В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем, страница 3

Опи оказываются полезными прн исследовании различных случаев движения матсриалырой точки в центрально-симметричном силовом поле, П р и и с р. Траектории точек являются плоскпмп н опреде. ля!отса уравнениями а) Р = , б) Р -= 1+асоа (ф — <ра) ' 1+ а' сост (<р — (ра) р — параметр, з — эксцентрнситст эллипса, секторная скорость оа, Начало цилиндрических координат помещено в фокусе эллипса. Определить ускорения точек. Прежде всего заметим, что траектории точек разли шп. Так, в случае а) точка движется по эллипсу (рнс. 3.1,а), в то время как в случае б) траектория не обязательно является замкнутой кривой (рис, 3,1, б) н может представлять собой розетку, По второй формуле Бине, дважды дифференцируя р — ' по ф, находим — ( — ) = — — — и вр — — — 4о'/рр' в случае а), а —, ( — ~ =- — — соз (ф — фа) у = у' ( — — — ~ и ма == — —, >< Х ~ — + — ~ в случае б).

Р Р / Отличие в ускорениях точек согласно уравнениям двиикенно1 потт=Г означает, что действующие на точки в слуоаях а) и б) снлы имеют разные законы убывания с расстоянием от ыоптрп А силы до точка. В частности, в случае б) сила Р ° па ( —, + — ~. Если рсчь идет о движении планет в гравитационном в ро поле Солнца, то мы видим, что в случае б) перигелий планеты при каждом обороте смещается па величину Лйо 2н/у, гл' у Рас. 3,1 Пример. Определение радиуса-вектора точка по скоростн Определить закон движения, траекторию н ускорение точки, движущейся по плоской траектории с постоянной секторной скоростью, если (о!= — ", где р — расстояние от точки до неооРо Р которого центра, ро=р(0), со=!о(0) (, причем угол менгду векторами г(0) и ч(0) равен а ( 0 - а < — ), 2 / Направим полярную ось от центра к точке так, чтобы орп 1=0 ор(0)=0, ~огда ро~р=2о,=роооз!пи, о= '~', а оа=рв+ 2р ° о оа Рооо оеа а ооро ер +Р ф =Ро+, = —,.

Отсюда — =+ — '"' спасо, тнк Р Р' Й Р как если 0(а( —, то р,- О. Разделяя переменные рдрс ооросозааг и интегрируя, получим ро — =о,р,соза1+ — о ро=рз (1 + — ') Далее найдем ор: Йф ао о|п а 1Б Отссода 2 ( Ро илн сР (йо(п ь' р Р очного Ра Усссоренне точки найдем по формуле Бине Роро о чг = — — ир. РВ Е4.

ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ (23.1) (24.1) и,'=1, 1п,( =1. Дифференцируя (24.1) по з, получим 2 (ит — ') = О, откуда следует, что вектор — ортогонален вектору сСп,с ссо рис. 4.1). Но — '=1пп '( + ') ' = Дгп — ', Из л. о Ьз л о ло видно, что (25.1) и„(см. рисунка ~ — цгсс ~ вт ~ цщ, Рассмотрим в качестве аргумента радиуса- вектора точки длину дуги траектории з, отсчитывая ее от начальной точки, соответствующей моменту времени 1=1о, в направлении движения точки. Сама длина дуги задается, таким образом, как функция времени. Движение точки описывается векторной и скалярной фуисциямн: г = г (з), з = з (1).

(22. 1) Описание вполне однозначно: каждому 1 соотвстствуст только одно определенное значение з, так как з является монотонно возрастающей (положительной) функцией й Векторная функция г(л) позволяет определить в каждой точке траектория так называемые естественные координаты, орты которых образуют естественный трехгранник, Построим эти сСг I ах ссу ссг с орты.

Касательный вектор и, (з) = — = ( —, —, — ~ в дан- У '1У' У' л,) пой точке траектории, очевидно, является единичным вектором, так как ~с(г)=с(з+0(с(з'), где с(з — элемент дуги, с(г — приращение радиуса-вектора, т, е. стягивающая с(э хорда. Поэтому имеем так как п,— единичный вектор. Представим вектор — — в анде ппт сз — т.=! — '~и.=Рг,(з) п, пз 1 нз (26,1) где и — единичный вектор, направление которого совпадает с вектором г(и„а функция Й~(з)=г(аИз называется кривизной кривой в данной точке. Вектор п(з) называется вектором главной нормали, а угол Ьа, равный углу между двумя соссдпимн касательными к траектории, называется углом смсжност~, Кривизна характеризует меру отклонения кривой от прямой в данной точке.

Через векторы и, и и проведем плоскость, которую назовем соприкасающейся плоскостью. В этой плоскости в направлении вектора и отложим отрезок длины (х(з)=1/й,(з) (рнс. 4.1). Вслн теперь в соприкасающейся плоскости построить В пг(зу Рпс. БЛ Рис, 4.1 из =1пти1, (27.1) ь~ Понятно касания просто дать на языке множсств пусть М и т— два множества с обшей точкой О.

Множество М имеет в т в точке 0 каеааие порядка тъй если где а(Х) — расстояние точки Х миох<ества М от т: окружность радиуса Я(з) с центром в точке С, то она будет иметь касание второго порядка с траекторией а> в точке В. Эту окружность пазывасот кругом кривизны, а ее раднус — радиусом кривизны. Третий единичный орт построим с помощью векторного произведения и, и и; —" = й, (з) п. пь (30.1) Здесь йь(з)= — —, называют кручением кривой, а Т(з) 1 Т (ь) радиусом кручения кривой в некоторой точке кривой. Так как и — единичный вектор, то (31.1) где Ь~р — угол между двумя соседними бинормалямн.

