В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем, страница 2

Под абсолютно твердым телом понимается система материальных точек, расстояния между любымн точками в которой всегда остаются неизменными при произвольных перемещениях этой системы; это понятие применимо, когда можно пренебречь деформацией твердого тела. Важным понятием является также понятие сплошной изменяемой среды, однако здесь вопросы механики сплошной среды мы затрагивать ве будем. Содержание теоретической механики составляет изучение основных законов и принципов, которым подчиняется механическое движение тел, а также изучение общих теорем и уравнений движения, которые вытекают из основных законов и принципов.

К основным этапам развития механики можно отнести следующие: 1) механику Ньютона (Ньютон, Галилей, Гук, Гюйгенс и др); 2) аналитическую механику Лагран>на — Эйлера (Эйлер, Бернулли, Фурье, Лагранж, Гамильтон, Якоби и др,); 3) теорию устойчивости движения (Ляпунов, Пуанкаре), па основе которой в настоящее время развиваются новые области в науки — теория нелинейных колебаний, механика тел переменной массы. К современным научным проблемам механики, на наш взгляд, относятся проблемы теории колебаний, особенно исследование нелинейных колебаний механических систем с использованием ЭВМ, проблемы устойчивости движения нелинейных систем, задачи, требующие вероятностных методов расчета, проблемы возникновения стохастнчностп в нелинейных механических системах.

Механику раздслшот па механику материальной точки, механику системы материальных точек,механику абсолютно твердого тела и механику сплошной средьп В каждом из этих разделов обычно выделяют темы: 1) кинематику, в задачу которой входит изучение геометрических свойств движения тел; 2) статику, изучающую равновесно тел под действием снл; 3) дипамнку, включающую н статику, задачей которой является изучение механического двиакення тел под действием снл. Поскольку кипематические соотношения необходимы для ааппсп динамических уравнений, а интегрирование уравнений приводит к понятиям, вводимым в кинематике, представляется необходимым вкратце затронуть здесь некоторые вопросы кинематики. Глава 1 КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОИ ТОЧКИ 1.1.

КИНЕМЛТИг1ЕСКИС МЕРЫ ДВИЖЕНИЯ Основными кинематичсскими мсрамн движемия в механике материальной точки и системы материальных точек являются скорости и ускорения поступательного движения. Механические движения в кинематике изучаются иа оспове их геометрических свойств, т. с. без учета масс тел и действующих на иих сил. Методы кинематики и устаповлсппыс и пей зависимости используются при исследовании задач кнпсматики, а также и задачах дииамики. Движение любого объекта в кинематике изучается по отпошению к некоторому выделенному телу (тслу отсчста), с которым связывается система отсчета (СО), позволяя>щая определить положение движущегося объекта в разные момепты времеви отиосительио тела отсчета. Важно, что выбор СО в кинематике произволен н зависит от целей исследования.

Задачей кинематики является установление (с помощью математических методов) способа задания движения материальных точек я определение соответствующих кипематпческях характеристик движения (траектории, скорости, ускорения движущихся точек), Положение материальной точки относительно свстемы отсче. та 5 может быть задано с помощью радиуса-вектора точки как функции времени г=г(1). Конец этого радиуса-вектора описывает в пространстве кривую (считаем, испрерывпую), которая называется годографом вектора г и является траекторией точки.

Радиусы-векторы точек, их скорости и ускорения мож1и задавать в различных координатах. Это и есть разлвчпые способы задания движения тел. Заметим, что векторпое уравнение г=г(() параметрически задает траскторио в пространстве. Годограф вектора г(г) есть геометрическое место копцов вскторов г(1), откладываемых от общего пачала О. Исключив из векторного уравнения г=г(г) перемснпую г, найдем уравнение траектории в виде линии пересечеиия двух поверхпостей, например у=),(х), г=)з(х), Если разрешенные отиосительио у и г уравнения записать иельзя, то траекторию можно представить в виде пересечения двух поверхностей общего нида: Л (х, у, г) =О, ), (х, у, г) =О.

