М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения), страница 8

Поназать, что не через всякие две точки плоскости с различными абсциссами можно провести зкстремаль функциокала ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ - [ГЛ, 1В 1 Интегрируя, находим — ут — С или )'~+ р' (С вЂ” у') туУ[+у" Отсюда о гт — тг — ср (12) уа — С где С вЂ” вещественная постоинная. Нетрудно проверить, что для всех значений у, удовлетворяющих, например, условиям О ( у ~ Ь, где Ь) у'2, ни при каком допустимом значении постоянной С правая часть (!2) не будет вещественной, 80.

Показать, что через любые две точки плос кости проходит одна и только одна экстремаль функ. ционала ХЬ(~Н=) )'[+у'+у"г(~. П р и м е р 7, Доказать, что вснкое уравнение у" (х) = [(х, у, у') (13) является уравнением Эйлера для .некоторого функционала 1 (у(х)) = ) Р(х, у, у') г[х. (14) 1) Как определяется функция Р(х, у,у') по функции 1(х,у,у')7 2) Найти все функционалы, для которых экстремалями являются прямые (15) у(х) = С,х+ С,.

Р с щ е н и е. Будем искать функционал, для которого уравнение Эйлера совпадает с уравнением (13). Это значит, что должно иметь место тождества по х, у, у'. Ру — Р„„— Р„у ° у' — Р„,у. ° [(х, у, у') ~ О. дифференцируя это тождество по у', получим Раух+Раун У +Руну !+Руу гу Положим и =Р„„, тогда для функции и получим уравнение в частных производных: — + у' — + 7 —, + )„'. и О. дп , ди ди дх ду ду' (16) а 41 простдтгшдя 3АЦАчА Таким образом, нахождение функционала, т.

е. нахождение функции р(х,у,у'), сводятся я интегрированию линейного урав- нения в частных производных (16) и к последующей квадратуре. Рассмотрим вто)юй вопрос. В этом случае уравнение Эйлера должно иметь внд у' = О н для функции и получаем в силу (16) уравнение ди , ди — + у' — О. дх ду Проннтегряруем это уравнение.

Уравнение характеристик имеет внд дх ду ду' 1 у' О Интегрируя эту систему, получаем у'=Со у С,х+С„ откуда С, у — ху'. Поэтому общее решение уравнения (!7) таково: и (х, у, у') Ф (у', у — ху'), где Ф вЂ” произвольная дифференцируемая функция своих аргу- ментов. Отсюда е с (х, у, х) = а (х, у) + а() (х, у) + ~ (х — !) Ф(С у — !х) д(, (!8) о где и(х,у) н 8(х,у) — произвольные функции своих аргументов, удовлетворяющие соотношенню да дй ду дх' Из решения видно, что существует бесконечное множество варна- ционных задач, для которых уравнение (13) является уравне- нием Эйлера. Простейшие случаи интегрируелости уравнения Эйлера.

!'. с" не зависнт от у': с" = с(х, у). В этом случае уравнение Эйлера имеет вид се(х, у) =О. Решение этого конечного уравнения не содержит элементов произвола и поэтому, вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям у(а) = А, у(Ь) = В. Лишь в исключительных случаях, когда кривая (19) проходит через граничные точки (а,А) и (Ь,В), существует кривая, на которой может достигаться экстремум. Пример 8. Найти зкстремалн функционала я!2 у(О)-о, у(-")--". зкстрвмхм фшзкциондлов (гл. и Решение.

Уравнение Эйлера имеет вид 2х — 2у=О, г е. у = х. Так как граничные условия удовлетворяются, то на пряи!2 мой у=.т интеграл ] д(2х — у) с(х может достигать экстремума. о /и) При других граничных условиях, например, у(0] = О, у [ — ] ( ° ( 2,] экстремаль у = х не проходит через граничные точки (О, 0) и Л вЂ” !), так что прв этих граничных условиях вариаццонная за- 2' дача не имеет решения. 2'.

