В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем, страница 9

13.4). Предельный цикл будет устойчивым, если к нему притягиваются соседние траектории. Он также принадлежит к классу аттракторов. Аттракторы — точки на плоскости — бывают двух типов: узлы н фокусы; они отличаются видом зависимости координат от времени. На рнс. 14.4,а изображены траектории, заканчивающиеся в (устойчнвом) узле. Если обратить время, т. е. заменить 1 на — 1, то траектории будут выходить нз узла. Такой узел будет уже неустойчивым. На рнс. 14.4, б приведена временная зависимость координаты х(1) в случае узла. Понятия узла, фокуса и предельного цикла, как видно, здесь не геометрическне. Опн скорее определяют тнп располо женпя траекторий автономной системы дифференциальных уравнений ! -го порядка: х=), (х, у), у=).,(х, у).

Автономной называют систему уравнений, в которой функции )1(х у) и (г(х, у) явно от времени не зависят На рис. 15.4,а изображены траектории, заканчивающиеся в (устойчивом) фокусе. Онн примыкают к точке А, наматываясь на иее подобно логарифмическим спиралям. В случае узла траектории подходят как бы по нормали к окружности радиуса г- 0 с центром в узле. Прн замене 1 на — 1 траектории, изображенные на рнс. 15.4, а, будут выходить пз фокуса, который станет неустойчивым. На рнс. 15,4,б дана зависимость коордн- наты х(1) от времени 1 в случае фокуса. Заметим, что к, р ие обязательно декартовы координаты.

Следует иметь в виду, что класснфнкациго особых точек (линий) проводят на основе системы уравнений 1-го порядка по времени. Можно дать достаточно строгое математическое определение устойчивого многообразии (особой точки). Под устой- Рис. ! б.4 чивым многообразнем (особой точки) понимается множество всех точек, которые явлгпотся пачальнымп точками траекторий, закапчивагощихся при 1=ею в данной особой точке. Под неустойчивым многообразием (особой точки) понимается множество пачальных траекторий, заканчивагошпхся в пределе 1= — аа в данной особой точке.

4.б. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА Замкнутая траектория независимо от начальных условий получается при движении частицы в поле У(г) = — —, сс: 0 г (19,4) + - +6,~А,сг~ ег~4 Рассмотрим задачу о движении частицы массы т в этом поле более подробно, не ограничиваясь случаем а>0. Если а>0, то ди сила Г= — —, с которой поле действует на частицу, являдг ется силой прнтяжеяия (она направлена по радиусу-вектору г к центру поля), если а<0, то на частицу действует сила отталкивания. Эффективная энергия частицы в том и другом случае изображена па рнс. 16,4. Из анализа графика У,еь следует, что движение частицы в поле притяжения будет ийфннитпым, если Ез)0 (в области р>р„ы), и фипитным, если 0 > Е, > У,ее пп„(в области рз>р>р,). При Е,=-У,ее ы частица будет двигаться по бб Ряс.

16А акружи»сти, Б иоле елталкинииии иолипя гииргии частицы всегда иг»и>житсльиа, а дгиикеиие иифииит>и> (и»г>ласти»., р.,). Траектория частицы, ее'ирбита ипределяется интеграл»м (р юа ~ р ц> 41 > й ~ич= — ) ~(-) ~ +С, и Здег> верхние нинки и и»д»и>теграл>,иом выра>вся>ии соответст вун>т случаи> и>0, а ии>ииие — случаи> и -.О; введены следуя>. 56 щне обозначения: р.= о парам а т / 2еес„' >пас эксцептриситет орбиты, Вычисляя интеграл, получим ! и~— гр — С.=. ч- агссоз — > е Р (20.4) и а а Й— ! — е' 2пе 2 )Еа) Отсюда видно, что большая полуось эллипса зависит только от энергии (по пе от момента) частицы.

В квантовой механике пмеппо это свойство приводит к правилу квантования по Бору. '> Это ураааеиие каиичсского сечсиии с й>окусои в начале координат. Фокус — это точка Г, лсжащап а плоскости кривой аторого порядка и такая, что отиошеиис расстопиип л>осой точки кривой до Г к расстопии>о до паданкой иримог> (дщгсктрасы) раино постоипиому числу (экспеитриситету). Рбпи>чсские сочщщи — ликии, которые полу >а>отса сечеиием прямого кругового конуса плоскостями, ие проходящими через его аер>пику.

ау Опуская знак перед функцией справа ввиду четности косинуса и обращая формулу, найдем уравнение орбиты в явном виде: р= (2 1.4) Н: ! + е соа ! гр — С) Удобно полярную ось направить на блнжайшуго к центру силы точку траектории. Тогда С=О. Уравнением (21А) описывается кривая второго порядка, в фокусе которой находится начало координат '>. Из аналитической геометрии ,извсст»о, что в зависимости от величины е траектории вида (2! А ) »редставляют собой гиперболу (при а>!), параболу (при е=1), эллипс (е<1) или окружность (е О).

