В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем, страница 7

е. Но период полного колебания Т равен (7.3) Обращая полученну>о формулу, найдем — З(П (~> (( — (с? + Сс) ( 2нр >лс>х Отсюда видно, что точка совершает гармонические колебания с периодом Т=2я?с>, и(? !>(х/ рис, а.з Ряс, 2.3 Период колебаний Т можно найти непосредственно пз (3.3), не отыскивая закон движения. Точки остановки в случае гар- монического осциллятора хпс= +.

(), поэтому л 4 Г' сх 4 . 2я Т= — ~ . = — агсгйп! =- —, с> Л )уй' — хх с> с> ЗД. КА'! ЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВЛНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ ТОЧЕК ОСТАНОВКИ (9.3) ~~ а ~х сх (10,3) 40 Рассмотрим дви>ке>п>с частицы, энергия которой равна Ес вблизи точки х, (рис. 3.3), т. е. считаем, что хс — х,«х, и х — х~<<хп Разложим У(!) в ряд Тейлора в окрестности точки хп ограничиваясь членом первого порядка малости по разности х — х,: (>' (х) = У (.к>) + — ~ (х — х>) = У (х>) — г" (х — х,). сх !х=к, Подставляя (9.3) в формулу (6.3), получим Обращая (10,3), найдем Г и 1Гх — х1 — 1Гхь х1.= ~ ~Г (' з)' (11.3) $' 2т Очевидно, знак + в правой части (11.3) нужно поставить, если ха)0, а знак —, если ха<0.

Пусть ха — — ха т. е. частица н на- чальный момент времеви 1в находится в точке остановки. Тогда закон движения вблизи х, имеет вид Х(1) — 23 ==. — (Г-Гь)', 2и (12.3) и" (х У(х) =Е,+ "'1 (х — х,)', 2 (1 3.3) так.как Г)„,,=0. Поскольку в точке х~ У(х) имеет максимум, то У" (х,) (О. Из (5,3) с учетом (13,3) получим 4! т.

е. частица движется с постоянным ускорением, что и долигно быть, так как движение происходит под действием постоянной силы. Напомним, что формула (12.3) — приближенная; ее точность убывает. при удалении от хь Срашшм отрезки времени, которые затрачивает частица па прохождение малого отрезка пути з вблизи и вдали от точки остановки хь Из (12.3) следует, что сслн отрезок пути з примыкает к точке остановки, то для его ~~рохоигдення необходимо затратить отрезок времени й(- 1/ 2'" з, т, е.

б1-зы'. Малый отрезок путизвдалиот $' Р точки остановки частица проходит за время Ы-з, так как в атом случае можно считать силу Е равной пу4но, а движение н(„1 равномерным. Таким образом, вблизи точки остановки частица га затрачивает большее время иа прохождение малого отрезка пути з, чем вдали от иес. Это ! вполне естественно, так как скорость частицы вблизи точки ос- ! тановкн стремится к иулкь 1оассмотрпм теперь движе- м ние частицы с знергией Еа в окрестности точки х1 (рис. 4.3), Рвс. 4.3 г. е, вблизи максимума потепциалынзго барьера. Как и ранее, раскладываем У(х) в окрестности хь Теперь, однако, Г и !.,! ! —.,!' кт 2 к а,) х — хг а хн лг (1!.3,' l — и" (кй где а=-'~/ — >б Из (14,3) ггаходим закон движения частицы и виде х(!) — х, =(л;,— х,)еааи — ' г, (15,3) Знак в показателе экспоненты определяется направлением ско.

рости частицы в начальный момент врсмспп !н и точке хн, так нак х(н) =к- а(хн хг) (13.3) Поэтому закон движения частицы в окрестшгсти точки х, при приблн>кении к ней х(!) = х„+ (х,— хл) е-" и-'г, (!7.3) прп удалении от х х(г)=х,+(л; — х,) сан — '«г. (18.3) — +и(х)=Е( — ) 2 (! 9.3) Мы видим, что для прохождения участка пути до точки остановки хь находящейся в точке максимума потенциального барьера, частице необходимо бесконечно болшпой отрезок времени, т.

е. частица могкет приблизиться к хг лишь асимптотнчески. Некоторые интересные замечания о решеппяк можно сделать, опираясь на полученные выше результаты о характере движения частицы в окрестности точек остановок, в которых потенциальная энергия частицы имеет маскпмум. Будем считать, что максимумы потенциальной энергии ио всех точках остановок одинаковы. Это так называемый вырожденный Случай. Рассмотрим движение частицы в полях У(х), графики которых изображены на рис.

5,3, а, б. Для дальнейшего удобно полагать М= — на, т. е. считать, что начальный момент времени бесконечно удален в прошлое. Рассмотрим движение частицы в поле 0(х), изобра>кенном на рис. 5.3,а, полагая х( — ос) хг, х( но)=О. Из ураваения движения лгх= — — и первого гги ах интеграла (палной энергии) С учетом на шльнык условий следует, что Е( — сс) =О, так как х( — ос) =0 и (/(х~) =О. Зададимся вопросом: каков нпд решений уравнения двпжсппя, удовлетворяющего условиям х( — со) =х(сс) =х,? Возможно лп нетривиальное движение„ удовлетворяющее этим шгчальпым условпямг Очевидно, пот. Действительно.

