М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения) (1118008), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Пусть М = С,[а, Ь] — класс функций у(х), имеюших непрерывную производную у'(х) на отрезке «а, Ь]. Тогда з 1 [у (хЦ = ~ ~г 1 + у'т (х) с!х (4) а ВКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ (гл. Н Говорят, что кривые у = у(х) н у у,(х), заданные на отрезке «а, Ь), близки в смысле близости нулевого норндка, если [у(х)— — у,(х) [ мала ва [а, Ь[. Геометрически это означает, что эти кривые на отрезке [а, Ь) близки но ординатам.
Будем говорить, что кривые у = у(х) и у у,(х), заданяые на отрезке [а, Ь), близки в смысле близости первого порядка, если [у(х) — у1(х) [ и ~ у (х) — у1(х) ~ малы на [а, Ь). Геометрически это означает, что кривые на отрезке [а, Ь) близки как по ординатам, так и но направлением касательных в соответствующих точках. Кривые у = у(х) и у = у,(х) близки в смысле близости Ь-го парадна, если модули [у (х) — у, (х) ), [у (х) — у, (х) ~, ..., ~ у!5! (х) — у!1ю (х) ~ малы ва [а, Ь[.
Бели кривые близки в смысле близости й-го порядка, то овн тем более близки в смысле близости любого меньшего порядка. 51п нгх П р и м е р б. Кривые у (х) = —, где н достаточна пе. и лико, и у,(х) = О на [О, ч[ близки в смысле близости нулевога порядка, так как модуль разности [ у (х) — у, (х) [ = ~ — ~ «( —, Ыплх ! 1 н ~ н' т. е. на всем отрезке [О, н) зта разность по модулю мала при достаточно большом и. Близости первого порядка нет, так как ~у (х) — у (х) (= и ~ соз нтх~, и, например, в точках х= —, имееът [у (х) — у,(х)~ н н, 2н т l т значит, [у (х) — у1(х)~ может быть сделан как угодно боль- шим при н достаточно большом, 5«П НХ П р и м е р б.
Кривые у (х) = —., где н достаточно гр велико, и у, (х) = — 0 на [О, н) близки в смысле близости перво~о порядка, ибо 51пах ! ! [ у (х) — у, (х) [ = ~ —, ~ у (х) — у! (х) ~ малы, В следующих примерах установить порндок близости кривых. 27. у (х) =,, у, (х) — = 0 на [О, 2Н). 28. у(х)= —, у,(х)=0 на [О, н[. 29. у (х) = з[п —, у, (х) = 0 на [О, Ц.
и ' рисстолнвем между кривыми у = [(х) и у = [, (х) (а(х~ (Ь), где 1(х) н [,(х) непрерывные на [а, Ь) функции, называется неотрицательное число р, равное максимуму )[1(х)— — 1(х) ( на отрезке а~(х(Ь: р = р [й (х), [(хВ = щах [1,(х) — [(х)), (7) и(х(Ь Пример 7. Найти расстояние р между кривымн у=х и у=ха на отрезке [О, Н (рис. 1).
Р еще иве. По определению р = гпах ( х' — х [ п<х(1 или р шах (х — хе). На Рис. 1. а(хкы концах отрезка [О, 1) функция у=я — х' обращается в нуль. Найдем максимум функции у = х — хз на отрезке [О, 1]. Имеем 1 прн х=— 2' у'=1 — 2х; так что ! р= снах у=(х — х )( о(х(с х=- 4 3 В следующих примерах найти расстояния между даннымн кривыми на указанных интервалах, 30, 1(х)=хе-", ~,(х)= — О, [О, 2[. 31. 1(х)=з[П2х, ),(х)=в[их, [О, — [, 32.
7(х)=х, ~,(х)=1пх, [е ', е[, Пусть кривые у = 1(х), и у = й(х) имеют на отрезке [а, Ь[ непрерывные производные и-го порядка. йл ФУНКЦИОНАЛ, ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА 25 ВКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ )гл. и 28 Расстоянием п-ео порядка между кривыми у = [(х) н у = = [,(х) называется наибольший из максимумов следуюших величе!н: ![,(х) — [(х)], ![/,(х) — ) (х)!, ..., ][!л>(х) — [(л)(х)! иа отрезке [а, Ь). Будем обозначать это расстояние так: р„=рл([,(х), [(х)] = птах гпах ][]Ы(х) — [00(х)!. (8) о<а<л а<х<ь Данное на стр. 25 определение расстояния между кривыми является в смысле нового определения расстоянием нулевого порядка.
