М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения), страница 6

57. У [у[ = ) (х+ у) дх. й 58. 7[у[= ~ (уа — у')с(х. й 59. 1 [у)= ут(0) + [ (ху+ у')с(х. о 60. У [у[ = )г у' и! и у с(х. о 61. Найти вариацию функционала 7[ум у, ", у.)= = ) )(х, у, (х), ..., у„(х), у,'(х), ..., у' (х))ух й % з) ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОПАЛА 39 где ) — непрерывная функция своих аргументов, имею. тцая непрерывные частные производныеповсем своим аргументам в некоторой ограниченной области 6 изменения последних. и а и е ч а н и е.

Второе определение вариации функционала несколько шире первого в том смысле, по существуют функционалы, из приращения которых нельзя выделить гчавной линейной части, но вариация в смысле второго определения существует. Покажем это на примере фувкций, для которых сформулированное утверждение равносильно тому, что существование производных по любому направлению недостаточно для существования дифференциала фуниции. Пусть ) (х, у) = — Мп 2а (х'+ у' чь 0), )"х' + уе 2 где р и Ф вЂ” поляоные координаты точни (х, у).

частные произ. д] дг" водные — и — сушестнуют в каждой точке и в начале коордх ду динат равны нулю, но дифференциал и) не существует в начале координат. В самом деле, при наличии й) градиент функции в начале координат равнялся бы в этом случае нулю, а потому равнялась бы нулю производная по любому направлению й)(0, 0) — Между тем, как легко убедиться, й1 й[(0, О) ! й1 2 — з!п 2Ф, что вообще отлично от нуля.

Здесь гр — угол, образованный век. тором ! с осью Ох 5'. Вторая вариация фуницнонала. Функционал У[х, у), зависящий от двух элементов х и у (прннадлежащик некоторомули нейному пространству), называется билинейным, если при фиксированном х он представляет собой линейный функционал от у, а при фиксированном у — линейный функционал от х. Таким образом, функционал У(х, у] билинеен, если У[а,х, + а,хм У) = а,У[хо У] + а,! [хь У) у [х ])~у1 + Втуз] = р~у (х у~) + [)еу (х уз] Полагая в билинейном функционале у = х, получаем выражение У[х, х], называемое квадратичным Функиионалом.

Билинейный функционал в конечномерном пространстве на. аывается билинейной формой. Квадратичный функционал У[х, х] называется положительно определенным, если У [х, х] ) 0 для любого ненулевого элемента х. 1гл. П экстремум ФуызщВОВдлОВ Например, 1) Выражение г'[Х, р[= ) А(1) х(Г) р(!)аг, а представляет собой пример квадратичного функционала, определенного для всех функций иэ пространства С,[о, Ь[, 3) Интеграл Ь Ь ц (5, г)х(5)р (1)о54Й, а а где К(5, Г) — фнкснрованпая фтнкцня двух переменных, является билинейным функционалом в С[а, 6[. Определение.

Пусть У[у) — функционал, определенный в каком-либо линейном нормированном пространстве. Мы скажем, что функпнонал У[у) имеет вторую вариацию, если его прирагцение йг = 5[у+бр) — У[у) можно записать в виде ЬУ=С [бр[+ — ) [Ой[+0)бр[[э 2 (18) где С1[бр[ — лннейный функционал, Ьз[бу) — квадратичный функционал, а В-ч-О прн [166)[-+ О. Квадратичный функционал Сз[бу) будем называть второй вариацией (вторым дифференциалам) функционала /[у) и обозначать Ьзз. Вторая вариация функционала (если она сушествует) апре. делается однозначно. Пример 19, Найтн вторую иариацню функционала ! /[у) *:* ~ (хуг + у' ) В.г, о определенного в пространстве С1[О, Ц функций р(х).

где А(г) — фиксированная непрерывная функция, представляет Ь собой билинейный функционал, а [ А(Г) х'(1)Ж вЂ” квадратичный функционал в пространстве С[а, 6), причем если А(Г) ) О прн всех Г гм [а, Ь), то этот квадратичный функционал будет положительно определенным. 2) Выраженяе Ь ~ [А (Г) хз (1) + В (Г) х (Г) х' (Г) + С (Г) х' (1) [ г(1 а у и и нкциоидл, вариация еункциондлл И Решекие. Имеем ау=у[у+ау)-у[у[ ! ...

(],(у+Ьу) +(у +Ьу) — ху -У ]Л»- о 1 ]2»УЬУ+ » (Ьу)т+ Зу Ьу +ау (Ьу ) + (ЬУ ) ] г!» а ° ~ (2ху Ьу + Зу' ЬУ') г(х+ о 1 1 + ~ [»(Ьу), [ Зу«(ЬУ)т[г(„.[ ~ (Ьу)зг(х. (!9) При фиксированном у(х) первое слагаемое правой части (!9)' есть линейный относительно Ьу(х) функционал; второе слагае.

мое правой части есть квадратичный функционал. Наконец, последнее, третье слагаемое правой части допускает очевидную оценку ], ::(Ьу)'с(х - .(шах [Ьу' [)т ] [Ьу' [г(х» ) [Ьу' [г(х [[Ьу![а (норма в смысле пространства Сйо, ([), откуда видно, что это слагаемое представимо в виде Р [[Ьу[!т, где р-«О прн !!Ьу[!-«О. Согласно определению, данный функционал имеет вторую варна. цню ЬЧ и она равна ! ЬтУ 2 ~ [х(ЬУ)т+ Зу' (Ьу'~! Лх. о 62. Доказать, что квадратичный функционал диф. ференцируем, и найти его вторую вариацию. 63. Написать вторую вариацию функционала е "ю), где г" (у) — дважды дифференцнруемый фуикч ционал. 64, Показать, что функционалы вида ь 1 (у]= ~ го(х, у, у')с[» а ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦНОНАЛОВ (гл.

