В.Р. Халилов, Г.А. Чижов - Динамика классическихсистем, страница 8

Е4 ческай системе координат интегралы энергии н момента импульса запишем в виде — (р'+ р'с(га) + Ег (() = Е„ 2 тр' ср = Е„ (5А) гДе Ес = )7Ео +Еса+Ео*. Выражая ср черезЕс нз (6.4) и подставляя в р' ЕΠ— + — '+и(р) =Е,. 2 2гпрг (5,4), получим (7,4) Отсюда Р = — — = Ь ~7 — (Š— Ег (Р) — Ес)2пгРг), (8.4) Зр )г 2 г аг илн, разделяя псременные н интегрируя, находим — +с,.

2 (Ес — У (р) — Ег) 2тр') Здесь Сз — постоянная интегрирования, а само соотношение (9А) есть еще адин второй ннтеграл. Последний второй пптеграл найдем, исключив г пз (6.4), (8.4): «р, ~л~Р . / 2 — Ъ/ — (Еп — (/ (Р) — /.~»/2пцР) (10.4) ач /» 1' т 1эазделяя в (10,4) пнреме~(пые и интегрируя, получим + С,. (11.4) ,) рви э — (ń— 0 (р) — ).-')Ъир») гл Это соотношение является вторым интегралом движения; оно определяет связь р и у, т. е.

представляет уравнение траектории, Формулой (9,4) определяется в неявном виде функция р(/). Если эта функция найдена, то, подставляя ее в (6.4) н интегрируя (6.4) по времени, получим ( !.р Ч = ~~ ' г(/ + <, (/»), ,) пюр» (() й (12.4) Бо — (/ (р) — 1-о/2(пр' =- О. (14.4) В этих точках р=О, ио у*И*О, так что частица не останавливается (как прн настоящем одномерном движении), а продолжает движение со скоростью р~р.

Это точки поворота траектории. В них функцняр(/) меняет знак, а р(/) переходит от уменьшения к увелнченн(о и наоборот. Вели уравнение (14.4) имеет корень р п,(Е»), а область допустимого движения ограничена лишь условием р>р ы (рис, 2.4), то движение частицы ннфинитно — она приходит нз бесконечности н уходит на бесконечность. В случае, когда начальное состояние р(/и) удовлетворяет условюо р „„>р(/и) >р (рнс. 3,4), область изменения координаты р частицы с энергиеЙ 47 'г)з (7.4) видно, что радналыную часть движения в центральном поле можно рассматривать как одномсрпос движение в поле с «эффективной» поте(гцнальной энергией /-о (Уп,„„, — Е/(р) -( 2» р» у2 в области р>0.

Величину " называют центробеэк2п~р» 2 пой энергией. Грани((ы области движения частицы в радиальном направлении определяются дсйствнтсльпымн корпямп урав- нения Ес имеет две границы, Движение фпнптпо, а траектория в обц(ем случае целиком находится внутри кольца, ограниченного окружпостямп (>=!)гп!и и р=ршпп (рпс. 4.4). !'Зс'л Рас. ЗЛ Рис. 2.4 Рас.

4.4 Угол поворота радиуса-вектора !)ф за время, в течение которого р меняется от р „ до р !„ и затем до рымь равен Сыпи Лф=-2 (1б,4) Р' 1 2и! (Ео-У (Р) — Е,„/2и!р') аппп ь Если цф~2гс —, где !с, п — целые числа, то траектория пе- и замкнута, хотя движение финитно. За бесконечное время траектория бесконечное число раа пройдет через точки рмы и рм,„н заполнит все кольцо. Траектория будет замкнутой, если Лф=2я —. Ее замыкание произойдет через п повторений п периода времени, прн котором р меняется от рмы до рм„и затем до р, !и. Радиус-вектор частицы сделает при этом й полных оборотов. Из (15.4) видно, что цф, как и условие замкнутости траектории, зависит от напальных условий (Ес и Ьс), Только 4Я в двух типах центральных полей, независимо от начальных условий, траектории всех <)>шштпых двпжеьпш замкнуты.

Эта поля, в которых потепциалыьая энергия частицы равна либо — «/г (в>0), либо цго (а>0). Резюмируя, сформулируем следующие пз нашего рассмотрения общие своиства движения, справедлпвыс для л<обого центрального поля: 1) траектория лежит а «епадвпгкг<ай плоскости, проходящей через центр поля, а радиус-вектор частицы оппсьп<аст равные площади за равные промежутки времени (постоянство 1.

