Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. - Электричество и магнетизм. Методика решения задач (1115540), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Постоянное электрическое полеE(r ) =14πε0∫r − r′dq(r′) ,3r − r′где dq(r′) = ρ(r′)dV′, σ(r′)dS′ или τ(r′)dl′ соответственно для каждогоиз указанных случаев.Электрический диполь – система двух разноименных по знаку и одинаковых по величине точечных зарядов, находящихся нанебольшом расстоянии один от другого. Вектор l, проведенный ототрицательного заряда к положительному, называется плечом диполя. Векторp = qlназывается электрическим моментом диполя.Напряженность поля, создаваемого диполем в точке, заданной радиус-вектором r, проведенным от центра диполя, (при условии l << r) приблизительно равнаE(r ) =14πε0 3(pr )r p r5 − r3 .(1.4)l→ 0 приведенная формула становится асимптотиrчески точной, а диполь называется точечным.Электрическим дипольным моментом системы N зарядовназывается векторВ пределеNp = ∑ qi ri ,(1.5)i =1где ri – радиус-вектор i-ого заряда.Если полный заряд системы равен нулю (электрически нейтральная система), то величина дипольного момента не зависит отвыбора начала системы отсчета, поэтому радиус-векторы ri можноотсчитывать от любой точки.
В таком случае на больших расстояниях от системы (намного больших ее собственных размеров), ееэлектрическое поле совпадает с полем точечного диполя (1.4).Для непрерывного распределения заряда дипольный момент системы определяется интеграломp = ∫ r dq (r ) ,(1.6)12ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧгде интегрирование происходит по всему распределению заряда, адифференциал заряда для объемных, поверхностных и линейныхзарядов имеет вид dq(r) = ρ(r)dV, σ(r)dS и τ(r)dl соответственно.Поток произвольного вектора А через поверхность S –поверхностный интегралФ = ∫ АdS ,(1.7)Sгде dS определяется как вектор, по модулю равный площади элементарной площадки dS на поверхности S и направленный по нормали к её плоскости.
Если поверхность замкнутая, то интеграл обозначается символом ∫ , а направление dS совпадает с направлениемвнешней нормали к поверхности в данной точке.Дивергенция вектора А – предел отношения потока вектора Ачерез бесконечно малую замкнутую поверхность, ограничивающуюбесконечно малый объем ∆V, к величине этого объема:∫ AdS .div A = lim∆ V →0 ∆VЕсли проекции вектора А в декартовой системе координат равныАх, Ау и Аz, то∂A ∂Ay ∂Az,(1.8)div A = (∇A) = x ++∂x∂y∂zгде часто используемый символический оператор ∇ (набла) – вектор, проекции которого на оси декартовой системы координат равны частным производным по соответствующим координатам:∂∂∂+ j +k ,∂x∂y∂zгде i, j, k – орты декартовых осей.Формула Гаусса – Остроградского связывает интеграл пообъему от дивергенции вектора с потоком этого вектора череззамкнутую поверхность S, ограничивающую объем V:∇=i∫ div A dV = ∫ AdS .V(1.9)SЭлектростатическая теорема Гаусса в интегральной форме(интегральная формулировка закона Кулона): поток вектора напряженности электростатического поля через любую замкнутую по-Гл.1.
Постоянное электрическое поле13верхность пропорционален суммарному заряду, находящемусявнутри объема, ограниченного этой поверхностьюq(1.10)∫ EdS = ε0 .SПоверхность S часто называют поверхностью Гаусса.Электростатическая теорема Гаусса в дифференциальнойформе (дифференциальная формулировка закона Кулона)ρ(1.11)div E = .ε0Градиент скалярной функции φ – вектор, проекции которогона оси декартовой системы координат равны частным производнымфункции φ по соответствующим координатам:∂ϕ∂ϕ∂ϕ.(1.12)grad ϕ = ∇ϕ = i+j+k∂x∂y∂zСила, действующая на точечный диполь в электростатическом поле∂E∂E∂E. (1.13)F = (p grad )E = (p ∇ )E = p x+ py+ pz∂x∂y∂zМомент сил, действующих на точечный диполь в электрическом полеM = [pE].(1.14)§1.2. Основные типы задач (классификация)1.1. Определение напряженности электрического поля заданного распределения точечных зарядов.1.2.
Определение напряженности электростатического поля,созданного зарядами, распределенными равномерно в произвольных конечных областях пространства с постоянными значениямилинейной плотности заряда (τ), поверхностной плотности заряда(σ) или объёмной плотности заряда (ρ).Обычно в задачах этого типа заряд равномерно распределен поконечным отрезкам нитей, кольцам, участкам цилиндрических исферических поверхностей.1.3. Определение напряженности электростатического поля отзарядов, распределение которых имеет плоскую, осевую (цилиндрическую) или центральную (сферическую) симметрию.14ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадачи этого типа легко решаются с помощью теоремы Гаусса.К ним относятся случаи, когда заряды распределены по бесконечным нитям с постоянной линейной плотностью τi, бесконечнымплоскостям с постоянной поверхностной плотностью σi или жесимметрично распределены по слоям, бесконечным цилиндрам илицилиндрическим слоям, а также по сферам, шарам и шаровым слоям.1.4.
