В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем, страница 4

Поэтому этот закон составляет основное физическое содержание динамики материальной точки в механике Ньютона. Его математическая формулировка имеет вид (! .2) т. е. скорость изменения со временем импульса точки (количества движения) р равна действующей силе. Импульс точки р--- =тг, но так как инерционная масса точка т прсдполагнстсн ве завпсящеи от скорости г и равна постоянной, то лр †.=-пгг = Р. сг При формулировке второго закона Ньютона могут возникнуть известные трудности, связанные с тем, что мы не в состоянии до проведения измерений решить, подвержено ли рас- 22 сматриваемое нами тело силовому воздействио. Ведь силы могут быть дальподсйствующими. Мы сталкиваемся с необходимостью найти такую систему отсчета, относительно которой можно было бы измерять ускорения тел.

Такая система отсчета, очевидно, должна двигаться без ускорения. Следуя первому закону, мы видим, что способ нахождения такой системы отсчета основан на предположении, что мы имеем какую-то независимую (от второго закона) возможность узнать, что па тело отсчета не действуют никакие силы. Нетрудно понять, однако, что такой»озмохепости мы не имеем, так как критерий, по которому ускорения пет, если сила равна нулю, приводит к требованию существования какой-то системы отсчета, относительно которой следует измерять ускорения. И так далее. Вместе с этим из опытных данных известно, что величина любой силы* >, действующей между двумя телами, быстро уменьшается с увеличением расстояния между телами (силы гравитационного и электромагнитного виан(ходействий -г-з, — гд, сильного, где г,-10-'з см =1 ферми).

Если бы таког го убывания спл с расстоянием не было, то, скажем, задача о взапмодсйспши двух тел (безотносительно к остальным телам Вселенной) была бы лиц>спа всякого смысла просто потому, что нельзя было бы изолировать эти два тела так, чтобы онн не взаимодействовали бы со всеми остальными тсламн Вселенной. Мы жс, находясь па Земле, испытываем притяжение главным образом к сс центру и и значительно меньшей степени к какойннбудь далекой (от пас) части Вселенной, Несколько слон о глобальных нпсрциальных системах отсчета. Можно выделить, в соответствии с нашнмн рассуждения. ми„«иерархи>о» этих СО.

Поставим вопрос о том, в какой степени пзвсстпыс системы отсчета явля>отса инерциальными. Так, геоцентрическая система отсчета (с началом О в центре Земли и осями, направленными иа определенные звезды) совершает эллиптическое движение вокруг Солнца с периодом обращении Т =1 год=3 10> с, Так как радиус орбиты 1ты1,5 10" см, то центростремительное ускорение движения Земли по орбите во. круг Солнца по порядку величины равно газ=-~ — ) Й== т ы О,б см>се. Напомним, что ускорение тела у поверхности Земли д 930 см/св, Ускоренна гелиоцеитрической системы отсчета (с началом в центре инерции Солнца и с осями, направленными па определеппыс звезды), движущейся вокруг центра нашей Галактики, 1 нетрудно оценить, используя опытные данные: о>-10 —" с, )с -3 10а' см, откуда гас-3 1О-з см/сз. ю Здесь мы имеем в виду силы, которые возникают в результате фундаментальных взаимодействий; ядерных (сильных), злектромагнитных или гравитационных.

В 1981 г, аяглияский физик Бсрч сообщил, что, исходя нз обработки данных наблюдения за крупномасштабными областя- ии Вселенной (это области, размер которых по порядку величи- ны совпадает с размером видимой части Вселенной), эти обла- сти участвуют во вра>цательном движении с частотой ь> — — 10 ~ с †'. Поскольку 1! в этом случае - 10»з см, то з ш-10-!з см/с'. Эти примеры наглядно демонстрируют сделанные выше за- мечания о силах взаимодействия. 1(роме того, слсдуст подчерк- нуть, что ответ па вопрос: «нужно лв учитывать «пеиперц!шль- ность» систем отсчета в уравнениях двин!ения?» зависит оттого, какая точность решения данной динамической задачи пас уст- раивает.

Третий закон Ньютона (о равенстве сил действия и проти- , водействия): силы, с которыми две материальные точки дейст. ' Вуют друг яа друга, рави>ъ! по величине и направлены в проти- воположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки. Формулировка четвертого закона Ньютона (закона всемнр- яого тяготения) по существу дает нам ответ иа вопрос, что та- кое сила как независимая физическая величина, входящая в правую часть уравнения (2.2).

Сила гравитационного взаимо- действия (притяженяя) двух материальных точек пропорцио- нальна произведению их масс, обратно пропорциональна квадрату расстояння между ними и направлена по прямой, со- единяющей эти точки. На этом мы закончим краткос рассмотрение законов Нью- тона классической механики, заметив, что подробиос вх обсуж- дение можно найти в курсах общей физики, 2.2. ИИЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА Выше говорилось, что первый закон Ньютона фактически утверждает, что существуют иперциальпые системы отсчета (ИСО). Второй закон Ньютона з форме (2.2) справедлив также в ИСО.

