М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения), страница 10

Л Семейство экстремалей: х ] у = Сз 51п .т — — со5 х, ! г Сз 51п х + — (2 51п х — х саз х), ) где Сз — провзвальная постоянная. 3', Функционалы, зависящие от функций нескольких нева висимых перел!сивых. Рассмотрим функционал вида !']г (х, у)] = ~ ~ Р (х, у, г, —, — ) дх ду, (13) дг дг ! ' дх ' ду ) и где г — трижды днфференпируемая функция своих аргументов, и предположим, что ищется функция г = г(х, у), непрерывная вместе со своими производными да второго порядка включительно в области (У, принимающая на границе Г области (У заданные значении и дающая экстремум функционалу (13). Естн на поверхвасти г = г(х, у) реализуется экстреь1ум функнионала (13), то функция г = г(х, у) удовлетворяет уравнению Эйлера — Остроградского д д Гх — — (Уя) - — (Уч] = О, дх Я ду (14) ОБОБЩЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ 89 частные производные по и н (18) (18) дх дх Здесь для краткости обозначено — = р, — = у.

дх ' ду Уравнение (14) прелставляет сооой необходимое услоанс экстремума функционала (13). Оно является уравнением второго порядка в частных производных, прнчсч ищегся решегше х = = х(х, у), прпннмагошее на ! рзпнце Г заданные значения. П р н м е р б. Написать уравнение Эйлера — Острогр !доке!о для функционала г (а (х, у]) = ~ ~ ~~ — ) — ( — ) ~ г(х ду. В Решение.

1лнесм Р(х, у, х, р, у) =р' — уг, тзк что сод д гласно (14) получим — †. (2р) — — ( — 24) = 0 нлн дх ду д'а д'а — — — =О, дх' ду' Для функцноаала у (х (хг, х,, ..., хл)) = р (х! хг ' ' ' хл х, р! рг, -., рл) г(х! г1хг ... г(хгг, ( П) гз дх где р — (й = 1, 2, ..., и), аеобходимое условие экстредх, мума выражается следу!ошам уравнением Эйлера — Остроград.

ского: (18) Или н развернутом виде л гг л г=! г=-! Решение этого уравнеаия — функция х = х(хг, хг, ..., х„) — на границе Г л-мерной областа 11 должна удоалетворягь заданным )раничным условиям. д д где — (рр) и — (рч) — полные дх ду по у соответственно: д дх (рр) = рр + рр дх ' дх д да др ду дх РЧ дх' +р — +р др ду ча ду чч ду ' (гл.

и вкотпнм~м окикииоиллов УО П р и м е р б. Найти условна, при которых функция а(хо х„..., х,), принимаюшзя заданные значения иа гравице Г области Я, дает мвнньгуьг интегралу Лирикле л Р(2)= ) ~,. ) )~ ( д ) их! дхз ° ° дхл 0 мч ! дг 'гз г = и ( — ), т. е. г не зах'и ~ дх Следовательно, 2 прн г=), г" гггг ( О при Р е шеи не.

В атом случае висит явно от хо хг, ..., хч, а. и по формуле (19) получнм Х д'а — „=О или ба= О г=1 дх (л-мерное уравнение Лапласа). 3 а и е ч а н и е. Если под знак интеграла входят производные функции г(х, у) до порядка а, то уравнение Эйлера — Остроградсного имеет вид д д дз Ра (рх,) — — (р„) + д е ((хх„ъ$+ дз д' + —,, ('ха)+ — „,(',„)- ч +( П.— „(Р,, )=О, (2О) дуч л Х (х(х, уЦ ) .~ (( дх') +( д ') +2(д д ) — 2х1(», у)~г(хду, гз Решение. Имеем (3 з) +(д з) +2(д д ) 2ат(х,у). П р н и е р 7.