Если частица сдвинется (случайно) с точки х=х, в любом направлении, то назад опа пе возвратятся. Ее кинетическая энергия никогда пс будет равна пулю, так как Ез=О и Ез>(/(х) прп снобом хэьхо Следовательно, частица нн» 'т"~ а Рис. о.з когда нс сможет остановиться и повернуть назад. Это видно пз рисунка 5,3,а, так как в таком поле прп Еа=0 пет другой точки остановки, кроме хь Итак, пе вдаваясь в детали поведения (/(х) и пе решая уравнение движения, можно прийти к заключенно, что если (/(х) имеет едипствснньш абсолютный максимум, то нетрпзиальпык возвращающихся п точку х( — со) (при х( — ос) 0) движений нет. Допуская>тся только тривиальные решения х(1)=х~ для всех й В случае поля (/(х), изображенного на рис.

5,3,6, движение может начпааться прп /= — сс с любой из точек х ь хь хз прн соответству>ощик начальных условняк, а при 1=ао частица должна приходить в люб)чо пз точек х „хь хз, Такое движение возможно. Например, частица может стартовать с вершины х, прн 1= — со и подойти к вершине х, аснмптотически при /=со. Илп же если прн 1= — сс х( — са) =хь то зто движение может иметь начало в точке хь а конец в хр (плп х ~). Процесс может идти в двух направлениях. Тем пе менее существуют только четыре нетривиальные возможности.

Например, не могут осуществляться циклические движения типа х ~-+х, ->х, или х г->-х> — >хз. Действительно, при х=х, обращаются в нуль (/(х~), (/'(х~), Следовательно, нз уравнений мх~ — = — (/ (х), ьчх== — (/' (х) 2 (30.3) видим, что х=х=О. Но вместе с ними д«х н т, д. Таким образом, все производные — ~ -=О. Частидг' р:=-.и ца, покинув вершину х „может только подойти к точке х, прн 1=со, где все производные движения исчезают. Опа пе может вернуться назад в точку х, или пройти далыпе к точке хм Резюмируя, можно сказать, что если У(х) имеет только сдинственпыи максимум, тогда есть только тривиальные (х(1) =х~) «возвращающиеся траектории», если У(х) имеет 1 вырожденных (т. е.

одинаковых по величине максимумов У(х,) = =У(хз) =- ... =.У(х,), то можно получить 2(1 — 1) типов решений, соединяющих при изменении 1 от — со до со любые два сосед- них максимума. При этом есть и тривиальные (пе зависящие от 1) решения. Рассмотренная чисто механическая задача в дальнейшем может оказаться полезной прн исследовании статических по- ,левых конфигураций в так называемой двумерной теории поля. В самом деле, статическое (т. е. не зависящее от времени) уравнение движения в этом случае имеет вид Ф" (а) =- —, ди дФ ' т.

е. оно аналогично уравнению 1-!ьютопа, в котором роль координаты х(1) играет полевая переменная Ф(а), а роль времени 1 — пространственная координата х, а У(х) = — У(Ф). Рассмотренным выше начальным условиям в теории поля соответствуют определенные граничные условия, а решениям х(1) соответствуют решения, описывающие некоторые полевые конфигурации Ф(г).

Среди этих решений при некоторых потенциалах У(Ф) будут решения с локализованной плотностью энергии поля Ф и с конечной полной энергией. Решения, зависящие ат времени, удовлетворяют уравнению поля 1 д""Ф д'Ф дУ с' д1«да~ дФ ' причем если полная энергия статических решений для некоторого заданного потенциала У(Ф) конечна, то соответствующие Ф(1, г) называются «уедипеннымн волнами». Глава 4 движкник в цкнтрдльном полк 4,1.

ОБ1цие злкономерности В центрально-симметрнчпом поле сила, действу>ощая на частицу, по абсол>отпой величине зависит только от )г): г= — — =— б>У Н1> ( 1 — (1.4) дг бг г и направлена в каждой точка вдоль радиуса-вектора г. Вьш>с было показано, что в центральном поле сохраняется момент импульса частицы относительно центра поля Е=Ео. Траектория частицы либо проходит через центр поля, если 1.с=О (так как тогда г)(г, (р=О, К,=О и, следовательно, траектория является прямой, проходящей через точку к=В к=О), либо лежит целиком в одной плоскости, проходящей через центр поля и перпендикулярной постоянному вектору ЕпФО. Действительно, так как Е=т(гг), (2.4) — + (/ (г) = Еп 2 и любые две проекции момента импульса Еп, Три первых интеграла К=ьс не явля>отса независимыми, поэтому мы берем (4,4) "~ Общее решение эедечи дппемнкн метсрпельноа точки дол>кис определнтьсп фуикннимп пндн (16.2), эпписнщпми от премспи и от шести пезспнснмых пронзпольных настоенных интстриропеиил, выбором которых мож.

по удоплетпорпть лгобым пзчпльпым условиям, то (Е г) =(Е г) =О. Учитывая, что й=Ьо, получим уравнение плоскости, в которой лежит траектория, в явном виде: (ь, .)=о. Ч~ (Э. 4) Как было показано в 2.3, общее рсшеппс динамической задачи должно зависеть от шести независимых постоянных интегрирования, которыми определяются шесть интегралов дан>кения (трн 11ервых и три вторых интеграла) ">. В качестве трех независимых первых интегралов движения можно выбрать полну>о энергию частицы>Л) только два ггз трех. Одним нз вторых интегралов движения является соотношение (3.4), так как оно нс содержит скоростей частицы и следует из уравнений движения. Направим ась Ог декартовой системы координат по вектору Ес и далее будем определять положение точки и плоскости орбиты полярными коардипатамп р н йг (рпс. 1А), В цплипдри- Рнс.