М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения), страница 2

Рассмотрим верхнюю полость конуса г' = х'+рт, гэ О. Очевидно, в точке 0(0,0) функция г имеет дг дг минимум. Но в этой точке — и — не сушествуют. дх ду Определение 3. Точки, в которых выполняется необхо. димое условие экстремума функции !(х), называютбя критиче. скими точкалги этой функции. Точки квг, в которых й!(х<в>) = О, называются стационар- ными точками функции !'(х), Условие й!(хса) = О эквивалентно условию — 0 (г 1, 2, ..., и), д! (х!о)) дхс БезуслОВВытт экстРемум Наличие критической точки еше не гарантирует наличие экст тремума функции. Например, для функции г = х' — ут точка (О, 0) есть стационарвая точка, но энстремума функции г в этой точне нет: в любой как угодно малой окрестности точки (0,0) функция принимает как положительные, так и отрицательна(й значения.

1'. Достаточные условия строгого экстремума 0 и р е де л е н и е 4. Квадратичная форма А(х) =А(хп х, ..., х ) = ~чР~ п..х,х), ц/=! аМ = адб Ь 1 = 1, 2, ..., и, называется по.юхсительно (соответственно отрицательно) определенной, есле А(х) ) 0 (соответствеино А(х)СО) для любой точка х ш Е, х Ф О, и обращается в нуль только при х = О, т. е. при х, = хг = ... = х„= О. Квадратичная форма нааывается неотрицательной, если она никогда не принимает отрицательных значений. Например, фор.

мы хт1+ хз+ ... + хт, и (х, + хг+ ... + х„)г являются не отрицательнымн формами. Первая из ник является положитель. но определенной, так как она обращается в нуль только при х, = хг =... = х = 0; вторая форма уже не будет положи. тельна определенной, так как она обращается в нуль, например„ прн х1=1, хг= — 1, хз=х»=...=х =О. Квадратичная форма, являющаяся положительно или отрицательно определенной, называется определенной квадратичной формой.

Квадратичная форма, принимающая как положительные, тан н отрицательные значения, называется неопределенной, Теор ем а 2 (достаточные условия строгого экстремума), Пусть функция )(х) определена и имеет непрерывные произвост» ные второго порядка в некоторой окрестности точки хЮ1 (хп хг, ..., х„) и пусть х(ч) является стационарной точкой функ о ции )(х). Если квадратичная форма л ъч дт) (х(о)) А(йхц йх„..., йхл) = у .

йх йх, (1) дх дх ж е, второй дифференциал функции 1' в точке х~е), является по» ложительно определенной (отрицательно определенной) квадро», тичной формой, то точка хбд является точкой строгого мини.кума (соответственно точкой строгого макси.кума); если квадратичной форма (1) являетсл неопределенной, то в тачке хф1 экстрему.ей нег. 1О ЭКСТРЕМУМ ФУНКНИН МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1ГЛ.

1 Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Для того чтобы квадраткчная форма А(к)=А(хз, к„..., х»)= ~ а! хтк) (2) г, 1=! у которой ат =а)г! !', ) = 1, 2, ..., и, была положи!еды!о апре. деленной, необходимо и достаточно, чтобы а„ аы аы аг! ам а22>0, ~>0, аы озз азз >О, ан а„ ам азз азз аы а„... аз„ ам аы ... аз» >О. а»! а„з ... а»» Для того чтобы квадратичная форма (2) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ап а„а,з ап ам а!2<0, (2(„,„,,»о.

а2! а22 аз, азз азз аг! сиз ° . ° ат» аз! азз аз» ( — !)" > О. а»! а»2 ° а»» Случай п 2. Пусть функция )(х, у определена и имеет непрерывные частные производные второго, прядка в некоторой окрестности точки (х,, у,) и пусть (х,, у,) является стацггонарной точкой, т. е. )„(хо, Уо) = те (хо, Уо) = О. (3) Тогда, если в точке (хм уз) то она является точкой экстремума, а именно максимума, если в ней С <О ((„"„<0), и мини!гума, если )нх > О ()„"„> 0). БЕЗУСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Если же в точке (хз, уз) (" (" ()" )2 < Π— 2х — у+ 1=0, д( дх д) — =2у — х О, ду — =2г — 2=0, д) дг 2 1 решая которую, получим хз — — уз — — — —, г, =! 3' 3' о Составим квадратичную форму(1) в точке Рз (- —, — —, 1).

3' 3 Имеем ),"а=О. )'„' =о, )а = — 1, ах В точке Рз получим ам=2, аз, = — 1, аз/=0 а = — 1, ху =2, уя а„= О. ага=о, азз= 2 азг = -1, азз = 2 аз,— — О, то экстремума в точке (х„у,) нет. Наконец, когда в точке (хз, уз), то в ней экстремум может быть, з может и не быть. В этом последнем случае требуется дополнительное исследование. Пример 3. Рассмотрим фуняции г = х'+у', г = — хз— — у', г = х' — уз. Точка (О, 0) является стационарной точкой ллн каждой из этих функций и в этой точке для каждой из ннх а /ат2 гхх' яд 'лгхз) Нетрудно видеть, что точка (О, 0) является точкой минилзума для первой функции, точкой маисимума — для второй н ие янляется точкой экстремума для третьей. В самом деле, во всех трех случаях г(0,0) = О, но в первом случае в любой окрестности точки (0,0), кроме самой точки, значения фуннции положительные, во втором — отрипательные, а в третьем случае функпия г = х' — у' в любой близости от начала координат принимает как положительные значения (например, при х Ф О, у = 0), так н отрицательные (например, при х = О, у Ф 0).

