М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения)

МЛ КрасНОВ, Г.И. Майаренйо, А.И. Киселев ВВР~ВЦ~О~нО~ ~~~~~~~й~~ 38ЯВчи и ЦпрВРИнениЯ МЛ.Краснов, ГИМакаренко, А.ИКиселев ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Задачи и упражнения Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. Предлагаемый задачник посвящен важному разделу математики вариационному исчислению.

По стилю и методике изложения предмета оп непосредствсшю примыкает к ранее изданным книгам тех же авторов «Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости>> и «Интегральные уравнения>>. В начале каждого раздела приводятся необходимые теоретические сведения (определения, теоремы, формулы) и подробно разбираются типовые примеры. Задачник содержит свыше ста разобранных примеров и 230 задач для самостоятельного решения.

Задачи снабжены ответами, в ряде случаев лаются указания к решению. ПРЕДИСЛОВИЕ Современному инженеру часто приходится иметь дело с задачами, которые требуют от него хорошей математической подготовки и твердых навыков в применении разнообразных математических методов. Расширение математического кругозора инженеров немало способствует новым достижениям техники.

Вариацнонное исчисление является одним из наиболее важных для приложений разделов классического математического анализа. В настоящее время в ряде втузов вариационное исчисление включено в обязательную программу курса высшей математики. Большое количество задач по вариационному исчислению содержится в известном сборнике задач Н. М. Гюнтера н Р. О.

Кузьмина. Однако эти задачи, в большинстве своем довольно трудные, даны без указаний к их решению, поэтому начинающему оня бывают часто не по силам. Много хороших задач рассеяно по многочисленным курсам вариационного исчисления, но некоторые из этих курсов стали библиографической редкостью. Авторы задались целью дать некоторый минимум задач по основным разделам классического вариационного исчисления и сознательно не касались вопросов, связанных с теорией оптимального управления, пнедисловие При составлении настоящего задачника авторы ориентировались в основном на книги Л. Э. Эльсгольца «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисленве» и Л.

Я. Цлафа «Вариацнонное исчисление и интегральные уравнения» (справочное руководство). Считаем своим приятным долгом горячо поблагодарить доцентов Н. Х. Розова и Л. Я. Цлафа за ряд ценных замечаний и советов, которые помогли нам в работе над книгой. Пользуемся случаем выразить признательность сотрудникам кафедры высшей математики МЭИ, которые также помогали нам при написании книги. Все замечания и предложения, направленные на улучшение книги, нами будут приняты с благодарностью, М.

Л. Краснов, Г. И. Макаренко, А. И. Киселев Москва — Дубна, !972 г, ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ 3ААг(ЕЧАНИЯ 1. Если А — произвольное множество элементов, го утверждение «элемент й принадлежит множеству А» символически записывается так: лги А. Запись о «В А (вли айиА) означает, что элемент о ие принадлежит множеству А, Если Л и  — множества, то утверждение «А является лодмножесглом»гножество В» (символически: А ~= В) означает, что всякий элемент х лщожества А принадлежит и множеству В 2. Объединение и пересечение двух ьщожеств А и В определяются следующим образом: Объединение А () В = (х(х гж А или х щ В] есть совокупность элементов х, принадлегкащих хотя бы одному из множеств А и В; пересечение А () В = (х~хщА, хщВ) — совокупность элементов х, принадлежащих как А, так и В.

3. Если А — некоторое множество вещественных чгюел, то верхней гранью (точной верхней гранью) А называется наименьшее вещественное число М, такое, что о ( М для всех а»м Л. Иными словами, М вЂ” верхняя грань А, если для любого а»м Л имеем и щ М, но каково бы ни было а ) О, хотя бы и как угодно малое, найдется по крайней мере олин элемент Ь еиА такой, что М вЂ” в ( Ь. Если такого чисяа не существует, то в качестве верхней грани А принимается +со. В обоих случаях верхняя грань множества А обозначается зпр А.

Аналогичное определение дается и для нижней грани множества А, обозначаемой !п1 А. 4. Линейнын пространством называется множество )Т элементов х, у, и, ... произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения нх на числа, причем выполнены следующие аксиомы: 1)х+у=у+х; 2) (х+ у) + х = х+ (у+ х); 3) существует такой элелгент О (пулевой элемент), что х+ О = х для любого х ен Ры 4) для каждого х гав существует такой эчемент — х (проиивоположиый элемщж), что х+ ( — х) = О; б)1 ° х х; б) а (рх) (ай) х; Т) (а+())х ах+Вх; 8) а(х+у) ах+ау.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЭАМЕЧАНИЯ 5, Линейное пространство Й называется нормированным, если каждому элементу х ы К поставлено- в соответствие неотрицательное действительное чис.то 11 х 1! — норма этого элемента, причем: 1) 1[х11=0 только при х=О; 2) 1(ах 11 = (а( ° 1( х 11; 3) [х+ у11 ~~ 11 х(1+ 11 у 11 (аксиома треугольника для нора). б, Множество М элементов х, у, г, ... лсобой природы называется метрическом простронствоч, если каждой паре элессссстов х, у нэ М поставлено в соогветствие неотрицательное действительное число р(х,у) такое, что 1) р(х,у) = О тогда н только тогда, когда х = у (аксиома тождества); 2) Р(х, у) = р(у, х) (аксиома симметрии); 3) Р(х у) + р(у, г) ~ )р(х, г) (аксиома треугольника).

