М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения), страница 5

вариация скнкционллл з) Решение. Положим у(х)=х'+ ац(х), где Ч(х)евС [О, 1], а — как угодно мало, / [у (х)] = / [х' + ат) (х)] = ~ хз Уг 1 + (хз + ап (х))з г(х о 1 = ~ хз )г 1+ к'+ 2ахтт)(х) +азт)з(х) йх. Переходя к пределу пра а — О, получим из зтого равенства ! Пш /[у(х)] = ~ ха у'1+ х'ух=/[х'], 'и.+о о что и означает непрерывность функционала на функции уо — — хз.

О п р е д е л е н и е. Пусть М вЂ” линейное нормированное пространство функций у(х). Функционал С[у(х)], определенный в пространстве М, вазывается линейным, если он удовлетворяет условиям: 1) Е [су (хК = с ° Е [у (х)], где с — произвольная постоянная, 2) /. [У,(х)+ уз(х)] = С [у, (х)]+ /. [Уе(х)], где у| (х) ом М и уз (х) ов М. Например, функционал ь ь [у (х)] ~ [у' (к) + у (х)] йх, и определенный в пространстве Сг [и, Ь], очевидно, является линейным.

Другое определение линейности функциояала: Функционал и[у(х)) называется линейным, если он 1) непрерывен н 2) для любых у,(х) ~М и у,(х) омМ удовлетворяет условию А [у, (х)+уз(хЦ= Ь [у, (х)]+ Е [уз(х)]. 42. Показать эквивалентность приведенных выше определений линейности функционала. 43. Показать, что функционал Е(у(х)) = у(хо)— линейный. 44. Показать, что если Цу(х)) — линейный функционал и отношение [У )] -ь О при [[у(х)][-ьО, 11У(к) 11 ло Е[у(х)] — О. вкстрвмнм эннкциондлов, (гл.

и 3'. Вариация функционала. Пусть функционал 1[у(х)] задан иа множестве М функций у(х). Приращением функционала 1[у(х)], отвечающим приращению бу(х) аргумента, называется величина бХ ау[у(хЦ 1[у(х)+бу(хЦ вЂ” 1[у(хЦ (1О) (бу (х) = у (х) — у (х), где у (х) я М, у (х) ш М). Пример 13.

Найти приращение функционала ! 1 [у(хЦ = ~ у(х) у' (х) с(х, о определенного в пространстве С,[а, Ь], если у (х)=х, у,(х)=хз. Р еще вне. Имеем ! ! ! бХ= Х [х') — Х [х] = ~ х'2х !(х — [ х ° 1 ° Ех = [ (2х' — х) !(х=О. 45. Найти приращение функционала, рассмотренного в примере 13, положив у(х) = е', у!(х) = 1, О и р е д е л е н н е. Если приращение функпнонала бХ = Х [у (х) + бу] — 1 [у (хЦ можно представить в виде бХ = б (у (х), бу) + Р (у (х), ау) [[бу]], где Цу(х), бу) — линейный по отношени>о и бу функционал н р(у(х), бу) -ьо при [бу][-~-0, то линейная по отношению к бу часть прирашения функционала, т.

е. Цу(х), бу], называется вариачиеп функчиоиала н обозначается бх. В агом случае функционал 1[у(хЦ называется дифференнируемым в точке у(х). 46. Показать, что вариация бУ функционала У [у(х)) (если она существует) определяется единственным образом. Прим е р 14, Показать, что функционал ь 1[у(хЦ ~ у(х)!(х, а заданный в пространстве С [а, Ф], дифференцируем в каждой точке у(х) этого пространства, йа) ' ' 'ФункциОВАл. ВАРиАция ФункционАлА 33 Р е ш е н и е. ЬУ У [у+ Ьу] — У [у] ь ь ь [ [у(х)+ ау(х)] г[х — ~ у(х) ~Хх= [ бу(х) г(х.

