В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем, страница 10

17.4, график»ффсктнв. ной энергии дан на рис, !В.4, Рис, !т.4 Рнс. !ВА Эффсктивная энергия частицы имеет вид (а » 1'О = — при > )2, (У, "=- — И'»+— 2аг» 2»яг» прн г<Л, Поэтому в области г>)с траектория частицы определяется интегралом (16.4). Это прямая, отстоя!ива от центра поля на расстоянии Е Дг'2н»Е»м Из рис. 1В.4 видно, что если Е»<!.»/2н!»1» и г(1,)>Я, то траекторной частицы всегда будет прямая. Прн г<)1 и энергии, заключенной и интервале /» ).»а — 0 — У»<ЕО< — 0 2»!)(» 2»И1» тг~ Ез —:.:~,~ (у„— 2 " 2глги ' находим точку поворота: / Ео г ы= Ьа(Е +У~) Второй точкой поворота является точка Я. Для частицы с энергией †, — У, <Е < — точка Л представляет собой АР 2ай' непроницаемый барьер, от которого оиа отражается.

Между Рие 19А Рис. 20.4 двумя точкамп отражения частица движется по отрезку прямой (рис. 19.4) гпи и СО5 (е+ С) 1-1а сфере г=(1 происходит отражение частицы, так что ее ско- рость меняет направление па угол, равный с4=2~рм где Ыг — агссо —. згпя Я вЂ” (Еа ~. и. — —,', ) пип частица движется внутри сферы, испытывая отражения на границе при г Л. Скорость ~истицы постоянна к определяется нз вакопа сохранения механической энергии Записав его в ниде Условие замкнутости траектории гр=аср, нли т.а рп агса1п Й )У2т (И+(Га) Прп выполнении этого условия траекторией частицы является .замкнутая ломаная линия.

При Е~ — частица движется в нпфиннтной области. г.п 2тй~ Вне сферы радиуса Й частица движется по прямой )г 1.~~/2тЯ саэ (~р+ С) .а внутри сферы — также по прямой (рис, 20,4) т~).',~2 (и+ ц,) сак (~р + и) Следовательно, имеет место преломление траектории частицы на угол ~а гп агсюп — агса)ив и )' 2т (и+ ()е) Й М2тЫ Для определения угла преломления удобно выбрать С= — — ~ 2 Глава 5 СИСТЕМА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК, ЗАКОНЫ ИЗМЕНЕНИЯ И СОХРАНЕНИЯ ПОЛНОГО ИМПУЛЬСА, КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА И ЭНЕРГИИ ДЛЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЪ|Х ТОЧЕК з.!, полнын импульс систимы Будем предполагать, что иа систему нз А! материальных точек действуют внешние силы ГГ и что силы взавмодейстпня между точками системы подчиняются третьему закону Ньютона. Силы рз!!З!модействня между точками системы..нлльща!от внут)>сги!нмц, По предположению внутренние силы между двумя точками системы, скажем Ьн н )ьй, равны по величине, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, сосдиня!ошей эти точки: Гп= — Г», Гп= =(г; — г!) !.

Полагаем так>ко, что Гп=О. Запишем уравнения дни>кения !-й точки: р!=.Г!"'+~ Гл /-.! (1.5) н просуммируем (1.5) по всем точкам: и и и — „', ~,'р;=-~,'Г!"'+ ~ (Гл+Гц). !::! !=.! с,с-! 1 ! Определим полный импульс системы точек как сумму Р=~' рь (3.5) и Р=~ Г!"', Вектор Р можно запнсать и в другом виде: и Р=~~~р!- — — ''т!т! '=' =Мй. у с=! ! ! ~' сл! ! -! (4.5) (5 5) Учитывая, что второй член в правой части (2.5) равен пулю, получаем закон изменения полного импульса системы точек в виде Здесь мы ввели обозначения М= р' и, для полной массы си!=- ! стемы материальных точек и Х-л (6.5) и ~~ л!! 1=! (7.5) Систему называют замкнутой, плп изолированной, если па 'нее не действуют внешние силы: Г!" — — О, !.— ч), 2.....))).