Определение напряженности поля непрерывного неравномерного распределения заряда, когда плотность распределения заряда выражается какой либо функцией координат.1.5. Определение напряженности поля, в создании которогоучаствуют электрические диполи.1.6. Решение обратной задачи электростатики: по заданномузначению напряженности электрического поля определить распределение зарядов, породившее это поле.§1.3. Методы решения и примеры решения задачСначала сформулируем некоторые рекомендации, общие для всехзадач рассматриваемого раздела.Первый шаг в решении задачи: из анализа условий, определитьк какому типу относится данная задача.
Далее в зависимости от результатов анализа использовать методы решения, применяемые дляданного типа задач. Чтобы яснее представить себе изучаемую систему, следует выбрать наиболее удобную систему координат и изобразить эту систему схематически на рисунке, где отметить все характерные особенности системы. Необходимо проанализироватьсвойства симметрии, которыми обладает изучаемая система.Если постановка задачи ясна, то следует составить план подхода к решению. Поиск решения должен быть не хаотическим, а целенаправленным.
Начинать надо с обдумывания вопроса, поставленного в задаче. Возвращаясь к теоретическому материалу, следует определить, какие теоретические положения и формулы могутпомочь начать решение или сразу ответить на вопрос задачи. Ненадо бояться вводить в процессе решения величины, не заданные вусловии задачи. Если с помощью этих дополнительно введенныхвеличин усматривается план доведения решения до ответа, то далееследует поступить с введенными величинами так же, как с исходным вопросом; в конце решения все использованные промежуточные величины должны быть выражены через заданные в условии15Гл.1. Постоянное электрическое полезадачи параметры.
Только после этого следует последовательно записать все этапы решения, получить ответ и найти, если требуется,численное значение искомой величины. Перед выполнением численного расчета полезно проверить размерность полученной величины и правильность результатов, соответствующих различнымпредельным случаям.Еще один совет общего плана. Часто для решения задачи используется результат, полученный ранее при решении другой задачи. Поэтому сразу следует подумать: нет ли среди ранее решенныхи изученных задач полезных сведений и выводов для данной новойзадачи, нельзя ли использовать результат или метод решения какойлибо ранее рассмотренной задачи.
Те задачи, решения которых ввиде конечного результата наиболее часто используются при решении данного типа задач, будем называть базовыми задачами. Частоиспользование таких задач существенно облегчает поиск путей решения новой задачи.Отметим, что практически во всех случаях при решении используется принцип суперпозиции.Задачи типа 1.1Определение напряженности электрического поля заданногораспределения точечных зарядовМетод решения: использовать формулы (1.1) – (1.3) теоретического материала и принцип суперпозиции. С целью упрощениявычислений необходимо выбрать такую систему координат, котораясоответствует элементам симметрии, присутствующим в условиизадачи.yqЗадача 1.3.1.
ПоложительныйAточечный заряд 50 мкКл находитсяна плоскости ху в точке А с радиус0xвектором r0 = 2i + 3j, где i и j – ортыосей х и у. Найти модуль и направBление вектора напряженности электрического поля Е в точке В с радиEус-вектором r = 8i – 5j. Значения координат r0 и r даны в метрах.Рис. 1.1. К определению напряРешениеИспользуя численные данные,женности поля Е точечного заряда (задача 1.3.1).16ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧприведенные в условии задачи, рисуем схематическое изображениеизучаемой системы (рис.
1.1). Заряд находится в точке А с координатами х0 = 2 м, у0 = 3 м, а напряженность поля определяется в точке В с координатами х = 8 м, у = –5 м. Для применения формулы(1.3) находим расстояние d между точками А и В:d =(x − x0 )2 + ( y − y0 )2= 36 + 64 = 10 (м).Тогда модуль напряженности поля будет равенE=q 9 ⋅ 10 9 ⋅ 5 ⋅ 10 −5== 4,5 ( кВ/м) .4πε 0 d 21001Так как направление вектора Е совпадает с направлением от точкиА к точке В, то вектор Е можно представить в видеE = i E cosα + j E sinα,x − x0y − y0= 0,6 , sin α == −0,8 ; Окончательно полуdd(x − x0 )i + ( y − y0 ) j = (2,7 i – 3,6 j) (кВ/м).qчаем E =4πε0 [( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 ]3 / 2где cos α =Ответ: Е = 4,5 кВ/м, Е = (2,7 i – 3,6 j) кВ/м.Задача 1.3.2.
В вершинах квадрата с диагональю 2h находятсяточечные заряды +q и –q, как показано на рис. 1.2. Найти модульвектора напряженности электрического поля в точке, расположенной на расстоянии х от плоскости квадрата и равноудалённой от еговершин.РешениеПоместим начало координат в центреквадрата. Ось X проведем перпендикулярно плоскости квадрата, а ось Y – параллельно сторонам, соединяющим заряды +qи –q (рис. 1.3).В точке А, отстоящей от плоскостиквадрата на расстоянии х, вектор напряженности поля Е будет равен векторнойсумме четырех напряженностей, создаваемых точечными зарядами (на рисунке по-+q–q2h+q–qРис.1.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