г" зависит от у' линейно, т. е. д(х, у, у'] = М (х, у) + У(х, у) дй Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид дМ дУ вЂ” — = О. ду дх (20) Полученное уравнение, как и э случае !', является конечным, а не дифференциальным уравнением. Кривая, определяемая урав- дМ дУ пением — О, вообще говоря, не удовлетворяет граду дх ничвыч условиям, и, значит, вариационная задача, как правило, не имеет решения в классе непрерывных фчннций, Если в не- дМ дУ которой области В плоскости хОд — ' — — ' =— О, то выражеду дх ние г"(х, у, у') = М(х, у)г(х+ У(х, у)с(у является полным дифференциалом и функционал Х [у (х)] = ~ г (х, у, у') г(х = ~ (М дх + У г(у) <а, л> не аависит от пути интегрирования: значенне функционала Х[д(х)] — одно и то же на допустимых кривых.

Еариациоиная задача теряет смысл. Поим е р 9. Исследовать на экстремум функционал ь Х[у (х]] = ~ (у'+2хуу') г(х, у(а) = А, у(Ь) = В. а Ре ш е н и е. Здесь Г линейно зависит от у'. Имеем дМ дУ дМ дУ вЂ” =2д, — =2у и — — — = О, ду ' дх ду дх значит, подынтегральяое выражение (у' + 2хуу') Ых есть полный дифференциал.,Следовательно, интеграл не зависит от пути простнишля злдлчл интегрировании; ь <ь, в) з (у (х)) = ~ (уз ь(х+ 2ху Уу) ~ з((ху') (а, А) «У )к=а по какой бы кривой у(х), проходящей через точки (а,А) н (Ь, В), мы ни интегрировали. Вариациониая задача не имеет смысла, 3'.

Е зависит лишь от у', т. е. У = У(у'). Уравнение Эйлера имеет вид У °,у" = О. а'я' (21) В этом случае экстремалями являются всевозможные прямые линии у = С~к + Сх, где С1 и Сз — произвольные постоянные. П р и м е р 1О. Найти экстремалн функционала ь з(у(хЦ= ~ )Г 1+у'*(х) дх, у(а)=А, у(Ь)=В. а Этот функционал определяет длину кривой, соединяющей точки (а,А) и (Ь,В).

Геометрически задача сводится к разысканию кратчайшей линии, соединяющей данные точки. Решение. Уравнение Эйлера имеет вид у" (х) = О. Общее решение у (х) = С,х+ Сз. Экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям у(а) = А и у(Ь) = В, есть, очевидно, прямая, проходящая через точки (а,А) и (Ь, В):  — А у= — (х — а) + А. Ь вЂ” а 4', Г не зависит от у, т. е. г = г (х, У'). А В этом случае уравнение Эйлера — У, (х, у') = О, откуда ах и' гя'(х у ) =Со (22) где С~ — произвольная постоянная. Уравнение (22) есть дифференциальное уравнение первого порядка.

Интегрируя его, находим экстремали задачи. !ГЛ. 1Т ВКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ Пример 11. Среди кривых, соединяющих точки А(1, 3) и В(2, 5), найти ту, на которой может достигаться экстремум функционала э 7 [у (х)) ~ у'(х) (1+ хту' (х)) г(х. 1 Р е ш е н и е. Так как Р не зависит от у, то уравнение д Эйлера имеет внд — г",(х, у') =О, нли — (1+ 2хту')=О, дх з' ' = ' с(х откуда ! + 2хту' = С1. С,— ! С, .

1 — С, Тогда у'= —, так что у (х) = — + Сэ, где С, = 2хз Таким образом, экстремалями является семейство гипербол. Выделим экстремаль, проходящую через заданные точки. Для определения постоянных С! и Сэ составляем систему з=с",+С,, 5- — 4 С„) С 4 откуда С'= — 4, Сз — — 7. Искомая экстремаль у(х)=7 — —, 1 ' 2 х 5'. г" не завнсит явно от х, т. е. г"=г" (у, у').

