В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем, страница 5

г„+ д, 1' = 1. Очевидно, это преобразованне можно осуществить,илисмещая начало системы 5 на вектор б (преобразование системы отсчета), нлн перенося каждую материальную точку нашей механн- зб ческой системы в точки пространства, отстоящие от прежних на постоянный вектор д. Согласно (3.2) н (8.2) механические процессы при этом будут протекать одинаковым образом. Это означает, что н пространстве нет выделенных точек, а значит оно однородно. 2, Пусть г„'=г„, 1'=1+с.

Форм-ипвариантцость уравнений (3.2) относительно этого преобразования (переносе начала отсчета всех часов) означает, что все моменты времени равноправны (еслп изображать эти моменты па осн времени), т. е. од>ш и тот жс механический процесс при одинаковых начальных условиях будет протекать одинаково независимо от начального момента 1а. 3, Пусть г„' (А)г,„, 1' 1. Нетрудно понять, что ипвариантность уравнений Ньютона относительно этих преобразований доказьп>аст отсутствие выделенных направлений в прострапст" ве, т, е, его изотроппость. Итак, на основании механических уравнений можно дать пекоторыс заключения о свойствах пространстна н времени; однородности и изотроппости пространства, однородности времени.

4. Пусть г„'=г +Ч1, 1'=1. Если смотреть па эти преобразования как на точечпыс, то согласно данному вь>п>с определению эти преобразования характеризуют персход из о>щей ИСО к другой ИСО. Нелишне подчсркпуть, что в уравнения (8.2) пе входит вектор Ч, который согласно (4.2) является вектором скорости системы 5 относительно 3'. Это означает, что, но-первых, механические процессы в разных ИСО протекают одинаково, и, во-вторых, наблюдая механические процессы, мы пе сможем сказать, находимся мы н пеподвп>кпой илн в движущейся с постоянной скоростью Ч системе отсчета. Из этих преобразований также следует, что расстояния между любыми точками щзлнются ипвариаитными для всех ИСО, т. е. (г„' — а)' = (г — «)', т, с.

пространство енклидово во всех ИСО, П р и м с р. Кинематичсская чзадача преследова пня» в дви>кущейся системе отсчета. В плоскости хОу движутся дне точки с постояппыми по модулю скоростями, прячем ч~=(о,О), а вектор та все время направлен на точку 1, Найти траекторию точки 2 в системе осей х111, движущихся вместе с точкой 1 (рис. 1.2), и интервал времени Т, через который произойдет встреча, считая, >то ~т>(=2о и что при 1=- а =10=0 г> (0) = (О, 11), гз (0) = (О, 0) . В (движущейся) системе отсчета х1д введем полярные коор дипаты точки 2 г, ф согласно Х= — г сов ф, У= — ге(п ср. Кинематическос условие Хг--аз соз гр — оь )г.=-.оз з)п г(ь С другой стороны, Х= — г сов ф+лрз)пгр, 'гх = — г 2(и гр — ггр соз гр, Поэтому г соз ф — ггз Ип гр и, сазф гз1пф+гфсозф озмпф з1пф Переходя в атом равенстве к дифференцнровапн1о по ф, полу- чим Разделяя переменные с, г1г ! 1 а, сазф 1 гз Мпф н интегрируя, получаем — "' (1ПГ+С)=!П ге ф — — '!ПЗ)нгр.

аз 2 сз Определив константу С нз условия, что при ф = — г=-Н, 2 находим уравнение траектории в полярных координатах в системе х1у и ~ — ) =~(д ф )~((з(пгр)"'. Если )оз( =2о, 1в )=-о, то г=1т: (1+ соз ф)' Для нахождения интервала времени Т воспользуемся равенством гз+ гзфз = оз + о1 — 2озо„соз ф = (5 — 4 соз ф) аз 2 2 н учтем, что а' 2 г= — ср= — (2 — соз гр) ф. аф з1п и Из последних двух соотношений получим и (р -=- ~ о, ( 1 + саз ~р) ~ — (Р Ро) йр (>+ созе)' и Интеграл слева с помощью замены переменной х=1й — приз 'Р 2 водится к виду — — ~ (х'+ 1) дх, о Учитывая, что <р(~,) =- —, а гр(>) =-.О, найдем 2 ' ЬŠ—.=. — —.

г и 3 в 2.3. прямЛя и ОинлтнАя (Основнля) ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ х Второй закон 1-1ьютопа (2.2), или, что то же. самос, векторное уравненне движения, представляет собой три" дифференциальных уравнения второго порядка по времени. Иапример, проектируя обе части на (2.2) на осн декартовой системы координат, получим П2х = Р, тУ ==Рр, (9,2) >па =)>~. Различают две задачи динамики: 1) по заданному закону движения точки, т.

е. по известному как функция 1 векторному соотношенн>о г=г(г) находят силу Г, действующую на точку; это прямая задача динамики; 2) по заданной силе Г находят закон движения точки г((); это обратная (основная) задача динамики. Поговорим об основной задаче динамики более подробно. Для ее решения недостаточно знать только силу. Следует задать также мехапнческое состояние в некоторый момент времени 1а, т.

е, начальные условия г(1а)=го, г(1,)=гь Механическое состояние гочки в момент 1 (т. е. «(() и г(г)) однозначно определяется ее начальным механическим состоянием н условиями се движения (уравнениями движения). Это следует из однозначности н единственности решения дифференциальных. 29 уравнений (2.2), удовлетворшощих данным начальным условиям.