Мы видели, что в НСО все силы, действием которых объясняется движение галактик, звезд, атомов, электронов и т, д., обладают важным общим свойством: величина силы, действу!ошей на тело, обязательно уменьшается по мере того, как это тело удаляется от'соседних тел. Рассмотрение движения тел относительно пеинерциальиых систем отсчета показывает, что в них появляются кажущиеся силы, которь>е, не будучи обусловлены присутствием других тел вблвзи данного тела, не обладают свойством убывания.

Уравнения движения механики, записанные относительно ИСО, имеют очень простой вид, но кроме этого интерес к ИСО вызван и более глубокимя физическими причинами. Прекрасное изложение темы ИСО можно найти в книгах: В е й н б е р г С, Гравитация н космология. Мх Мир, 1975; Л о- (4.2) где бге — символ Кронекера со значениями Бы=1, )=Й, бы=О, ать!с; (7,2) представляет фактически шесть соотношений.

Сле- гуно и Л. Л. Лекции по теории относительности и гравитации. М,: Изд-во с"4!"У, 1986. Здесь мы во многом следуем этим ра- ботам. 1зассмотрим в некоторой системе отсчета Я движение Л' гравптирующих свободных материальных точек и запишем для этой! системы сЧ уравнений движения (второй закон Ньютона): т, г„== — 6 -) ассар (га — Гр) (3.2) (га — гр)з ! рчеа где индексы и, () пробегают значения 1, 2, ..., У, а гравитацион- ная постоянная 0=6,67 !О-' смв г ' с-з.

Перейдем к описанию этой системы в новых пространствен- но-временных координатах г,', связанных со старыми коорди- натами следующими формулами преобразования: г„=(А) г„+Ч. +б, Г'=1+т. и'! ь „. (6.2) Здесь (А) — произвольная действительная' ортогосгалйгая мат- рица, Ч, д — постоянные действительные трехмерные векторы, т — действительная постоянная. Поясним, как действует мат- рица (А) па любой из векторов га, Если х! — декартовы ком- поненты вектора г (индекс а для краткости опускаем), то при преобразовании, задаваемом матрицей (А), компоненты всех векторов преобразуются по закону з х'.=~~ амхп х! — — (хс, х„хз)= — (х, у, г). (62) )=- Здесь и далее латннскнми индексами перечисляются компонен- ты трехмерных векторов, тензоров н т.

д, Нетрудно видеть, что из условий ортогональности преобразования н сохранения квадрата длины вектора г следует, что е! 5 а„ал,=.бли (7.2) с=! "! Г!рострзвствз, в которых квздрвт расстояния между тачками, хз вктеризуемыми рздиусвми-вокторвми г, гз, определяется формулоа з (Га — гр(з= )' (хгсс — к;р)з (ха хр)з+ (уа ур)з+ (га — зр)с, ! 1 иззывззгт евклидовыми.

25 взяти величин ап лишь три будут П м матрица (А) опРеделена тРемЯ действ сльнымыми. оэтому матр л ~ (4,2) (5,2) можно рассматривать как формулы преобразования радиусов-векторов точек г, и времени 1 при переходе от одной И СО (5) к другой ИСО (5'). Еслй а каждый ЙСО име1отся наблюдатели (скажем, в началзх СО О н О'), то наблюдатель, находящийся и И1)О 5, ИСО 5', декартовы оси которой повернуты с помощью матрицы (А), движущейся со скоростью 7 и смещеиноп Р "пн1 О на вектор д; часы наблюдателя в 5' отстают от часон набл1одателя в 5 на величину т, Преобразования (4.2), (3.2) являются фактически группой преобразований, так как параметры, определяюпене нх, могут принимать произвольные значения, с~ту 10-параметрическую группу (три угловых параметра, характеризующие матрицу поворотов (А), по три компоненты пскторов У и д и параметр т) называют группой (движений) Галилея, Поставим вопрос: какой аид примут уравнения (3,2) п ИСО 5'? Подставив (4.2), (5.2) в (3.2), получим 1 и~та (г,„— га) (К2) т„г,= — б~ ~=о т.

е. уравнения движения (3.2) сохраняют свою форму прп преобразованиях группы Галилея. Форм-инвариаптпость урппцсннй движения (т. е. сохранение функциональной зависимости преобразованных уравнений от координат) относительно таких преобразований называ|от галилсевской ипварнаптпостью, нлн принципом относительности Галилея. Уравнения Ньютона (3.2) инвариантны относительно преобразований группы Галилея, Развитие механики Ньютона способствовало развитию наших представлений о пространстве и времена. Действительно, свклидовость пространства (т.

е, то, что в пространстве действуют правила евклидовой геометрии пространства), заложенная в механику Ньютона а рг1ог1, могла быть проверена путем сравнения предсказаний механики с результатами экспериментов. Так было доказано, что с большой точностью пространство является евклидовым, Для лучшего уяснения связи механики Ньютона с евклидовостью пространства рассмотрим преобразования группы Галилея при некоторых фиксированных значениях параметров. 1. Пусть все параметры, кроме б, равны нулю, т, е. мы совершаем только преобразование координат вида г„' =-.