М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения) (1118008), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Получим г = хз + (!в х)з — функцию одной переменной. Исследуя ее на экстремум, 1 1 найдем хер = — гмга = †. В силу уравнения связи нзйделг 2' 2' ! (1 ! 1! укр —. Точка ( —, —, — ) есть вершина параболы, получен- 2 (,2' 2' 2) цой в пересечении параболонда г = хз + у' плоскостью х + у ! =О. Аналогично можно поступи гь и в более обшем случае. Пусть ишется условный экстремум функции г = ((х,у) при наличии связи гр(х, у) = О.
Лопустим, что при рассмагриваемых значениях х н у уравнение гр(х,у) = 0 определяет у как одпо- рначную диффереицируемую функцию у = ф(х). Подставляя в функцию 1(х,у) вместо у функцию ф(х), получаем функцию од- Пбто переменного х: г = ((х, лр(х)) = р(х). Экстремум (без- условный) функции г" (х) явлиется искомым условным экстрему- мом функции ((х,у) ори наличии связи гр(х,у) = О. Этот спо- соб практически не всегда удобен, так как он требует фактиче- ского решения уравнения ф(х,у) = 0 относительно какой-либо переменной. Лля отыскания экстремальных заачсний функции г ((хьхв ..., х„) при наличии связей (1) пользуются методом Ееопределенных множителей Лагранжа. Метод множителей Лагранжа. Предположггм, что: 1) функции )(хь хе, ..., х ) и гр,(хь х,, ..., х,) (г =!.
2, ..., т) имеют непрерывные частные производные первого по- рядка в области 11; ~ дфг~ 2) пл(п н ранг матрицы 1 — ', ! 1,2,...,пл, ) дх! 1' :а= 1, 2, ..., и, в каждой точке области Р равен ш. Составляется новая функция (функция Лагранжа) Ф=(+ ч,', йррн (3) г=! где )л~ — неопределенные постоянные множители. Функция Ф(хь хз, ..., х ) исследуется на безусловный экс- тремум, т. е.
составляется система уравнений дФ дФ дФ вЂ” О, — О, ..., — О, (й) дх ' дх "' дх„ УСЛОВНЫЙ ЭИСГРЕМУМ 17 из которой и из гл уравнений связи р, = О, р, - О, ..., р = О определяются значения параметров Ль Лз. .., Л и координаты (хь хг, ° ., х») возможных точек экстремума. Условия (4) являются необходимымн условнямн экстремума как функции Лагранжа, так и исходной функции г = = )(хь хз, ..., К»).
Если точка (хоп хоу..., Ко) является точкой условного экстремума для функции )(хь хз... х,), то она является ста. цнонарной точкой для функции Лагранжа, т. е. в этой точке д(Р— = О (1 = 1, 2, ..., л). Чтобы исследовать стационарную дхс точку (хп х, ..., К») функции Лагранжа ср(хп х, ..., К„) г з о о на условный экстремум, надо составить квадраыгчную форму В(дхп дхз, ..., Их„)= ~чП~ 61.дхсдх), (5) ь 1»ы т, е. второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке с учетом условий ар, др, д.рс — дх1+ — дхз+ ... + — 'дха= О (1 =1, 2, ..., гл). (6) дх1 дкз ' ''' дхл Если квадратичная форма (5) — определенная, то в точке ( "'.) хн ха, ..., х ) будет строгий условный эксгремум, а именно: строгий условный максимум, если квадратичная форма (5)— отрицательно определенная, и строгий условный минимум, если квадратичная форма (5) — положительно определенная. Если же квадратичная форма (5) — неопределенная, то точка (хп хэ ..., К„) не является точкой условного экстремума, та о от Таким образом, наличие в точке (х",, хэ, ..., К») безусловного максимума (минимума) для функции Лагранжа (при най.
денных значениях Ль Лз, ..., Лм) влечет за собой наличие в этой точке условного максимума (миннмума) для функции к = . = ((хь хз, ..., х„) при наличии связей фз(хн кэ,..., х)=О (1=1,2,. „гл). Отсутствие безусловного экстремума для функции Лагранжа ф(хь хь ..., х ) енсе не означает отсутствие условного экстремума для функции ((хь хэ ..., х ). Прим е р 2.