илн а); 2) угол <р меняется монотонно со временем; 3) траектория точки симметрична относительно апсидальных векторов (прямых, проходящих через центр силы и «точку поворота»). 4ЛЬ КЛАССИФИКАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ г<палог<< п<о тому, как это была сделана и одномерном случае прп графическом задании патспцналыюй эиергнн частицы У(х), классифнкацщо классически допустимых траекторий частицы, движущейся в центральном поле, могкп<г провести па графике эффективной потенциальной энергии У,ои» Рассмотрим для этого несколько примеров. )(;В первом примере изучим даял<сине частицы в цилиндрической системе координат, когда на частицу пе действуют никакие силы, Это тривиальный частный случай движения в центральном поле.

Выбгпрая систему координат так, что движение частицы происходит в плоскости хОу, имеем тро — = Ео — !.о,<2л<ро, <р = У.о/<про, 2 откУда следУет, что если У„, — 0 то <р — <р„«(г — * -~~ )г 2Ео +ро>0, где <ро=<р(0) и ро=р(0), т.е. траектория частицы представляет собой пряму<о (рпс.

6.4), проходящую через «а <ало координат. Пусть Е.о~б (рис. 6.4), тогда ром=)<Й(2<лЕо, Траектория, как можно убедиться, является любой прямой, проходящей от начала координат на расстоянии р и (это минимальное расстояние от «центра поля») и каса<еще(<ся окружности радиуса Р„,<„. Найдем р(<р) в явном виде; Ър +С =агссаз(р <„)(г)+ С.

(16.4)< — (Ео — Е /2о<ро) 2 о Направим полярную ось нз начала координат к р <„, т. с. угол будем отсщтывать от этого направленая. Из (16А) следует, что С=О и уравнение траектории и Р, м/совч; есть )раггггеггне прямой (рис, 7.4), параллельной огн //р. Лпнженгге ьак ирн Ьа=0, так и ири /ч~ '0 пргннхолиг и гггггграггггчеггггой облггггн, т.

е. являетсгг иифиинтиым. Ра» ал Рис 7» Д~ В качестве второго примера расгмггтрггм линжекне члггииы хг" массы лг в поле (/(г).= — (так пггвг»ввгмый трехмерный ггпу. 2 тронный гармонический оггпглггггтор), г (х, //, х). Очеггилно. что если Ь»=0, та вада га гчггщгггн и гиии и одномерного гар.

моинческого осинллятггргь рассмотренной ггыгнг. В гтгэм глучае частица будет саверьчать ыростггс ирггмгглггнг йигн гирмоннчес. кое колебание, С)бгласть дьчпкеиия огрииичеии, л траектория проходят через начало системы координат (центр ноля).

(гслн /гр' х М.„ФО, то (/,ее —— г -~-ьа/2тр" (рги. Н.4) и льчгжгиое клв. сически даиустяма, если только чисргия чнгтниы Ех,)а(/,еемг„, где (/,»ь»я = (/„~», (р„,) ==(/»а/»/лг) "х--мггггггмггльггое ткаченке вф. фективной энергии, Здесь р„, опрсд«ляетси условием — =/гр — — ==О, р,„-(/.а//чл) ч//э»ч1 г О а „а, ! а ФР ' хгрх Движение частицы с полной виергней Еа ааклгочено в области г г рг «~Р «~рг гас рь =Е„~/г=~'г Йй — /глй — «точкгг наворотах траектории. Нетрудна покивать, что траектория в неявном инде задается интегралом ! г г/х +С,х 2 ) )г" а+ ах+ сх» ггг где с= — 1, /г=2гпЕ»//.чх, а — йнг//.аа.

Вычисляя ггптеграл и зв" тем обращая формулу, получим р'=-2/(/> р')г й' — 4ос сов 2(гр — гр„)), ба Если полярпу|о ось !и!прав!ггь к !'а!о, то с(Ь=О, 2 2 Ь -!-.у Ь'.— 4ос ' Ь вЂ” ~l Ьо — оаг (( 4 У2 Р Рао. 8.4 Рос. 9,4 Траекторией частицы является эллипс, центр которого находится в центре силы. Траектория дяаькды касается окруокностей с радиусами р! н ро соответственно. Иа рпс.

0.4 пзобрагкеп случай, когда полярная ось направлена к р !„, т. е. сро=О. 4.3. ПАДЕНИЕ НА ЦЕНТР ПОЛЯ Принципиально новая ситуация возникает, если, например, центральное поле имеет вид с((г) = — — — —, а, у~О. т с Н Пусть $.4ФО, тогда У„,!„, имеет вид, как на рис. 10.4. В точке рг =(Ьо — к Ьо — 12уапг')(2!па У„м!, имеет абсолютный максимум, а в точке ро=(Ьо+)' Ьо — 12уа!по)(2п!а — относительный минимум. Будем считать, что момент импульса частицы удовлетворяет нерааенстзу Ьо ануа»!о.