Написать уравнение Эйлера — Остроградского для функционала !Рл. и ЭКСТРИМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ при услОВнях д(о) =о, у'(0) = О, у (!) = !. а 14 105. У [у(х), г(х)]= ] (2г — 4у'+ у' — г')1(х; а у (О) — О, у ( ) — 1, г (0) О, г ( ) 1. 1 ,з1 106. У[У(х), г(х)]= ~ [2хд — У' + З [1(х! -1 у(1)=0, у( — 1)=2, г(1)=1, г( — 1)= — 1, 107. У[у(х), г(х)] = ~ (у' + г' — 2уг)а1х; О у(0)=0, дЯ=1, г(0)=0, г( — ")=1. 108.

У [у(х), г(х)] = ] (у' + г' + 2у)1(х; а у (0) = 1, у (!) — 2, г (0) = О, г (!) = 1, 109. Показать, что уравнения Эйлера для функционала ь У [у, г] = ) Р (х, у, у', г, г') пх а допускают следующие первые интегралы: дд 1) —,=С, если Р не содержит у; дУ1' , дд , дд 2) д — у' †, — г' †, = С, если Р не содержит х. дд' дх' Написать уравнения Эйлера — Остроградского для функционалов: 11О. У[г(х, у)]= = ~ ~ ~( —.~ ) -[- ~ — ) + 12гУ" (х, у)~ 1(х 1(у, экстРемум Фу!ткционллОВ !Гл.

и и экстремали исходного функционала определяются из уравнецкя Эйлера для функционала ~ Ф[и, и, о„)с!и: Ф вЂ” — Ф, = О. с[и П р и м е р !, !.!айти экстремали функционала е, где г = г (ф). Решение. Уравнение Эйлера для это~о функционала ~1'гз+ г" Замена переменных х = г соз ф, у = г з!и ф дает )гг + г" ~йр = '[гг ! + у" с[х, для которого уравнение Эйлера есть у" = О, так что у = С,х+ С,. Значит, экстремалн исходного функционала даются уравнениями г 5!П ф = С1Г с05 ф + Сз, где С~ и С, — произвольные постоянные. П р и м е р 2. Найти экстрсыали функционала з' [у) = ~ (е "у' — е«у ) ох.

о Р е ш е н и е. Уравнение Эйлера для данного функционала имеет внд у» — у +е«у=О. Сделаем замену переменных у [г) = ~ )гг' + г" сйр, и мы приходим к функционалу вида ь У[у)= ) )г!+у' с[х, е х=!п и, у=о, ) О % е) и!гВАРНАнтность уРАВнения эилеРА 7$ Тогда исходяый функпиоячл преобразуется к виду = Г(е '"ии а' — е" "о ) — = ( (о' — ай) дгг и в для него уравяеияс Эйлера о" + и = 0 легко иптегряруется: а= С, сохи+ С,в|пи. Переходя к первояачальпым координатам х, у, получим уравие- яие зкстремзлей в виде у = С, соз е "+ С, ып ех.

115. Найти экстреыалп функционала 1 ~)г '+ '*(ф. % 116. Показать, что экстремалн функционала т'= ~ )'(г з]Игр) У гз+ г' пгф всегда находятся в квадратурах. 117. Найти экстреыали функционала У= ~ ]тххх+ уз ]г 1+ у" с(х ч Как и для случая одного переменного, уравнение Эйлера— Остроградского иивариаитио относптельяо преобразований коордиивт.

П р и м е р 3. Записать уравнеяие Лапласа дга дза — + — =о дхх ду' в полярных координатах. Рспп еи и е. Рассмотрим фуякциоаал )З(х(х,у)] = ~ ~ (а„+з )ихиу. Уравнение Эйлера — Остроградского для фуякпиокала есть как раз уравнение ((). Перейдем в функцяоиале от декартовых координатам (р, ф): х = р соз ф, координат (х, у) к полярным Р = р ып гр Имеем дР др =сазф, — =5!пф, дх ' др 51п Ф де соз гр дх р ' др з Отсюда )7( (Р, ф))- ,~й (1 э дх е дх) +(Р др +ге др))рг(рдТ= ~ !Рга+ — гэ) йР йф. Составляя уравнение Эйлера — Остроградского для последнего интеграла, придем к уравнению Лапласа в полярных каординатах: 1 — г, + ргр„+ г,=о.