и 42 в пространстве Сг(а,(г] являются дважды дифференцируемыми, если подынтегральная функция г обладает непрерывными производными до третьего порядка включительно, и найти выражение для второй вариации. Введем функцию Ф(а) = У[у+ сгбу].

Вторая вариации бгу функционала У[У] опредютяется также через вторую производную функции Ф[ц] в точке а = 0: ДтФ(о) ( бУ— Для функционалов интегрального типа, которые мы будем преимушсствеяно рассматривать, оба этн определения совпадзют. Найти вторые вариации ь 65. У(у] = ] г" (х, у, у', ..., уь"г]гух. и 66. У(у]= ] ] У(х, у, г, х„, аа)с[хе[у. ь 67. У(у„., уа]= ] Р(х уг ...

у„, у'ы ..., у„')с[х. а 6'. Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума, Говорят, что функционал У[у(х)] достигает на кривой у = уа(х) максимума, если значения функционала У[у(х)1 на любой близкой к у = уа(х) кривой не больше, чем У[ур(х)1, т. е. АУ = У [у (х)1 — У [уз (х)] ~~О. Если ЛУ ( О, причем ЛУ = О только при у(х) = У,(х), то говорят, что на кривой у = у,(х) достигается строгий максимум. Аналогично определяется кривая у = уа(х), на которой реа. лизуется минимум. В этом случае ЛУ ) 0 на всех кривых, близ.

ких к кривой у = уи(х), П р им е р 20. Показать, что функпионал У [у (х)] = ] (х' + у') г(х о на кривой у(х) — О достигает строгого минимума. $ з) ФУнкционАЛ. нлпиАИНЯ ФУнкциОБАЯА бй Р еще н не. Для любой непрерывной на [О, 1) функции у(х) имеем 1 1 1 АУ= У [у (х)) — У [О) = ~ (ха+ уэ)йх — ~ хт йх = ~ у'йх ) О о о о причем знак равенства достигается только при у(х) — = О.

Сильный и слабый экстремумы. Говорят, что функпиона.т У[у(х)) достигает на кривой у = у,(х) сильного относительно ч максимума, если для всех допустимых кривых у = у(х), расположенных в некоторой е-окрестности нулевого порядка кривой У = уь(х), имеем У [у (х)) ( У [у, (х)). Аналогично опрелеляется сильный относительный минимум фуннпионала. Говорят, что функционал У[у(х)) достигает на кривой у = = уь(х) слабого относительного максимума, если для всех допчстимых кривых у = у(х), расположенных в некоторой е-окрестности первого порндка кривой у = уь(х), имеем У[у(х)) (У [у,(х)[.

Аналогично определяется слабый относительный миниму.ч функционала, Максимумы и минимумы (сильные и слабые) функционала У[у) называют относительными экстрелгумами. Всякий сильный экстремум есть в то же время и слабый, но не наоборог. Экстремум фуч1кционала У[у) на всей совокупности функций, на которых оц определен, называется абсолгогньгм экгтремумо.ч. Веяний абсолютный экстремум является слабым и сильным относительнылг экстремумом, но не всякий относительный экстремум булет абсолютным.

П р им е р 21. Рассмотрим функциона,ч у[у(х))= ~уэ(1 — у )йх о в пространстве функций у(х) гн С,[0, и), удовлетворяющих условию у(О) = у(п) = О. Отрезок [О, и) оси Ох дает слабый минимум У. В самом деле, для у — 0 имеем У = О, а для кривы:г, расположенных в е-окрестности первого порядка этого отрезка, где е — любое положительное число, чсныпее единицы, имеем [у') ( 1, так что подыитегральнос выРажение почожительно прн у чь 0 и, следовательно, функционал обращается в нуль лишь при у = О.

Значит, на функции у = 0 достигается слабый минимум. ЭКСТРЕМУМ ФУНКННОНАЛОЭ [ГЛ. 4й Сильный же минимум не достигается, Достаточно положить 1 у(х) — з!п лх, ]> л Тогда Х [у (хЦ = — 5!п пх (1 и соз лх) >>2 и и а 1Г, 1Г. и и = — [ ьбпгпх>!х — — [ и!п>2л»лги= — —— и,[ 4,[ 2п 8 о о 1 У[у] = ] х'у' г(х, у(-Ц= — 1, у(!) = 1, -1 Имеем >[у] > О на отрезке [ — 1, Ц, причем >[у] = О только при у'(х) ~ О, т.

е. у(х) С= сопя!. Функпия у(х) = С принадлежит к классу С,[ — 1, Ц функции, имеющих иа отрезке [ — 1, Ц непрерывную производную первого порядка, но ие удовлетворяет заданным краевым условиям. Следовательно, >[у].з 0 для всех у(х) ш С>[-1, Ц, удовлегворяющих условиям у( — !) — !. у(Ц = 1. Таким образом, функционал имеет нижнюю грань, ио она не достигается нз кривых у(х) ш С>[ — 1, Ц. В самом деле.

рассмотрим однопараметрическое семейство кривых х агс!д— а уо(х) = 1 > агс12— а а) О. Эти кривые удовлетворяют краевым условиям уи ( — Ц вЂ” 1, уа(Ц 1. В пределе при а-гО получим функцию 1; — !, если — ! ~<х <О, у(х) О, если х=б, ~ +1, если 0<хе~1, йлн у(х) = зип х (рнс. 3), Эта функция прйнейлшкит >г классу фуйкцйй, кусочно-дифференцируемых на отрезке [-1, Ц. и при и достаточно большом для нап>их кривых Х ( О.