Сформулированное предложение о предсказуемости эволюции механической системы во времени при зада!шых начальном состоянии и условиях движения называется принципом механической причинности, или принципом механического детерминизма. Вго суть наиболее точно и полно выразил Лаплас: «Разумное существо, которос в каждый момент знало бы все движущие силы природы и имело бы полную картину состояния, в котором природа находится, могло бы (сели бы только его ум был в состоянии проанализировать эти данные) выразить одним урапнепнем как движение мельчайших атомов, так и движенис самых больших тел мира. Ничто ис осталось бы для него неизвестным, и оно могло бы обозреть одним взглядом как будущее, так и прошлое», т.

е, по начальным состояниям и взаимодействиям состояние системы в любой момент времени в будущем определялось бы однозначно. Со времен Лапласа пояаилнсь новые важные иден. Вот одна из них. Хотя уравнения, описывающие эвол!опию механической системы во времени, вполне детерминированы, ее развитие во времени может различаться своими маршрутами, Вто связано с чувствительностью иекоторь!х систем к начальным уело!и!Ям, а точпсс, к даже малому изменению начального состояния. В классической динамике в качестве примера можно привести шарик, падающий па острие лезвия бритвы, траектория которого после соприкосновения существенно зависит от положения шарика относительно острия в момент времени г перед тем, как он касается лезвия. Решение уравнения (2.2), которое удовлетворяет какому- либо конкретному'начальному условию, называют частным решением. Более важно найти решение, удовлетворя!ощес произвольным условиям; это так называемое общее решение.

2.4. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ В теории дифференциальных уравнений есть понятие первых интегралов. Первыми интегралами уравнений .движения (9.2) будем называть такие функции Г;(х, у, г, х, у!', 4) координат, скоростей и времени, которые обращаются в постоянные С, в силу этой системы дифференциальных ураппейи!! !!(х, у, г, х, у, г, !)=.С;, у=-), 2, 3. (20,2) 'Это означает, что система (9.2] может быть сведена к эквивалентной (Н 2) Условие функциональной независимости трех первых интегралов (рассматриваемых как функции скоростей) записывает- '30 ся в виде неравенства нулю (функционального) определителя Якоби д/1/дх д/з/дх доз/дх д/,/ду д~,/ду д/„,/ду дЯдг д/,/дг д~з/дг (12,2) Если (12,2) выполнено, то три первых интеграла движения бу-.

дут независимыми в смысле разрешимости системы конечных уравнений (10,2) относительно х, у, г. Условие (12,2) является необходимым н достаточным условвем независимости первых интегралов дннжспия. Далее, система (!0.2) представляет собой систему дифференциальных уравнений 1-го порядка. Предположим, что мы свели ее к эквивалентной системе уравнений — Ф,(х, у, г, См См Сз, 1) — — О, ч' (13.2) т. с, мы нашли Фс такис, что Ф;(х, у, г, /, С„С,„Са)=-Со / — — 1, 2, 3.

(14.2), Ф; называют вторыми интегралами движения. Опи являются иезависимымн, если уравнения (14.2) разрешимы относительно координат х, у, г. Условие независимости — неравенство нулю фупкцноналыюго определителя дФ,/дх дФз/дх дФа/дх дФ,/ду дФ.,/ду дФз/ду дФ,/дг д<?>.,/дг дФз/дг Йе1 ~ — ' ~:== Ф О. (15,2), Решение системы (14,2) прсдставляетси в виде (16.2) Найденные таким образом функции (16.2), являющиеся решениями системы уравнений (9.2) и содержащие шесть произвольных постоянных интегрирования, называют общим решением, так как, придавая определенные значения постоянным Сь Сь можно получить функциа (10.2) при любых начальных условиях. Выражение постоянных Сь С; через начальные значения хо ую, го, хо, уо, г, проводится элементарно в два приема. ц Из системы (10.2) при / /, имеем /~(хм ум гм хм ум гм О) Сь (17.2) х «(/ См См См С1 у-.=:у(/, с,, с„с„с„, г=г(/, с„с,, са, с„ с„с„), с, с), с„Сз). 2.

Подставляя в систему (14.2), взятую при 1=1м С~ в (17.2), находим С~ — — Фю(хм рм г„, 1„С,(1„), Се(1,), С,Я), 1=1, 2, 3. (183 'Найти общее решение уравнений дан>кения — зто значит пол ;постыл решить обратную задачу динамики, П р и и е р. Найти общее решение векторного уравиеняя дви аиения (1.2), если сила зависит только от времени г=Г(1). Интегрируя (1.2) один раз, получаем три первых пезависи. мых интеграла движения г — — 1 г (г')Ф'=С, и,) где постоянный вектор С вЂ” зто начальная скорость г(1а)=та .Интегрируя последнее уравнение, получаем три независимых вторых интеграла движения 1' я — — '~Ж 1а"Г(1") — С(1 — 1,)=С, м,~ ь .Здесь С=ге Общее решение имеет вид г= 1 1а габт"Р (1")+та(1 — ГО)+;.

П ример, Пусть проекции силы в уравнениях (9.2) зависят только от соответствующих координат. Найти все первые инте;гралгя двигкения в атом случае и общее решение (в квадратурах). Введем обозначения х,=х, х,=д, ха=а. Тогда (9.2) можно переписать в виде тх;=Г;(х~). Последние уравнения, очевидно, .имеют три первых интеграла ехз к ~;= — — ' — ~Р;(х,') Их, '=С„1=1, 2, 3. 2 Откуда находим — — (С, + ~Г;(х,')Нх',) = ~В(х,). йх~ ~ 2 хм Знак перед корнем нужно выбирать в соответствии с начальным состоянием. Разделяя переменные и интегрируя, найдем 1 1~( Ю, ,) В(х~) "м 2.6. ИМПУЛЬС, МОМЕНТ ИМПУЛЬСА.