Р й 7. Поле экстремалей Семейство кривых у = р(х, с) образует собгтаенное пале а заданной области Тз плоскости хОР, если через каждую точку (х,р) эгай области проходит одна н только одна кривая сечеаства Р = р(х,с). Угловой коэффициент р(х,у) касательной к кривой семейства у = у(х, с), проходяшсй через точку (х, у), называется наклона и ло,гя а точке (х у) . Семейство кривых Р = у(х, с) образует г)енгральное поле в области 1) плоскости хОУ, если эти кривые покрывают без самопересеченнй всю область 0 и исходят из одной точки (хь Ра) лежашей вне области Р.

Тачка (лэн уо) называется центром пучка кривых. П р и м е р 1. Внутри круга х'+ р' '-' 1 семейство кривых Р = Се", где С вЂ” произвольная постоянная, в частности, С = О образует собственное поле, так как эти кривые нигде не пересекаются и через каждую точку (х,у) круга проходит одна 'и только одна кривая этого семейства (рис, 7). Наклон поля в произво.тьной точке (х,у) равен р (х, у) = Се = у. П р и м е р 2. Семейство парабол у = (х+ С)т внутри круга хэ + у* » 1 собственного поля не образует, так как различные кривые семейства пересекаются внутри круга в не покрываюг всю область (рис.

8). П р и ы ар 3. Семейство кривык Р = Сх образует централь-. ное поле в области х ~ О. 7В зкстРемум ФункциОнАлОВ !гл. и ргл. и 78 ЭКСТРЕМУМ ФУ4ПКЦИОНАЛОВ Образуют ли поле [собственное или центральное) слсдуюгц44е семейства кривых в указанных областях: 1 1 8 у С ! д х О (» х » (4 2 (» у »( 119. у= С ° сов х; х[» 4' б) 2»х»(тт' в) [х хт 2 ! 20. у = [х — С)'; — + —" » 1. 4 9 121. у=С(хв — 2х); а) О(»х <1; б) — ! =х~(3; в) —,(х» (—.

122. у = С з]п '[х — — '[; а) 4 ..х( 2, б) 8(»х»(п; в) 8(»х(2я. 123. у=в"+с; х'+ у'(1, Если поле (собственное нли цевтральное) образовано семейством экстремалей некоторой вариационной задачи, то оно пазы. вается полелг экстрелалей. П р и м е р 4. Рассмотрим функционал Х[у] = ~ д'з ох, о Его экстремалями являются прямые д = Сэх+ Ст. Семейство экстремалей д = Сз образует собственное поле, а семейство экстремалей д = С4х образует цевтральное поле с пентром в начале координат. 124.

Для функционала а ,4 [у[ = ) (у' + у ) 41х, а > О, о указать собственное и центральное поле экстремалей. 125. То же — для функционала пм э'[у[ = ) (у' — у + хе + 4)цгх, о ПОЛЕ ЭКОТРЕМЛЛЕЛ 79 $ т! Пусть кривая у = у(х) является энстремалью фуннцконала х, з(1!)= ~ В(х, у, у') йх, х! прохозяшей через точки А(хь рч) н В(хг, у!). Говорят, что экстремаль у = р(х) включена з собственное поле экстре>>алей, если найдено семейство зкстремалей ЕГ .9(х, С), образующее поле, содер>кашее при некотором значении С = Сз экстрелгаль 9 = у(х), причем эта экстре!>аль р = у(х) не лежит на границе области Ь, в которой семейство у = 9(х, С) образует поле.

Если пучок экстремалсй с пентроы в точке (хьуз) з окрестности экстремали у = у(х), проходящей через ту же точку, образует поле, то говорят, что нпййено центральное поле, включающее ланную экстремаль 9 = 9(х). За параметр семейства р = = у(х, С) принимается угловой коэффициент касательной к кривым пучка в точке (хь уч). П р и м е р Б. Рассмотрны простейшую варнационную задачу для функционала ! (01= ~ (р + 5!пз х) г(х.