М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения), страница 7

С дру. гой стороны, все зти кривые при л достаточно большом лежат в сколь угодно малой окрестное~и кулевого порядка кривой у = О. Итак, сильный минимум не достигается прн у = О. Пример 22 (Вейерштрасс). Рассмотрим функционал- > 'й й) ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУИЗЩЗГОНАЛА лй 1!меем 1 ах* дх 1[у.)- ~ ня (аз + ) агс(яз ! а 1 2а Г х'дх 2а ! 11 11 — а агс1н — 1, , ! 3 а'+ х-' а!' агс!йз — о асс!язв а а Ясно, что 1[уа)-нб при а-нО. На предельной функции у(х), удовлетворяюп1ей ираевым условиям у( — !) — !, у(1) = 1, функционал 1[у) привимает значение, равное нулю: 1[у) = О. ис.

3. Таким образом„функционал 1(у) достигает своего минимума на кривой у(х) = зйпх, которая принадлежит к классу функций, кусочно-дифференцируемых на отрезке [ — 1, 1[, во не принадлежит классу С1[ — 1, !). Те о р е и а (необходимое условие экстремума функционала). Если дифференцируемыд функционал 1[у(х)) достигает экстремума при у = уэ(х), где уз(х) — внутренняя точка области определения функционала, то при у = уз(х) имеем б1 [уз (х)) - Ог (2О) функция, лля которых йу = О, будем .называть стационар. мыми функциями. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ (гл. и Используя необходнмое условие экстремума (20) и основные леммы вариационного исчисления [15), найти функциональные уравнения для определения стационарных функций следующих функционалов: ь ь 68, 7 [ф[= ) ) К(з, ()ф(з)ф(() г(зс(1+ + ~ ф'(з)с(з — 2 ~ф(з)((з) (з, где К(з, () — заданная непрерывная симметрическая (а~(з (Ь) функция от з и ( в области ьх ~ ~; ) (з) — за.

[пС(~Ь ~' данная непрерывная функция на [а, Ь]; ф(з) — иско. мый непрерывный функциональный аргумент. 69. У[ф[= [ [р(х)ф' (х)+2ф(х+1)ф(х — 1)—  — фе(х) — 2гр(х)((х)] г(х, где функциональный аргумент ф(х) непрерывен и имеет кусочно-непрерывные производные во всем ин- тервале — оо ( х ~ +со; р(х) имеет непрерывную производную, ((х) — непрерывна, к, 70. г'[ф[ = ) [р(х) гр' + г)(х) фа(х) — 2ф(х) ((х)~с(х, кч ф(хе) = ф„ф(х,) = фь где р(х) имеет непрерывную производную, г)(х) и )(х) непрерывны н функциональный аргумент ф(х) дважды непрерывно дифференцнруем. й 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера Пусть функция Г'(х, р, р') вмеет непрерывные частные проивводные по всем аргументам до второго порядка включительно.

Средк всех функций у(х), имеющих непрерывную производную и удовлетворяющих граничным условиям р (а) = А, р (ь) = В, йл) лноатейшАя зАддчА найти ту функцию, которая доставляет слабый экстремум функ- ционалу Ь г'[у(х)) = ~ Р(х, у, у') йх. а (2) Другими словами, простейшая задача вариационного исчисления состоит в отыскании слабого экстремума фуннционала вида (2) на множестве всех гладких кривых, соединяющих две заданные точки Р,(а, А) и Р,(Ь, В). Теорем а 1. Для того чтобы функционал (2), определенный на множестве функций у = у(х), имеющих нелрерэюную первую производную и удовлетворяющих граничным условиям (1), достигал на данной функции у(х) экстремума, необходимо *), чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями (лагранжевы кривые).

Уравнение Эйлера в развернутом виде: ун (х) Р„,„, + у' (х) Р„,, + Р„„. — Р„= О (Р„.„. Ф О). (4) Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение второго парадна, так что его общее решение должно зависеть от двух произвольных постоянных. Значения этих постоянных, вообще говоря, определяются нз граничных условий (1). Экстремум функпиочала (2) может реализоваться только на тех экстремалях, которые удовлетворяют условием (1). Краевая задача й Р— — Р,=О, и йх в у (а) = А, у (Ь) = — В '[У (х)) = ~ (Ум — 2хр) дх, У(1)=О, у(,) *) Это условие необходимо для слабого экстремума. Так как всякий сильный экстремум является в то же время и слабым, то любое условие, необходимое для слабого экстремума, необходимо и для еильного.

не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным. П р и и е р 1. На каких кривых может достигать экстремума фунипионал 3 1ГЛ. !Т ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ Решение. Здесь Р(х, у, р') = у" — 2ху, так что уравнение Эйлера имеет вид йл+ х = О. Общее решение уравнения сзйлера есть хз у(х) = — — + С,х+ Сз. 6 Граничные условия дают систему линейкык уравнений для определения С~ и Сз: 1 С,+С,= —, 6 2 2С,+С, 6' 1 Отсюда С,= —, С, О.

Следовательно, экстремум может до- 6' стигаться лишь на кривой х р — (1 — х'). 6 П ример 2. Найти экстремали функционала з'(у (х)] = ( (Зх — у) у да, ! ! удовлетворяющие граничным условиим р(1) 1, у(3)=4 —, 2' Р е ш е н и е. Уравнение Эйлера имеет вид Зх — 2у = О, 3 откуда р(х) — х. 2 3 Так как экстремаль у = — х не удовлетворяет условию 2 и(1) = 1, то данная аариационная задача решения не имеет, П р и и е р 3. Найти экстремали функционала зя У(у (х)) = ) (и'~ — йл) бх, о удовлетворяющие граничным условиям у(0) = 1, у(2к) = 1. Р е ш е н и е.

