтвет: E = − 0 k , где k – орт оси Z, от которой отсчитывает3ε 0ся угол ϑ. Поле внутри данной сферы однородно.1.4.12.

Найти вектор напряженности электрического поля вцентре шара радиуса R, объёмная плотность заряда которого ρ = ar,где а – постоянный вектор, а r – радиус-вектор, проведенный изцентра шара.R2Ответ: E = −a.6ε 01.4.13. Шар радиуса R имеет положительный заряд, объёмнаяплотность которого зависит от расстояния r до его центра по законуrρ = ρ 0 1 −  , где ρ0 – постоянная. Найти:Rа) модуль вектора напряженности электрического поля внутрии вне шара как функцию расстояния r;б) максимальное значение напряженности электрического поляEmax и соответствующее ему расстояние rm.ρ r  3r ρ R3Ответ: а) E = 0 1−  при r < R, E = 0 2 при r > R;3ε0  4R 12ε0 r49Гл.1.

Постоянное электрическое полеб) Еmax =ρ0 R2при r = rm = R..9ε031.4.14. Пространство заполнено электрическим зарядом с объёмной плотностью ρ = ρ0 e −αr , где ρ0 и α – положительные константы, а r – расстояние от центра данной системы. Найти модуль напряженности электрического поля как функцию r.ρ0Ответ: E =1 − e −αr .23ε 0 αr3(3)1.4.15. Поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими сферами с радиусами R1 = 5 см и R2 = 8 см.

Зарядысфер соответственно равны q1 = 2 нКл и q2 = –1 нКл. Определитьнапряженность электрического поля в точках, лежащих от центрасфер на расстоянии: 1) r1 = 3 см; 2) r2 = 6 см; 3) r3 =10 см.1 q1 + q 21 q1Ответ: E1 = 0; E2 == 5 кВ/м; E3 == 0,9 кВ/м.24πε 0 r24πε 0 r321.4.16. Пространство между двумя концентрическими сферамиαс R1 и R2 (R1 < R2) заряжено с объёмной плотностью заряда ρ = 2 .rНайти напряженность электрического поля во всём пространстве.Ответ:Е=0α  R1  1 − rr ε0r 2 α R2 − R1E=rε0 r 3E=при r < R1;при R1 < r < R2;при r > R2.1.4.17.

Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена неравномерно с поверхностной плотностьюσ = σ0 cosφ, где φ – угол цилиндрической системы координат, отсчитываемый от заданного радиуса (оси X) в плоскости перпендикулярного сечения цилиндра (рис.1.25).

Найти модуль и направлениевектора напряженности электрического поля на оси цилиндра Z.50ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧУказаниеxСпособ 1. Выделить на по+++верхности цилиндра узкие поло- + +++сы, параллельные оси Z, на кото- +ϕрых плотность заряда будет постоянна (см. рис.1.25). Для нахоdЕzждения электрического поля, ––создаваемого такой полосой на–––оси цилиндра, воспользоваться– ––результатом базовой задачи 1.3.3, Рис.1.25. Цилиндрическая поверхностьгде была найдена напряженность с неравномерно распределенным заряполя от бесконечного линейного дом (задача 1.4.17)заряда.Способ 2.