Если это так, то Уоео, имеет два экстремума, как на рнс, 10А. Заметим, что если Ьо =12уаясо, то р!л= 2 4 =ро=Ьо(2яга и 044(ро)=Ь(оье(р )=О, Ь(44(!!,) О, а если Ьо ., -'12уаао, то Ь(,4,4, вообще не имеет экстремумов, Из графика ВИДИО, ЧтО ЕСЛИ Ео~(( ~л„оп!, тО ДВИОКЕЦ!4Е ПРОНСХОДИт В ПЕ- ограниченной "области пространства' н, в частности, яастпца может достичь цо»тра ноля (ее радивль»а» коордппата монист стать ризпой нулю).

Такую ситуацию называют падением ца центр поля. Следует заметить, что падение на центр поля возможно при любой энергии, если частица в начальный Момент времени находится левее точки р, (разумеется, в классически доступной области). Рнс. 10.4 Рнс, 11.4 Рнс. 12.4 Рнс. 13,4 Получим условие падения частицы на центр поля в общем случае. Из (14.4) следует, что в классически доступной области движения должно выполняться неравенство р'Ео ~ рЧI (р)+ Ео)2ьь (17А) пр амер»ам р в р„,, г„р.

ничепа, то О > раУ (р) + Есс(2 (18. 4) Очевидно, если потенциальная энергия при малых р ведет себя подобно степенной функции У(р)=::= — —, то зто услорч вне выполнЯетсЯ пРп п=2, если (1>Еррт12т; пРп п>2, если р>О. Вернемся к пашей задаче. Если энергия частицы равна Еь то качественно траектория имсет вид, как иа рис. 11.4, где изображен случай Е, -Ур м„„.

Вообще, чем ближе Е, к пулю при фиксированном Е„, тем меньше искривлена траектория (тем далыпе от центра проходит частица и, следовательно, тем меныпе она взаимодействует с центром). Если энергия частицы Е Равна У»44,п„„+6, гДс О <6«У,вф,„, то скоРость частицы н радиальном направлении вблизи р, уменьшается, и в этом направлении опа движется очень медленно. Г1ри этом поскольку 1р,Фоо, то г1р=Ес/гп(р,а есть конечная величина и радиус- вектор вращается с угловой скоростью гр. Поэтому частица может достаточно долго вращаться вокруг центра, прежде чем опа пройдет интервал значений р-р, (рпс.

!2.4), Прн Е, точно равной У„и, „, траектория частицы представляет собой либо спираль, приближающуюся к окружности радиуса 1рр с цсптром в пентре поля (извне, если рс>рь нли изнутри, если 1рс<рр), либо окружность радиуса р, (еслп рс=рр). Движение по окружности неустойчиво, так как сколь угодно малое изменение начальных условий (т. е. Е» или Ьс) приводит к траектории, удалшощейся от этой окружности при болыиих р (рис. 13.4), 11аконец, при У„~,е ы Е ~ О, (рп,ь, ~ (рс ~ о„м„частица совершает фппптпое движение в области р,„ь,»:р -рам„. Траектория в общем случае (т.

е. прн произвольных начальных условиях) незамкнута, При Е =- Ум1,4, ы частица движется по устойчивой орбите — окружности радиуса рсл при этом 1р=О. 4.4. АТТРАКТОРЫ" Границы области движения частицы и вид траектории существенно зависят от начальных условий. Выбирая разные начальные условия, мы можем получить целый пучок траекторий.

Эти траектории похожи па липин тока в нгидкости, что дало основание иногда называть их алиниями тока», а их совокупность — «потоками». Выше мы показали, что в нрашпх примерах траектории на плоскости не обязательно приходят из сс и заканчиваются на Р> Более подробно об этом рекомендуем прочесть а кингс: Х анен Г. Сннергетнна, Мп Мнр, рзвб. со; опп могут по-разному заканчиваться прн конечных значенп51х коордшит. Эти свонства являются достато~п1о общнмн. Точки, в которых траектории заканчнваютс51, являются как бы то~!ками прптяжеп1551 дл51 лпнип тока; сами консчпые точки называ1отся аттракторами. На плоскости траектории могут пс только зака1щпваться в точках (как на рис. 14.4,а), по и па- 1~ й Рис, 14А внваться па так называемый предельный цикл (см, рнс.