Найти экстремум функции я = ху при условии у — х= О. Р е ш е н и е, Составляем функцию Лагранжа тР (х, р) ху + Л (р — х) Рд вкстинмзм функции многих ннвнмннных 1гл, ! и выписываем соответствующую систему для определения Л н ко- ординат возможных точен экстремума: дФ вЂ” =у-Л=О,1 дх — =«х+Л=О, ~ дФ ду у — х=о.
! Из первого уравнения находим Л = у. Подставляя во второе, по- лучим х+ у = О. Итак, х+ у = о, ( у — х=о, ) откуда х =' у = О. При этом получаем Л = О. Таким образом, соответствующая функция Лагранжа имеет вид Ф(х, у) = ху. В точке (О, 0) Ф(х,у) не имеет безусловного экстремума, однако условный экстремум функпии г = ху при условии у = х имеется. действительно, в этом случае мы имеем г = хз, откуда видно, что в точке (О, 0) есть условный минимум. П р и м е р 3. Найти условный экстремум функции (8) 1(х, у, г) = куг при условиях ф, (х, у, г) =х+ у — г — 3=0, ') ф(х,у,г)=х — у — г — 8 О./ Решен не.
Составим функцию Лагранжа Ф (х, у, г) = хуг+ Л, (х+ у — г — 3) + Л,, (х — у — г — 8) и выпишем систему уравнений для определения параметров Ль Лэ и координат возможных тачек экстремума: дФ дх (10) — л,— л =о, у †г †, у †г †. Решая систему уравнений (10), получим !! 231 11 5 — Лх= — — х — у= —— 32' 32 ' 4' 2' 11 г= — — ° 4 ' дФ вЂ” = хг ду дФ вЂ” ху дг +л,+л =о, + л1 — лз = О, условнызт экстРемум Второй дифференциал функции Ф(х, у, г) равен дзф дзФ дзФ дзФ = — дал+ — дуг+ — дгз + дхз дуз дгз дзФ дзФ дзФ + 2 — дх ду+ 2 — дхдг+ 2 — дудг. дх ду дх дг ду дг В нашем случае дзФ = 2г дх ду + 2у дх да + 2х ду дг.
(11) Воспользовавшись условиями связи (9), получим дх+ Ыу — да=О, дх — ду — дг = О, ! откуда с1х=дг, ду= 0. Подставляя это в (11), получим В(дх) =2удхз. В стационарной точке В = — 5 дхз < О, т. е. в точке ( 11 5 11! 605 — — —, — — ! имеем максимум, равный 1 4' 2' 41 мз П ример 4. Найти экстремум функции я=сов'х+ соззу при условии л у — х= —.
4 ' Р е ш е н и е. Составляем функцию Лагранжа Ф (х, у) = созз х + созе у+ Х (у — х — — ~ 4) дФ вЂ” ~ — 2созхшпх — Х О, дх дФ вЂ” — 2 соз у з! п у + А = О, ду у — х — — =0 4 з1п 2х = — Х, з!п2у=Л, (12) (13) и у — х= —. 4* (14) Из (12) и (13) имеем з1п2х+ з1п2у=О или 2 з1п (х+ у) соз (у — х) = О. (15) н выписываем систему уравнений для определения параметра з и координат веаможнык точек экстремума 20 вкстрямям оянкцни мноппс пярямянных (гл.
! Согласяо (14) имеем соа(у-х)= — ФО, а потому на (15) Р' 2 2 получаем, что а!п(х+у) О, откуда х+у=йл„8=0, а! ~2, ... (16) Решая совместно уравнения (14) и (16), будем иметь х= — — — у= — + — й О, ш!, л2, „, (17) йл л йл л 2 8' 2 8' Находим вторые производные функции Ф(х, у): д'Ф дгФ д'Ф вЂ” — 2соа2х, — =О, — — 2соа2у. дха ' дх ду ' ду' 1йл л Мс л1 В точках Ра! —,— — — + — ) имеем 1 2 8' 2 8) и г / л! у л! Ф ° Ф вЂ” (Ф ) =4соа1йл — — )соа(йл+ — ) хх' вд ка ~ 4 ) = 2 соа 2йл = 2 > О. Значит, в точках Ра есть условный экстремум.