Скорость точки относительно 5 определяется как произвольная от радиуса-вектора по времени. Обозпачим ее как г, 10 Производная от вектора скорости точки г по времени называется ускорением точки отпосителыго 5; ускорение будем обозначать вектором г. Очевидно, скорость точки направлена по кигптсльпой к годографу радиуса-нектора, а ускорение направлено по касательной к топографу вектора скорости точки. Кроме зтнх кипематнчсскнх характеристик движения в механикс материальной точки вводится н используется понятие секторной скорости точки а, которая определяется как векторное произведение двух полярных векторов г и г и является, таким образом, акснальпым вектором (псевдовектором) е): 1 о.=..

— [гг[, 2 (1 1) Представим а в виде 1 дв о:- , — — [г г(г) -= —, зт 2 г)Г (2.1) где г(г — вектор, характеризующий злсмсптарпос перемещение точки, а модуль акснального вектора ЙЗ равен площади, описанной радиусом-вектором г прн перемещении точки па ггг. Поэтому модуль сскторпой скорости характеризует площадь, очерчиваемую рндиусом-вектором в единицу времени (см. рис. 1.1). Запишем выражения г(1), г(1), г(1) и п(1) в различных коордипатах.

Рис. 1.1 1,2. ДЕКАРТОВА (ПРАВАЯ) СИСТЕМА КООРДИНАТ ю 1Трп инверсии коордипзтпых осей (х, у, н) все компоненты полкрного векторе измсннют знак, в то врсмн кзк компоненты вкснзльного векторе при такой операции звзкв ие меняют. Примеры полирных векторов; радиуснсьтор г, скорость г н т. д. Лксиавьпые векторы — секторная скорость о =- — [гг), момент импульса Ь=т(гг1 Вообще, вектор, построенный как векторное пронзведсиие двух полярных векторов, нвлнстсн зкснвльиь 1и нектаром. Акснзльпый вектор ивзывеют твкже псевдонскторам.

11 Напомним, что в правой системе за положительное принимается направление отсчета углов (поворотов) против часовой стрелки. Радиус-вектор точки как функция времени задается трсмя координатами х(1), у(1), г(1), являющимися также функциями времени. Вводя единичные векторы и„, и„, и. вдоль осей Ох, Оу, Ог соответственно, представим г(>) в виде г(>') =х(>) п,.+у(>) п„+ г(/) и,. (З.1) Функции х(1), у(1), г(1) — компоненты радиуса-вектора, т. е.

декартовы координаты точки. Дифференцируя (3.1) по времени с учетом равепстн и,,= =п„=п,=О, получим разло>кение вектора скорости точки по ортам декартовой системы координат: т(>)=х(1)п„+уЯп„+г(1)п,=т. (4.1) И аналогично получим вектор ускорения точки: г(1) =х(1) п,+у(!) и„+г (1) и,.= в>, (5,1) Для справочных целей напомним следующее представление век- тора а: п, п, и, х у 2 у> — >и гх — х2 ху ух п,+ — и+ — и= 2 2 " 2 а=— 2 (о.1) = а,п„+ а„п„+ а,п„ где а„аю а.

— компоненты секторной скорости вдоль декарто- вых осей. Рис. 22 СЗ. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ Положение точки в пространстве в момент времени 1 можно определить тройкой величии р(1), ~р(>), г(1), поторые являются цилиндрическими координатами тонки (рис. 2.1). Формулы преобразования от декартовых координат к цилиндрическим в обратно имеют вид х=рсозсз, д=рз!п<р, г=г, (7.1) р= у'х'+д', пз=агс1п —. У х (8.1) (10.! ) ю Коордппатиыми поверхностями и декартовой системе называют плоскости, перпепдикуляриые осям Ол, Оу, Оз и оГ>разу|ощие тря семейства взаимно перпендикулярных плоскостей. 13 Это так называемые точечные преобразования, так как Формулы этих преобразований содержат только координаты («старые» и «повые»), по пе содержат явным образом временной переменной. Последнее означает, что обе системы координат описывают движение точки в одной и той же (неподвижной) системе отсчета.