В этом случае уравнение Эйлера прнннмает внд —, ° д' — г",, ° рл = О. и ээ' и'э' Умнозкив обе части этого уравнения на у', в левой части полу. 1( чнм точную производную, т. е. — (г" — у' ° г",) =О, откуда г(х (23) Р-д" Р,=СР з' где С, — произвольная постоянная. Это уравненне может быть проинтегрнровано путем разрешения относнтельно р' н разделения переменных нли путем введения параметра. П р н и е р 12.

(Наименьшее сопротивление потоку.) Определнть форму твердого тела, движущегося в потоке газа с наименьшим сопротивлением. Будем для простоты рассматривать тело вращения (рнс. 4). Решение. Считая, что плотность газа достаточно мала н молекулы отражаются от поверхности тела зеркально, для нор. мальной составляющей давления будем иметь следующее выра жение! (24) р = 2роз з!пз О. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА Здесь р — плотность газа, о — скорость газа относительно тела,  — угол между скоростью и ее тангенциальной составляющей, Давлеиае перпендикулярно к поверхности, так что можно Рис.

4. записать составляющую силы по осн Ох, действующую на иольцо шириной (! + р' )" с(х и радиусом у(х), в виде гзг =2роз з!п 8 (2пр(! + р' ) ~ з!ой ггх. (2б) Чтобы упростить задачу, предположим з!пЕ-, у р. (1+ и")'* Тогда сила сопротивления будет равна ( Р 4проз ~ р' ус(х.

,з о (22) Задача состоит в том, чтобы найти такую функцию у(х), при которой Р принимает наименьшее возможное значение, причем р(о)=о, р(!)-а (28) Полная сила, действующая в положительном направлении оси Ох, равна ! Г ~ 4проз з!пз Ву(! + р' )Й г(х. (26) о экстрнмум оункциондлов 88 (гл. и Ураввение Эйлера для функционала (27) имеет вид у'-3 — "(уу") =О. т(х (29) Частное решение у = 0 этого уравнения неприемлемо в салу граничных условий (28). Уравнение (29) можно переписать в виде у' + Зуу'у" =О. (30) Умножая обе части (30) на у', замечаем, что левая часть есть (у "у)'.

Интегрируя, найдем э з У' У= Си Отсюда Уэ и У (С!х+ сз)й С, э (31) Используя граничные условия (28), получим )(~й — С =О. откуда т. е. контур с заданными конечными точками, при котором сопротивление тела минимально, яв.тяется параболой степени 3/4. П р в м ер 13. Найти экстремаль функционала ь 7(у(х)] = ~ дх, а проходящую через заданные точки (а, А) и (Ь, В), лежащие в верхней полуплоскости. Р е ш е н и е. Так как подынтегральная функцин не содержит янно х, то уравнение Эйлера согласно (23) даст )/! + у' 1 После упрощений получим у )' 1+ у' = Со где С) = —. с, ' Интегрнрун последнее уравнение, найдем (х + Сг) + у = С,.— г семейство окружностеи с центром на оси Ох.

Искомой будет та экстремаль, которая проходит через заданные точки. Задача имеет единственное решение, так кэк через любые две точки, прбстепшдя 3АдАчд лежащие в верхней полуплоскости, проходит одна и только одна полуокружность с центром на оси Ох. 3 а м е ч а н и е. Согласно принципу Ферма путь светового луча, распрастраняющегоси в неоднородной двумерной среде со скоростью о(х, у), является зкстремалью функционала х~ г() ~ )т )+у й хт Если скорость света о пропорциональна р, то как видно из разобраяиого примера, световые лучи представляют собою дуги окружностей, центры которых лежат на оси Ох.