Из (7.5) видим, что внутренние силы' ие оказывают алия!Пья на дан>кение центра масс замкнутой системы. Онн также же будут влиять на дан>кение центра масс системы, если впс!пппе силы не зависят от координат, т. е, являются однородпь!мп. Эти утверждения можно сформулировать в виде теоремы: Гели сумма внешних сил, действу!о!цих на систему частиц, ранна нулю, то полный импульс Р не изменяется ео время движения. Полный импульс есть трехмерный вектор*1. Поэтому осли проекция силы Г'" = — ~) Г';"' на какое-то направление раппа нулю, то сохраняется Рщ соответствующая проекция полного импульса системы точек. Пусть, например, (Г'"' п) О, тогда Рл=(Р п) =Рчо. з2. полныЙ (кинетический) мОмент ИМПУЛЬСА СИСТЕМЫ Под полным кинетическим моментом (моментом импульса) системы материальных точек понимается сумма л (г!р!]. 1-! '! А.

Эйнштейн определил 4-импульс механической системы рн, )1=0, 1, 2, 3, как величину, обладающую следующими свойствамп: !) р„— 4-вектор Лоренпа; 2) р, — величина адднтиаиая, т. с, для системы, состоящей на нескольких (скажем, О подсистем рн — — тч р .; 3) р„— сохрвпя1онипйси Ви! 1=-! 4-нектор тем же свойствам удовлетворяет трехмерный вектор р н трекмер. ном пространстве.

для радиуса-вектора цснтра масс (или центра инерции) системы. С учетом (6.5) уравнения (4.5) можно переписать в ниде МЙ =~ Г,'."', 1=! Найдем 1;. й. =',)" [г1р!)+ а)'„[г!р1) -.---'у' [гара "~)-1- ~ [г1рт1[. (8.5) 1й-1 Мы учли, что каждый вектор [г1р1) равен нулю, и использовали уравнения движения (1.5).

Преобразуем сумму и У [г!Г1Д == 1" [(г; — г1) Гт1) =- О. ! 1 !!!аьl 1В-':и!<1 здесь мы приняли во внимание, что рн= — Р11=(г! — г1) [([г!— — г1~). Поэтому У [.=М'"'=-Е [гар1"') (9.5) г=-1 ГдЕ 11=1 — СКОрОСтЬ цЕНтра МаСС системы частиц относительно (неподвижной) системы отсчета с цеиром О, г!' — скорость 1-й точки относнтельно системы отсчета, движущейся поступательно вместе с центром масс системы частиц. Последняя система отсчета называется системой центра масс.

Преобразуем )л 1.= у [г1р1) =') [г;р1)+ ~1~~' т1г!'~[+ 1 ! 1 1 1 +~(~' и!гг1! 7~+5 п11 [КЧ) =-1.'+[ЯР). 1 1 1 1 (10.5) 66 3 В. Р. Халилов, Г. Л. Чижов Произвоцнаи по времени кинетиа!еского момет!та равна цепному моменту внешних сил относительно данной точки. Теор е м а. Если полный момент внеи!них сил (проекции ни какое-либо направление), действующих на систему материальных точек, равен нул1о, то полны!! кинетический момент (соочвечттвующая его проекция) остается неизменным во времени, Подчеркнем, гто по предположена!о внутренние силы, действующие в системе, подчлнл1отсн третьему закону Ньютона. Получим удобное представление полного кинетического момента системы частиц относительно точки О (рис. 1.5), Согласно правялу сложения векторов имеем а г! — — г1+ Й, г! = г1+ У, Б.З, ПОЛНАЯ МНХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЪ|Х ТОЧЕК Умпожим скалярпо (1.5) на |(г! и просуммируем результат по всем топ!ам системы: ~' (т,г, с(г!) = ~ (РГ г(г!)+ ~ (Р,! |(г!).