Из (30.1) видно, что если Аь(з)=0 всюду, то бинормаль пе меняет своего направления, а кривая является плоской. Иными словами, кру- Это вектор бипормалп. Векторы п„п, пь, очевидно, образуют правую тройку взаимно ортогональных векторов, которыми определяются направления естественных (натуральных) коор- динатных осей в том месте траектории, где в данный момент времени находится движущаяся точка (рис.

5.1). Проскцнн векторов и и пь на декартовы оси имеют вид п=Я(х", у", г'), пь-— -Й(у'г" — г'у")п,+ +Я(г'х" — х'г") п„+Я(х'у' — у'х ) и„, где Я— 1 1 — . пьр» ю.«р.- *" ~- и'.~ *' пь изнодную по з. Парами векторов определяются плоскости: соприкасающая- ся (п„п), нормальная (п, пь) и спрямляющая (пь, п,). Эти плоскости образуют так называемый естественный трехгранник Фрепе. Изучение изменения направления касательного вектора и, привело нас к понятшо кривизны кривой. Новос понятие можно ввести, если рассмотреть изменение направления соприкасаю- щейся плоскости нли, что то жс самос, бинормалн.

Так мы при- ходам к понятию кручения кривой. Лля этого найдем паь и' 1' пп — = — 1п,п) =- ~ и, — ~. нь ' ~' ь С другой стороны, так как пь'=1, то ( '"'= пь — ь) =О, (29.1) пь поэтому из (28.1), (29,1) заключаем, что — ортогонален векппь пь торам п, и пь. ппь Следовательно, — коллинеарен с п: пь чение является мерой отклонения кривой от плоской кривой. Нетрудно показать, что Т является псевдоскаляром, Найдем —. Так как п=(лепт), то пп оз где мы учли (26,1) н (30.1), а также соотношения !пп,) = — ль, !льп)= — л,.

Следовательно, единичные векторы естественных ко- ординатных осей изменяются вдоль траектории согласно фор- мулам Ыпт п оп бз И ' аз "' + ", пь =- — — ". (33.1) Л т' бз т' Это формулы Френа. Найдем теперь проекции скорости и ускорения па осн естественных координат: Йе ч=г= — з= — зп„ бз (34.1) ту=г= — зп,=зп,+з' — '=-зла+ ь и. (33.1) Мы видим, что проекция скорости нз кзсательпую к траектории равна аз о,=(г п,) =з. Вектор ускорения имеет две проекции: проекцию на касательную, равную и'= — д, и проекцию на главную нормаль оз/Й, где Я вЂ” радиус кривизны в рассматриваемой точке. Заметим, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости: его проекция на бинормаль всегда равна нулю.

В заключение приведем без вывода формулу для кручения кривой. Ее нетрудна получить, умножая скалярно правую н лепуьо части (30.1) иа вектор и. После несложных преобразований получим йз (з) = — 1ха (г' (г"г"')), '~ Скааяриос произведение векторов а и Ь мы обозначаем как (а Ь) или просто а Ь, векторное произведение двух векторов а н Ь обозначается (аЬ]. откуда видно, что Ц(з) является псевдоскалярной величиной, так как Аз(з) пропорциональна скалярному произведению поля)злого вектора г' н акснального (псевдовектора) вектора (г, гпм1. Упражнения 1, Показать, что если й~ (з) =О, то кривая есть прямая, Так как /г,(з) †.

О, то †"' = 0 и и, = с„ причем с„ †постояи- Й чг иый вектор. Значит, — = с„г = с,з+ сп а это есть уравнение ч8 прямой. 2. Показать, что если А,(з)=0, то кривая является плоской. Из условия /г,,(з)=0 следует, что — =О, пь=-с. Заметим, йпь ~Ь что ~с| =-1, а — ортогонален пм Так как пь ортогонален п„, Ывь чг "го (пь п,)=0, т. е. ~с — ) =-О.

Отсюда, интегрируя, получим чг т (Й (с г)=а. Последнее уравнение есть уравнение плоскости, в которой и должна лежать кривая. Глава 2 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА В ИНЕР((ИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ гл. зкконы ньютонд Принцип инерции, открытый Галилеем, в дальнейшем сыграл большую роль в правильном поннманцп самого движения. Первый закон Ньютона по суыхсству просто повторяет принцип инерции Галилея и часто его называют зиноном инерции Галилея †Ньюто. Его можно сформулировать так: «Тело, предоставленное самому себе, если на него нс действует никакая сила, сохраняет свое прямолинейное даивхт нне с постоянной скоростью, как двигалось до втасо (т, е, до момента наблюдения), или остается в покое, если оно до згоео покоилось».

Физическое содержание этого закона, очевидно, сводится к утверждению, что существует такая система отсчета, в которой тело, не подверженное действию снл, будет диигатьси равномерно и прямолинейно. Мы хорошо знаем, что существуют поннерциальные системы отсчета, относительно которых тело, предоставленное самому ссбе, будет двигаться с ускорением„ так что конструктивным содержанием закона ипсрцпн являетси утверждение существования инерцнальпых систем отсчета. Второй закон Ньютона говорит об изменении импульса (пли скорости) тела, испытывающего действие сил.