Прим ер 8. Найти расстояние первого порядка между кривымн [(х) = х' и [,(х) х' на отрезке О и~ х( Б / Рею ение. Найдем производные данных функций ) (х) = / з =йх,) (х)=Зх н рассмотрим функцииу~(х) = хз — хзи ул(х) ии 2х — Зх'. Найдем их наибольшие значения иа отрезке [О, Ц. Рис. 2. / 3 Имеем уг — — 2х — Зх . Приравкивая эту производную нулю, нахо- 2 дим стационарные точки функции у,(х): х~ = О, х/ = —, Далее, 3' 4 у~!„о — — 01 у, [ з = —;значение уг(х) на правом конце равно а=в 3 у~(!) = О. Отсюда 4 ра = тпах [х'- х'[= .шад (хх- х') -х-. о~х~г о~х<т й з) ФУНКЦИОНАЛ, ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА йт Найдем теперь расстояние ра нулевого порядка между производ- ными Р(х) = 2х и ]! (х) = Зхз: ро — — шах ]у.,(х)~= шах ]2х — Зх !.
о<я< ! о<х<! Построим график функции у = ]2х — Зха] (рис. 2). Из рисунка видно, что ра = 1. Такин образом, расстояние р1 первого порядка между кривылтн [(х) = х' и [,(х) = х' будет равно р, = шах (ра, ра) = 1. ЗЗ. Найти расстояние первого порядка междукривыми ]'(х) = 1п х, у! (х) = х на отрезке (е-г, е!. 34. Найти расстояние второго порядка между кривыми [(х) = х, )! (х) = — соз х на отрезке [О, — '1.
35. Найти расстояние 1001-го порядка между кривыми у(х) = е*, у! (х) = х на отрезке (О, 1!. е-окрестностью и-го порядка кривой у = — [(х) (о < х < о) называется совокупность кривых у = [~(х), рассгояния и-го порядка которых от кривой у = ](х) меньше е:. (9) рп рн [](х), й (х)]<в. е-окрестность нулевого порядка называют сильной е-окрестностью функиии у = [(х). Сильная в-окрестность кривой у = [(х) состоит из кривых, расположенных в полоске ширины 2е вокруг кривой у = У(х). е-окрестность первого порядка называют слабой з-окрестностью функции у = [(х). 2ч Непрерывность функционала.
Функционал У[у(х)], определенный з классе М функций у(х), называется непрерывньсм при У = Уа(х) в смысле близости п-го порядка, есяи для любого числа е ) О существует число и ) О такое, что для всех допусгимых функций у = у(х), удовлетворяющих условиям ]у(х)-уо(х) ]<т1, ]у (х) — уо(х) !< т), ...,~у!"1(х) — у!1нл(х) ]< т1, выполняется неравенство ]У]у(х)] — У[ус(х)]! < е, Иными словами, ]У[у(хЦ вЂ” У]у,(х)]] < е, если Рп [У(х), Уа (х)]< т). Функционал, не являющийся непрерывным в смысле близости и-го порядка, будем называть разрывным в смысле указанвой близости. Полагая у'"1(х) уо! 1(х) ]- пю'е'(х) (й = О, 1, 2, ..., и), Вкстремум ФункциОнАлОВ (ГЛ.
Н 28 где м — некоторый параметр, а м(х) — произвольная функция из класса М, замечаем, что Вш р1" (х)ь йо1М (х) (й - О, 1, 2, ..., и), о.ьо и определение непрерывности функционала при у(х) = уо(х) можно записать так: 11ш У[уз(х) + ам(х)) = У[уо(хЦ. в-эо П ример 9.
Показать, что функционал 1 1[у(хЦ ~ [у(х)+ 2у'(х)) г(х, о определенный в пространстве С~[0, Ц, непрерывен нз функции уэ(х) = х в смысле близости первого порядка. Решение. Возьмем произвольное число а ) О, Покажем, что существует число т) ) 0 такое, что )1[у(хЦ вЂ” 1[х)[ < з, как только [у(х) — х[ ( ц и [у'(х) — 1[ ( т). Имеем )1 [у(х)) — У [хЦ = ~ [р(х) +2у'(х) — х — 2) бх о ~ ~ [р(х) — к[ах+2 ~ [у'(х) — 1[г(х. Выберем т) = —.