ь Таким образом, ЬУ= ] бу(х) г[х. Это и есть линейный а функционал относительно бу(х). В данном случае все приращение функционала гвелось к линейному ф>нкцноналу относительно Ьу(х). Рассматриваемый функционал дифференцнруем в каждой ь точке у(х) и его вариация ЬУ= ~ бу(х) г[х. а 47. Показать, что всякий линейный непрерывный функционал У[у] всегда дифференцируем. Пример 15, Показагь, что функционал У [у] = ~ ут (х) г[х, л определенный в пространстве С[а, Ь], днфференцируем в каждой точке у(х). Решение.

Имеем ЬУ ~ [у(х)+бу(х)]зух — ~ у'(х)нх а а ь ь = ] йу (х) Ьу (х) пх + ~ (бу (х))' пх. (11) а а Первый интеграл в правой части (1П при каждой фиксированной функции у(х) является ливейным относительно бу(х) функционалом. Оценим второй интеграл в правой части (11), Имеем ь ь ] (бу (х))т г(х ] [ бу (х) [' Ух (~ и а ь ч~( пгак ]Ьу(х)] )ь ~ г[х (Ь вЂ” а) [Ьу(х)]ь ч а<а<а ((Ь вЂ” и) [] Ьу ]] ) й Ьу ][.

1гл. ц Вкстремум ФункциОнАлОВ Прн 1йу 1~ -> О величина (Ь вЂ” а) )! Ьу 11 -+ О. Таним образом, прирашение АХ фунннионала представимо в виде суммы Цу, йу) н добавки, имеющей второй порядон малости относительно 1Ьу1. Согласно определению, данный функцио»ал является дифференпируемылз в точке у(х) и его вариация ЬУ = 2 ~ у (х) бу (х) Их. в 1 48. Для функционала У[у(х)]= ] ух(х)г(х полоо жить у=2х, Од=ах' и сравнить ЬУ с Ы при а =1; — 0,1 00!. 1 49.

Для функционала У[у(х)]= ~ хуз(х)1)х полоо жить у=а, Ьу= ах. Сравнить оУ с ЬУ при а=1; 0,1; 0,01. 50. Проверить дифференцнруемость следующих функционалов: 1) У [у]= у(а) в пространстве С[а, Ь[. 2) У [у] = у(а) в пространстве С, [а, Ь]. 3) У[у]=]1 1+ у' (а) в пространстве С, [а, Ь]. 4) У [у] =) у (а) ) в пространстве С [а, Ь]. 51.

Показать, что функционал Уа[у] днфференцируем, если дифференцируем У[у]. Написать вариацию Уз[у] 52. Показать„что функционал У [у] = ] У (х, у (х)) г(х, а определенный в пространстве С[а, Ь], где У(х,у) — непрерывная функция своих аргументов, обладающая непрерывными частными производными до второго порядка включительно в области а ( х ( Ь, 4 з! ФУИКЦИОИАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА дб — оо ( у а" +со, диффереицируем и его вариация имеет вид ь ЬГ= У д](" У) бу(х)г]х Пример 16. Рассмотрим функционал 2 [у] = ~ Г(х, у (х), у'(х)) дх, определенный в пространстве С,[а, Ь) непрерывных функций у(х) на отрезке [а, Ь], обладающих непрерывнымн производнылли чаро ваго порядка. Функция ](х, у, у') непрерывна по совокупности своих аргументов н имеет непрерывные частные производные да 2-го порядка включительно в области а(~х<Ь, — со<у<+оо, — оо<у'<+со.

Найдем приращение функционала б|, отвечающее приращению бу(х) аргумента, где бу(х) лю С, [а, Ь]. Имеем ЬГ[у(х)] = / [](х, у+ бу, у'+Ьу') — Г(х, у, у')] дх. (12) а По формуле Тейлора ](», у+ Ьу, у'+ бу') — ](х, у, у') = = — Ьу+ —, бу'+ л2(х, у, у', бу, бу'), (13) д] д] ду ду' где й(х, у, у', бу, бу') — остаточный член формулы Тейлора. Подставляя (13) в (12), получим ЬГ [у(х)] = ~ ~ — Ьу+ —, бу ) л(х+ Г гд] д] и' [ду ду' а ь + ~ )г (х, у, у', Ьу, Ьу') дх. (14) а Первое слагаемое в правой части (14) линейно относительно бу и Ьу'.