(11.5) |=.! |=! |И вЂ”. ! Слева стоит дифференциал кинетической энергии системы точек г)т=г(~' — '' =~ ! ~ги! — "' дг;) =~~|~~(т|г! |(г,), |(!2.5) !=! |:=! Кинетическую энергию и Т вЂ” -~ 2 (13.5) |=-! используя систему отсчета с началом в центре масс (будем называть ее ЦСО), удобно представить в виде Т =~ — (г|+Ч) = — ~т;г! + Х-1 т! " , 1 Ъ-| 11 2 2 |=! МУ!, МУ! + (Ч ~|~ ~т|г,)~+ — =Т'+ —, 2 2 (14.5) !.= ! и и Мы учли, что у т;г,'=т т,г;=:О, так как начало движущей|=! |=! ся системы отсчета совпадает с центром масс системы частиц и, значит, радиус-вектор центра масс в этой системе отсчета и Й' = ~ т|г,'./М равен нулю. |=! Таким образом, полный кинетический момент равен сумме кинетического момента, возникающего вследствие движении этой системы материальных точек относительно центра масс и момента импульса в предположении, что вся масса системы материалы|ых точек сосредоточена в центре масс.

Подчеркнем, что Е зависит от выбора точки О, так как в Е явно входит 1с. Только в том случае, когда центр масс неподвижен относительно 0 (тогда Р=О), кинетический момент не зависит от выбора этой точки и 1. сводится к Е'. Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме ьншстнческой энергии системы частиц н их днижепип относительно ЦСО и кинетической энергии и предположении, что ноя масса системы точек сосредоточена в центре масс. Предпологкпм, что внешние и внутренние силы потенциальны н конссовативны*>. Тогда выражение . ч (Г)"' с(г,) = — ~ ( — (7'"(г„..., г ) с(г,) =- — Жl'" ~~)Ч екг 1~ 1 ( д сх ех а. .а 1 ~ дг> является полным дифференциалом скалярной функции (7зх, оченндпо имеющей смысл потенциальной энергии системы частиц во вне>пнем поле.

Если, кроме того, Гн удовлетворяют третьему закону Ньютона, то онп могут быть построены с помощью некоторой функции Гн=)гм(~г,— г>)) (15.5) как д д Гл= — — )ги Гц=- — — ь'и дгг дг> (1б.б) Учитывая, что Гн= — Гн и Гн=(г; — г>)1= — гн), где 1 — скалярная функция аргумента гн, преобразуем двойную сумму; Е(Гл аг)= Е ((Гл аг)+(Ги (г>и= 1н=ч гл- ш~/ (Г''""") ~3 ~~ 1'и' "гц) = 2 ~ дгц ) 2 ,7 1 Н1=-1Н(> г,у-1 Е>-.пгчь! (!7.5) Здесь мы использовали очевидное соотношение д, д Гл= — — )ты= — ' )го. дг> д (г> — г>) Коэф<)>ициент 1/2 появился в (17.5), так как прн суммировании по й 1 каждый индекс данной пары появляется дважды: прп суммировании по 1 и по 1'. 67 м Састемы, в которых действующие на матервальные точки силы потенциальны и ис зависят явно от времени, взвывают консервативными, Так.

жс называют и силы. Потенциальная энергия консервативной системы зависит только от коордиаат точек системы, а полная механическая энергия сох ра настоя, М<к видим, что можно оирсдслить пптсиииальиуто зисргце системы точек как н и--и'"'-! — ' (~' Р„, Я вяю 1, ~Ф! и если шгсшиис и ииутрсииис силы коиссриотиииы. то. собирая исе члены вместе, получим <(Т вЂ” <К/, И(Т; 0) О, Е Т ! (> Е, ((б,б) Эти ра<и истиц выражая>т <ч>бой <икон вохра<ниии иолиой м<кк. наческой эиерьчш сост<мы ми<<рикки иых гочсл )(и их опи>иа мож!ш сформулиропать тсорсму: !)<шинн м<хининггкин мнгргил хонссрнитннной сигт<м!>! мит<р<н<.<ннь!с <пвгн т цнк<енн<тгн во ирснн <)нижснин. Кратка рассмотрим об<цпй слу и<й, к<иди ице<ииис силы яиио заиисит пт ирсмсии и и <истсмс точск дсш <иушт дигсииитцциыв силы.