Далее, при А =яа д'Ф вЂ” — )' 2<0, дха 1р г» а потому в точках Р,„— условный максимум 1' 2 хнах 1 + ° 2 Пря й = 2л + 1 будет д'Ф 1 'г' 2) О дха ~ ран+1 то есть в точках Р,„+, — условный минимум )/2 хана 1 2 В следующих задачах найти условный экстремум. 14. ) =ху при ха+ ух=1. 15. 1' = ха+ уг при — + —" = 1. 2 3 18. ) = дух при условиях х+ у+ х= 5, ху+ ух+ +их=8. 17. (=вхв при х+ у=а.
18. ) = б — 4х — Зу при хг + уг = 1, УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 21 19. ~ = х — 29 + 2г при хз + уз + гз = 9. 20. ~=з1пхзшуз1цг при х+ у+а= —. х>0, у>0, г>0. 21. Доказать неравенство ~~" »~ — "+,"), »1, »0, 9»0. 22. Найти наибольшее значение произведения хуго неотрицательных чисел х, у, г, 1 при условии, что их сумма сохраняет постоянную величину х+' '+ у + г + т = 4с. 23.
Найти кратчайшее расстояние от точки л4~1,0) до эллипса 4хз+ 9уа 36. 24. Найти расстояние между параболой у = х' и прямой х — у= 5. 25. Найти стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в круг ха+ уз = Йз. 29. В шар радиуса )т вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью. ГЛАВА П ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ В 3. Функционал.
Вариация функционала и ее свойства 1к Определения функционала. Близость кривых. Пусть дан некоторый класс М функций у(х). Если каждой функции у(х) вв ~ М по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число У, то товорят, что в классе М определен функционал Х, и пишут Х = Х[у(хН Класс М функций у(х), на котором определен функционал У[у(х)], называется областью задания функционала. Пример !. Пусть М = С[0,1] — совокупность всех непрерывных ф>нкцпй у(х), заданных на отрезке [О, 1], и пусть Х [у (х)] ~ у (х) дх.
о Тогда Х[у(х)] есть функционал от у(х); каждой функции у(х) ьц си С[0, И отвечает определенное значение У[у[. Подставляя в (!) вместо у(х) конкретные функции, мы будем получать соответствующие значения У[у]. Так, если у(х) = 1, то 1 Х[1]= ~ 1 ° ах=!; о если у(х) =е", то 1 У[ел]= ~ ехдх=е — !; о если у (х) = соз пх, то ! Х [сов их] = ~ сов их ух=о. о П р и м е р 2. Пусть М = С,[а, Ь] — класс функций у(х), имеющих непрерывную производную на отрезке [а, Ь], и пусть Х [у (х)! = у' (хо)„где хь ьв [а, Ь].
(2) й з) оуницнонлл. влинлцня охнкцнонллл 23 Ясно, что 1[у(хЦ есть функционал, определенный в указанном классе функций: каждой функции из этого класса ставится в соответствие определенное число — значение производной этой функции в фиксированной точке хе. Если, например, а = 1, Ь = 3 и хэ = 2, то для у(х) = х* имеем: У[хе] 2х]х э=4! для у (х) = х'+ 1 получим У [хе + Ц = 4; для у (х) «п (! + х) 1 1 1 будем иметь 1[!о(1+хЦ 1+т~ 3' Пример 3. Пусть М = С[ — 1, Ц вЂ” класс функций у(х), непрерывных иа отрезке [ — 1, Ц, и пусть ф(х, у) — заданная функция, определенная и непрерывная для всех — 1 ( х ~ 1 и для всех действительных у. Тогда /[у(хЦ= ~ ф[я„у(хЦйх -! (3) будет функционалом, определенным на указанном классе функцнй.
Например, если ф(х, у) =, то для у(х) =х имеем х 1+у' ' ! хйх У [х] = ] = О, а при у (х) = 1+ х имеем 1+ х' ! Х ]1 + х] = ] "1, = 1п $' 5 — а ге!й 2. !+ (! +х)' -! будет функционалом, оцределенным на этом классе функций. Функционал (4) геометрически выражает длину дуги кривой у = у(х) с концами в точках А(а, у(а)) и В(Ь, у(Ь)). Вариацией или придан!ением бу аргумента у(х) функцио. нала )[у(хЦ называется разность между двумя функциями у(х! и уо(х), принадлежашими выбранному классу М фуниций: бу у (х) — уе (х). (б) Для класса й раз днфференцируемых функций имеем (Ьу)!а) = Ьу!З) (х). Пример 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