Учитывая зависимость е от полной механической энергии частицьк получим, что в потенциальном поле У(>)= — —, Г а>0, траекторией частицы будет гипербола, если Ес>0 — парабола, если Ео 0 — эллипс, если 0 > Е, >(/эеа,„и,— окружность, если Ее--.У,аа„>е, в случае отталкивания траекторией частицы всегда будет гипербола, так как в этом случае а>1 (а Ео>0) всегда. Рассмотрим фппнтиое движение частицы в поле (>'(г) = -= —, когда орбита является эллипсом.

Па известным формулам аналятической геометрии можно найти большую н малую полуоси эллипса в виде Наименьшее н наибольшее расстояния до центра поля (фокуса эллипса) равны р„„е= — =а(! — е), рееи — -а(1 1-г). 1+е ! — е (22.4) Заметим, что этц значения мо>кцо получить и как корин уравнения (У,эе,— Е, = О, Период движения Т определим с помощью закона сохранения момента импульса, запнсишого в форме 1.„=- 2ш —, (2ВА) ег где г(Я вЂ” плошадь, очерчнваемая радиус-вектором частицы за время 111, Интегрируя это равенство по времени от пуля до Т, получим , аше пеепе Т' .=-. 4 пе — == и 21Ло~" (2б.4г т. е. квадрат периода обращения пропорционален кубу лшшйных размеров орбиты (третий закан Кеплера) и зависит только от полной энергии частицы. Прн Е>0 движение ннфинптпо. В поле притя1кения прп Ее>0 траектория является гиперболой, огпбшощей центр поля (фокус).

Наименьшее расстояние, па которое частица подходит к центру поля, равно р 1,= — =-а(е — 1), (1+ е) где а=р!(е' — 1)=а/2Бе — полуось гиперболы. В случае Е,=О частица движется по параболе; при этом наименьшее расстояние ре,ь,=р/2. Этот случай осуществляется„ если прн г=ао частица покоится. В поле отталкивания траектория, как уже говорилось выше, является гиперболой (см. рис. 16.4). Наименьшее расстояние от орбиты до центра поля и этом случае равно Рты= — =а(е+1) е — 1 где а= — = — — полуось гиперболы, р ~и1 2ею 4,6.

ВЕКТОР-ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА Поле У (г) = — допускает существование г векторного интеграла двнгкепия, специфического именно для аа ЬеТ =- 2тБ:--- 2л1яа(х (24.4) Здесь мы учли, что Я=пай, так как орбитой является эллипс. Отсюда находим 3 =- 1г1! —— Г является ш1тсгралом движения. Для этого вычислим ): 1 — (гЦ вЂ” (г Ц вЂ” — + Г гь Подставив в (20.4) выражение (2б.4) 1,= — гп 1гг) а У= — — в г н используя уравнения движения частицы в поле виде Я3' ьпг = — —, г" нетрудно показать, что 1=0, т, е. 1= )а Из равенства пулю скалярного произведения (1, Я) следует, что вектор 1 перпендикулярен 1, и лежит в плоскости орбиты. 1!вправление вектора Яа найдем, воспользовавшись законом сохранения 3 .)а Вычислим 5 в момент нахождения частицы в точке рппп.

Полярную ось пап(ганям из фокуса к Ра~п. В денар топой системе координат с осшо Ох, направленной по полярной оси, и Он — по (,а получим и,. п„п, аг 0 хор 0 =-.п,хгрń— — = — ип, 0 О Следовательно, 3=(х~~Ь вЂ” и)п,=(Х, О, О), т. е, 3 направлен от фокуса (центра силы) в блигкайшую точку траектории.

Модуль вектора 3 равен сз гз о о а'=р„,п, — и= — — и.=.из. гпр гарты Заметим, что интеграл движения 3 является однозначной функцией механического состояния частицы, Мы знаем, что в поле (г'-= — — такими одтюзначаымн функциями пологкения н скорости частицы являются (кроме Ю) интегралы движения втопг поля. Этот вектор был построен еще Лапласом.

Мы бу- дем навьи~ать ого вектором Лапласа, хотя в квантовой механи- ке аналогичный векторный оператор принято называть векто- ром 1гупгс — Ленца. Докажем, что вектор Ец и (.р. Понвлсиис тако(О доиолинтсльного ол!И»»яичного нн тсграла снн,»аио с так назынасмым вырождением движения; !озможиостью рсшсиии ли~вмичсской задачи н ра»личнык ко. ордниатах, Пример. 11а!пн закон движении частицы с .нсргисй Е„н а мамонтом импульса !.!! и иоле (г'(г) .- -- н инрамсцп»чсском Г видс.

1'ассмотрсть случаи: 1) и>(1, Е«<(), Е -(), Е ' (); 2) о . (), Е»> О, Прим! р. 1:!сследоаать дннжснис частицы мн!ты ьч н центральном поле (-(!» ири г )т, У (г) ~ (! !ц! г>)!! при различиык значсниих .»иср!ин и момснта импульса частицы. Поле (l(г), которос иазыннют «сферической примоуголыи»й потенциальной ямойз, нзображсно на рнс.