Уравнение Эйлера имеет вид р" + у = О; его общим решением является р(х) С~ созх+ Сз з!их. Нспольэуя граничные условия, получим р(х) созх+ Сз!пх где С вЂ” произвольная постоянная. пностеишдя адддчА 49 Таким образом, поставленная вариацнонная задача имеет бесчисленное множество решений, Найти анстремали следующих функционалов; о 71. У [у] = ) (12ху — у' ) цгх; у ( — 1) = 1,, у (О) = О. ! 72. У[у]= ~(у' + 2уу'+ у')с(х; у(1) =1, у(2)=0. ! ! 73. У[у]= 1 ]ту(1+ у')г(х; у(0) =у(1) ==. )2 ! 74.

У[у]= ) уу' гУ.х; у(0) =1, у(!) =]' 4. о 75. У [у] = '~ (4у соз х + у' — ут) г(х,' о у(0)=0, у(тс)=0. ! 76. У[у]= ] (у' — ут — у)е'хг(х; о у (О) = О, у (1) = е '. ! 77. Х[у]= ) (у' — 2ху)с(х; у( — 1)= — 1, у(1)=1. ! о 78. У [у] = ~ (у' — 2ху) цгх; у ( — 1) = О, у (0) = 2. -! е 79. Х[у]= ) (ху' + уу')!ух; у(!)=О, у(е) =1.

! Уравнение Эйлера (3) для функционала (2) есть дифференциальное уравнение второго порядка, так что решение у = у(х) уравнения Эйлера должно иметь вторую производную у" (х). Од. пако бывают случаи, когда функция, на которой функционал ь У(у1 У' Р(х, у, у') г(х достигает зкстремума, не являетсн дваже ды днффереицнруемой. !гл. Н ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ 6О Прим ер 4. Функционал 7 (у (х)) ) у' (х) (1 — у' (х))з йх -! при граничных условиях у(-!) =О, у(П-1 достигает своего минимума, равного нулю, на функции О яри х<О, о(х) = х при х,м О. Хотя функция о[х) и не имеет второй производной, она удовлетворяет сответствующему уравнению Эйлера.

Действительно, так как Р(х, у, у') = у'(1 — у')з, то полагая у = о(х), получим уравнение Эйлера 2о(1 — о')'+ — (2о' (1 — о')) = О. (6) йх Но согласно определеяню функпни о(х) будем иметь на ( — 1,1)! й Р,. = — 2о'(1 — о') — О, а значит, н — Р ° О, и хотя уравйх пение Эйлера (6) формально вмеет второй порядок, а о" (х) не существует, подстановка о(х) в уравяеиие Эйлера обращает его в тождества. Т е о р е м а 2. Пусть у = у(х) есть решение уравнения Эй- лера Р— — Р ° = О.

У йх У (7) функция у = у(х) имеет непрерывную вторую производную. С л е д с т в и е. Энстремаль у = у(х) может иметь излом только в тех точках, где Р ., = О. У У Так, в примере 4 Р, = 2уз обращается в нуль в точ- У'У' ках оси Ох; экстремаль имеет излом в тонне х = О. Теорем а 3 (Бернштейн). Пусть имеем уравнение у" = Р(х, у, у'). Если функ!(ии Р, Рз, Рз, непрерывны в каждой конечной точке (х,у) для любого конечного у' и если существуют такая кон- Если функния Р(х, у, у') имеет непрерывные часгнв!е производ- ные до второго порядка включительно, то во всех то~как (х,у), в которых Р„,„, (х, у (х), у' (х)) ~ О, простнтчшяя задача станта Ь ) 0 и такие, ограниченные в каждой конечной части плоскости функции а=а(х, у))0, ф ф(х, у)~)0.

Рк (х, у, у') ) Ь, ) Р(х, у, у') ) ~(пу' +(), то через любые дее точки плоскости (а,А) и (Ь,В), имеющие различные абсциссы (а чь Ь), прокодит одна и только одна ин. тегральная кривая у = гр(х) уравнения (8). П р и м е р 5. Доказать, что через любые две точки плоскости с различными абсцнссами проходит одна и толька одна экстремаль функционала (9) (1О) е те (у' — 1) йх. Р е ~п е н и е. Уравнение Эйлера для данного функционала имеет вяд у" =2у(! + у' ), я теорема 3 прнмеанма.

В самом деле, в данном случае Р(х, у, у') 2у(! +у' ) н Ро= 2(!+у'т)~)2=ус Далее, (Р(х, у, у))=(2у(!+у'))~~2)у)у' +2)у), г(у) =) (у + )с !+„' )йх, Решение. Уравнение Эйлера нмеет вяд у" =2у(! + у' ) ', (! 1) н теорема 3 не применима, так как условие (!О) не выполняется (Р(х, у, у') расгет по у' быстрее, чем вторая степень у'). Однако отсюда еше не следует, что не через всянне две точки с различными абсцнссами можно вровести зкстремаль. йр Полагая в уравнении (11) у' = р, у" = р —, получим йу' р — 2у (1 + рт) б пли -2у йу (1+ Р)'* так что а=()=2(у!)О. П р им е р б.