Тогда для всех у(х) ги С, [О, Ц, для которыя в 3' )у(х) — х[( — и )р'(х) — 1[( —, будем иметь )1[у(х)) — У[х) [(е. а Итак, для всякого з ) 0 существует т! ) О, например, О э такое, что как только р,[у(х),х) ( иь то [У[у(хЦ вЂ” 1[х)[ ( е. Это и означает, согласно определению, что данный функционал непрерывен иа функции уо = х в смысле близости первого по- рядка. Легко видеть, что этот функционал непрерывен в смысле близости первого порядка на шобой кривой у(х) эм С~[0, Ц, Пример 1О, Рассмотрим функционал 1 [) (хЦ )' (хо), где ункцин [(х) чи СДа, Ь) и хо еи [а, Ь). тот функционал разрывен на любой функцяи [(х) в смысле близости нулевого порядка, В самом деле, пусть ф(х) такова, й з) ФУНКЦИОНАЛ, ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА 29 что Ф (ха) = 1 и [Ф(х) 1 ( т! на отрезке [л, Ь].
Возьмем функцию 1(х) = 1а(х) + Ф(х), где 1а(х) ам С~[а,й]. Тогда['(хо) 1о(хо)+!. Очевидно, что р[1(х), 1а(х)1 < Ч, т. е. кривые 1(х) н [а(х) близки в смысле близости нулевого порядка. В то же время У[1(хЦ вЂ” ![[а(хН = ), т. е. значения функционала ие близки при любой близости нУлевого поРЯдка аРгУментов 1(х) и [а(х). Точнее, существует е ) 0 (именно а < !) такое, что капово бы ни было Ч ) О, найдутся 1(х) такие, что Ра [1 1а!<Ч " [У111 У[[а][~а Это и означает разрывность функционала У[[] в смысле близости нулевого порядка.
Покажем, что этот функционал непрерывен в смысле близости первого порядка. Возьмем лаобое е О. Имеем 1 У [1(хН Ус![о(х)) 1= 31 (хо) [о(ха)1. Очевидно, что если взять Ч = е, то при РД(х), 1а(хЦ < Ч бу. дсм иметь 1 У [1 (хН вЂ” У [1а (хН 1< в, что и требовалось доказать. Этот пример показывает, что из непрерывности функционала в смысле близости л-го порядка не слелует, вообще говоря, непрерывность функционала в смысле близости более низкого порядка.
П р и м е р )!. Рассмотрим фуннционал У [у (хН = ] у' (х) йх, о определенный в пространстве СДО, ц]. Покажем, что данный функционал на функции уа(х) ~ О разрывен в смысле близости нулевого парадна. з[п лх Действительно, пусть уа(х) ма О на [О, н] и уи(с) = — ° л ! Тогда ра [уа (х), ул (хН = — и ра -ь 0 при и -ь со. л С другой стороны, разность У [ул (хН вЂ” У [у, (х)1 ~ (х л 2 о ие зависит от л. Таким образом, при л-ь аа У[у (хЦ не стремится к У[уз(хЦ = О, и следовательно, данный функционал раэ. рмвен и смысле близости нулевого порядка на функции уа(х) ам ам 0 1гл. и зф ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ Предоставляем читателю доиазать, ято рассмотренный функционал непрерывен на функции дз(з) мз О в смысле близости первого порядка. Исследовать на непрерывность следующие функционалы. 36.
Х [у(х)) = у(хо), где функции у(х)еи С[а, Ь) и кое=[а, Ь), в смысле близости нулевого порядка. 37. Х [у(х)) = щах)д(х) ), где функции у(х) непрерывны на отрезке [а, Ь1 (в смысле близости нулевого порядка) . 38. О, если у(х) принимает хотя бы одно отрицательное значение, Х[У(х)) = —, если р(х) = О, 2 ' 1, если у(х)- О, причем у(х) Ф О, в смысле близости нулевого порядка.
! 39. Х [у (х)) = ~ $ у'(х) (с(х, где функции у(х) имеют о непрерывные первые производные на отрезке [О, 1): а) в смысле близости нулевого порядка; б) в смысле близости первого порядка. 40. Х [у (х)) = ) )Х1+ у" (х) с(хна функции уз(х)— = О, о где функции у(х)~С,[0, я]: а) в смысле близости нулевого порядка; б) в смысле близости первого порядка. 41. Х [у (х)) = ) (1 + 2у' (х)) с(х на функции уз (х)=О, о где функции у(х) ен С, [О, тт), в смысле близости первого порядка. П р и и е р !2. Показатзь ято функционал ! Х(„1 )) ~ хз )Г! + з( о определенный на множестве фуннций у(х) зм С(О, Ц, непрерывен иа фуннцин уз(х) = х' в смысле близости нулевого порядка. а з) еункционлл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