Области изменения цилиндрических координат: 0«..'!)~ос, О~~р(со, — оотг(оо Координатные поверхности в цилиндряческой системе е>: р=с, — семейство цилиндров кругового сечения радиуса р с осью Ог; трч аз — семейство полуплоскостсй, исходящих из оси Ог, в которых лежат радиус. вектор точки г(Г) и ось Ог', г=. сз — семейство плоскостей, перпендикулярных Ог. Линия пересечения двух каких-либо координатных поверхностей разлнч- «з ных семейств называется координатной линией. Так как вдоль каждой координатной линии меняется только одна координата, то ее и называют соответствующей координатой. Очевидно, координатные линии зр — это концентрвческне окружности, координатные линии р — это полупрямые (лучи), исходящие из начала координат О (см.

рнс. 2,1), координатные липни г — прямые, параллельные оси Ог. Так как координатные линии ~р не являются прямыми, цилиндрические координаты относятся к криволинейным. Очевндно, что три координатные липин, которые определяют точку пространства р, <р, г, пересекают друг друга под прямыми углами, т. е. цилиндрические координаты являются ортогопальными координатами, Касательная, проведенная к данной точке координатной ли- .нни, называется координатной осью. Все трн оси цилиндрической системы координат ортогональны друг другу.

Отложим по этим осям единичные векторы п„, п„п, в направлении возрастания координат и разложим радиус-вектор точки по ортам цилиндрических координат: г(!) =Р(!) па+я(Г) и,, (9.1) Из рнс. 2,1 видно, что орты цилиндрических координат связаны с ортами декартовых координат соотношениями пр — — п„соз сз+ п„з(п зр, п„= — п,з!поз+и соз ср, п,=п,. Отсюда видно, что прн перемсгцеппп тачки отпоситслыю Ъ по- логкеппс ортов пр, и, изменяется вследствие изменения угла гр, Действительно, вычислим и) и пр пр .- — П.)уз!114) ! Прч)созй): 4)и)),) (1 1 1) и, .—.

— и (!) соз 4) и )(р яп ср ' ' — и) 4). Дифференцируя (9,1) по ! и учитывая (11,1), пакоднм рааложсние вектора скорости точки по ортам цилиндрической системы координат: г:: !)п„1- р4)П„1- гп,. (12.1) Лпа)логично, дифференцируя г по ! и учитывая (11.1), получим г =- (и — р)рр) пр-1- — — (р гр) п,р-(- тир, 1 (!3.!) р Ир Таким образом, проекции скорости и ускорения точки па коор- динатные оси (р), (4)), (г) имс1от аид ар== р ар=!ир ор=а, 1 р вр=р — ргр', и), --- — — (рррр), а),=г. ч (1 4.1) Приведем также разложение вектора секторной скорости точки по ортам цилиндрической системы координат: пр п„ п, р о з = — и„.! — п+ — и,= — ррр 2 2 )Р 2 рй) а (15. !) арпр+ о)рп)р + арпр Из (14.1) н (15(1) следует, что 2 )!ар в) р ж (15.1) 14 Рассмотрим далее важный случай движения, при котором секторная скорость точки остается постоянной, т, с.

а=ар. Введем цилиндрическую систему координат с осью Ог, папранлсп! пой по вектору а,. Так как а,== — (гг), то н радиус-вектор г(1) 2 и скорость точки г(1) в любой момент времспи лежат в плоскости, ортогональной вектору ар. В атом случае проекции скоростей о„, о, и ускорений и)р в„ можно непосредственно выразить как функции р и 4), а не р, 4) и р,гр, а также через производные по ф функции Р(ар). Действительно, в выбранной системе коор- динат имеем о =-.. — ==о, Р'ф г " а, 2 ф'=" — — ~ — ) ( ф.=- — 2оа — ~— ~ 1 ~, ()у,1) а'ф 41р ~ Р/ Лр р 2аа оэ'= Рф.— Р (18.1) Значит, г=--7:"=-оа ~ — пр — 1 — ) -Рпа — (, "ф Р Р) Далее из (1(21) имеем в,=О, а нй ' 4аа Р—:- — Р.= — ср ..—.= — — — ' ( — ), Х МР " Ра З(~а (,Р)' Рф 40а/Р (1 9.1) (2О.!) так что г ® а ~ ~ ~ ) ~ ~пр (21!) Формулы (19,!) н (21.!) называют первой и второй формулами Бине соответственно.