Число р(х,у) называется росстояниеи лсежду элементами х и у. Всякое лвиейное нормированное пространство является метрическим: достаточно положить р(х, у) = 11 х — у11, 7, Пространство С[о, Ь[ — пространство всех непрерывных на [о, Ь] функций у(х): 11 у 11 = тпах [у (х) 1. а<х(ь Пространство Сс(а, Ь) — пространство всех функций у(х), непрерывных на [о, Ь) вместе со своей первой производной: (1 у[1.

= псах [у(х)1-'1- псах [у'(х)[. о~к~Со а~х<Ь Пространство С [о, Ь[ — пространство всех функций у(х), непрерывных иа [о, Ь) вместе с производными до и-го порядка включительно (л — фиксированное натуральное число); л 1(у[(с = ч', снах [ууф(х)1. г=о л~х<ь Иногда в С [о,Ь) норму злелсенто у(х) определяют такс 1(у11= псах ([у(х)1, [у'(х)[, ..., (ую)(х)[), а~а~э ГЛАВА 1 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ $ Е Безусловный экстремум Пусть в некоторой области Р евклидова и-мерного простран.

ства Е задана функция )(хь х„..., х ) пли, коротко, ((х). Мы скажем, что в точке хь гы Р функция )(х) достигает своего наибольшего (наилгеиьшего) значения, если какова бы ни была точка х го Р, имеем: 7(х)<)(хь) П(х)>7(х )). Теорема Вейерщтрасса. Всякая функция, непрерывная в замкнутой ограниченной облисти, достигает в ней своего наиболыиего и наименьшего значений. О п р е д е л е гг п е ).

Пусть функция г(х) определена в области Р с В". точка хюг =(х~г, ..., х„) гы Р называется то осой строгого максимуМа (соответствепио тачкой строгого минимума) фьуггкцни ((х), если существует такая окрестность ()(хгьг) точки х' г, что выполняется неравенство )(х) ( )(хгьй (соответственно ((х) > Пхвг) ) для всех точ.к х ~ О(хеэ) Д Р, х ~ хгь).

Точка строгого максимума (соответственно строгого минимума) характеризуется тем, что Ь| = ((х) — ) (хгь)) <О (соответственно й))0) при всех х ~ Я(хи)) Д Р, х чь хнй Если же для точки х'ьг существует такая окрестность П(хгн), что для всех точек х гм ()(хгь~) () Р выполняется тсловгге Т(х) ~()(хгм) (соответственно )(х) ) ((хгь~)), то гочка хг г нзз«- вается просто точкой максимума (соответственно точкой минимума).

О п р е д е л е н и с 2. Точки максимума и минимума функции 1(х) называются точками экстремума втой функция. !. Пользуясь определением, нанти точки экстремума фун«ций: а) г'(хр хз) х,+ха; 8 екстремум Функ! нги мнОГих пеРеменных 1Гл 1 б) )(х1, х2) 2 2 1, хт+ х22 О; в) 7 (к!, хт) = х', — хз в области () <х, + хз ( !). Т е о р е м а ! (необходимое условие экстремума), Пусть функция 1(х), х = (хь хт, ..., х ), определена в некоторой окрестности тачки х! ' = (х!.

хл ..., ха). Если эта ~очка является точкой экстремума функции )(х) и если в этой ~очке существуют дт производные — (/ = 1, 2...,, и), то они равны нулю дх! д((х(е!) — =О 0=1, 2, ..., и). дх! Если функция )(х) дифференцируема в точке экстремума хг'г, то ее дифференциал равен нулю в этой точке: й!(х(ч!) = О. П р и м е р !. Найти точки энстремума функции г = х'+ у'. Р е ш е н и е. Точки экстремума находятся среди точек, для которых йг = О.

В нашем случае йг = 2х йх+2уйд. Условие йг = 0 выполкяется в единственной точке х = О, у = О. В самом леле, если х =. у = О, то йг = О. Обратно, пусть йг 0: пользуясь произвольностью йх и йу, выберем йу = О, тогда 0 = = йг = 2х йх и в силу произвольности йх отсюда следует, что х = О. Аналогично получаем, что и д = О. В точке (0,0! имеем г = О, во всех же других точках г = х' + уз ) О.

Поэтому точка (0,0) является точкой строгого минимума для функции г = хт+ р'. Если расширить класс функций, в котором ишется экстремум, включив функции не дифференцируемые в отдельных точках, прихолим к следуюшему необходимому условию экстремума. Ес,ш хсб есть ~очка экстремума функции )(хг, хз... х„), то в этой точке каждал частная производная — (! = 1,2, ...,и) д( дхт либо равна нулю, либо не существует. П р и м е р 2.