Пусть асс вторые часюлые производные функции ](х, у, у') по у и У' не превосходят по абсолютной величине некоторой экстремум Функцнондлов 1Гл. и Зб ЬУ [у[= [ [ — бу+ — бу') дх. ! Уд[ д[ ,[ [ду ду' ((б) П р и м е р 17. Найти вариацию функционала 1 У [у) = ) (у е" + ху ) дх, -! Реюе и и е. Функция [(х, у, у') = у'аз+ ху', очевидко, иепрерывиа по совокупности переменных х, у и у', имеет частные производные всех порядков по у и у', ограниченные в любой ограниченной области изменения перемеииых у и у'. Поэтому даииый функционал диффереицируем в пространстве С,[ — 1, !1 и его вариация согласно формуле (!5) равна 1 ЬУ= ) [(у'ек+ 2ху) бу+ е" бу [ Их. -! бб. Для функционала е У [у (х)1 = — ) (у'у+ ху')гКх 1 положить у=!пх, Ьу=,, и сравнить Ы[у(х)[ Ь (х — 1) с ЬУ[у(х)[ при 1=1; О,1; 0,01.

.54. Для функционала Х [у (х)[ = ) (х'у' — у') с[х о. положить у = хз, Ьу = Узхз; сравнить Узу [у (х)1 с ЬХ [у(х)1 при й = 1; 0,1; 0,01. константы М ) О в ограиичеииой по у и у' области. Тогда справедлива оценка ь ь / [Й(х, у, у', Ьу, Ьу') [дхК2М ) [[Ьу[здх 2М(Ь вЂ” а)[бу[з, и о Здесь [бу[ юах ([бу[, [Ьу'[). Таким образом, второе а~х~ь слагаемое в правой части (14) — второго порядка малости отиосительно [бр~[. Следовательно, согласно определению, фуккциоиал У[у[ диффереицируем в пространстве С,[а, Ь[ и его вариация имеет вид й з) "-' еичкциондл. вариация оункционалд зу бб. Для функционала г [у(х)[= [ у' з(п Мх полое жить у = з1п х, бу = Й соз х; сравнить Ы [у (х)] с б|[у(х)[ для й= — 1; 0,3; 0,03. бб. Показать, что если функция((х, хь гз, ..., х +г) имеет непрерывные производные 2-го порядка по всем аргументам в области а ( х ~Ь, — оо < х» < + оо (Й=1, 2, ..., т+ 1), то функционал У[у[= ~ [[х, у(х), у'(х), ..., у1'"1(х)]г(х а дифференцируем в пространстве С„[а, б] и его вариа- ция имеет вид б.( = [ [ — бу + —, бу + ...

+ — бу1м') г(х. (16) 1 lд) д) г д) [, ду ду' дугыг й 4'. Второе определение вариации функционала. Вариацией функг1ионало Х(у(хЦ в точке у = у(х) называется значение производной функционала г'(у(х) + гсйу(х)) по параметру а, когда а=о: йу- д у(У(х)+оЬУ(х))(, э, д Вели существует вариация функционала как главная линейная часть его приращения, т. е. в смысле первого определения, то существует и вариация как значение производной по пара. метру а при сз = О н этп вариации совпадают. П р и и е р (З. Пользуясь вторым определением, найти вариацию функционала ь ! [у (х)1 ~ у'(х) г(х. О Решение.

Вариация этого функционала в смысле первого определения равна ь йу 2 Г у (х) Ьу (х)г(х а экстивмум оинкционалов (гл, и,. (см. пример !б). Найдем иариацию функционала 1Ь), пользуясь вторым определением вариации. Имеем ь УЬ(х)+ аби(х))= ~ Ь(х)+аби(х))тдх. й Тогда — Х [у + а бу) = 2 ~ (у + а бу) бу дх д да й и, следовательно ь бт= — У(у+аду) [ =2 ~убуд . д й Вариации функционала в смысле первого и второго опредеа лений совпадают. Для следующих функционалов найти вариацию в соответствуюших пространствах в смысле второго определения.