П р и м е р 4. Найти экстремум функции трех переменных ) = хз+ уз+ г' — ху+ х — 2г. Р е ш е н и е. Найдем стационарные точки заданной функции /. Для этого составим систему уравнений 12 экстРемум Функции мнОГих пеРеменных [Гл, ! так что аи>0, ~ ~ ~ ~ 3>0, 2 — ! 0 — 1 2 0 =6>0, 0 0 2 Используя критерий Сильвестра, заключаем, что квадратичная форма — положительно определенная, а значит, согласно теореме 2, точка Р, является точкой строгого минимулга, причем $ (Р.) = — —.

4 3' П р и и е р 6. Найти экстремум функции двух переменных г = х'у'(6 — х — у). Р е ш е н и е. Найдем стационарные точки: г' = 18х'ух — 42'у' — Зххуз О, х г' = 12х'у — 2к'у — Зх'у' = О, д откуда х, = О, у, = 0 и хх =3, ух = 2. Получили две стацио- Нарные точки Р, (О, 0) н Рг(3, 2). Найдем вторые производные заданной функпии г „Зеху — 12х у — бху, а 2 2 2 3 г !22 — 2х — ех у, гг з х з уу г „=36х у — 8х у — Охтуз, а и гг у гг В точке Р, имеем гх =г гх =О, так что гх ° г хх уу хд хх' дд / ггса — (гхд) О, н вопрос о наличии экстремума в втой точке остается открытым.

Для решения этого вопроса надо привлечь старшие производные. В точке Р имеем г — 144. г — 162, г -!08. у гг гг хх уд ку Очевидно, г„° гуму-(г„„) >О, а так как г х(0, то в точке Р,(3, 2) имеет место максимум, причем ямах=108. Исследовать на максимум и минимум следующие функции: 2. 1=(х — 1)2 — 2уз. 3. ~ = ха + у4 — 2хз+ 4ху — 2уя, 4. 1 = (Хз + уз) Е гх'+У*!.

1+я †~/1.1 хз.( ух ' $ и БЕЗУСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ О. 1= х + У' + 'и + 2 (х > О, у > О, г ) 0). 7. (=хо — ху+ у2 — 2х+ у. 8. (=З)пх ° з(пу ° з1п(х+у) (О 'х(л, 0(у» и), 9. )=х 'х'... Хл(1 — х — 2х — ... — пх ) ! 2'' л( ! '2 л) (х, ) О, х2 ) О, ..., х„ > 0). 10. Показать, что функция г = (1+ ео) соз х— — уео имеет бесконечное множество максимумов и ни одного минимума. 11.

Является ли достаточным для минимума функции 1'(х,у) в точке Мо(хо, уо) условие, чтобы эта функция имела минимум вдоль каждой прямой, проходящей через точку Моу Рассмотреть пример 1(х,у) = = (х — у2) (2Х вЂ” у'). 12. Показать, что в отличие от функции одной переменной уже для функции двух переменных существование в области 0 единственного экстремума— максимума или минимума — еще не означает, что этот экстремум обязательно доставляет наибольшее пли наименьшее значение функции во всей области.

Рассмотреть примеры: а) г = х' — уз+ 2е-"* — оо < х < + оо, — оо < у < + оо Г б) г хз 4хз+ 2ху уо Е1 ( — 5 ( х ( 5; — 1 ( у ( Ц. 13. Пусть дана периодическая с периодом 2Й функция 1(х). Среди всех тригономезрических много- членов и-го порядка л + ~~ ~(ах созйх+ ро з1п ах) ь=! путем подбора коэффициентов ам йо требуется найти тот многочлен, для которого среднеквадратичное уклонение, определяемое равенством имеет наименьшее значение.

14 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ НЕРЕМЕННЫХ !ГЛ. 1 2'. Метод наискорейшего (градиентного) спуска Пусть ста. антса задача об отыскании минимума функции )(х), где х = (хь «ь . ° ., х„). Возьмем некоторую точкух чх!, хм ...,хм! и вычислим в этой точке градиент функции )(х7 д) (хе) йгаб) (х') = у„— е., л'и дх г=! где ег, ет, ..., еч — ортонормпровапный базис в пространстве )С .

Если игаб г(ха) ~ О, то полагаем х! =хг! — й (йгаб)(хь) еа) (й= ! 2 ... т) где Ь! > 0 достаточно мало. Если ягад )(х') чь О, то полагаем хь — — хь — йз (Егаб ) (х'), еь), (йа >0), т ! и вообще, если йтаб1(х"-!) Ф О, то ха х!", ! — й» (Егаб ) (х" '), ее) (й = 1, 2, ..., т), (йа > 0). При определенных условиях (см. (18)) получаем монотонно убывающую последовательность (!(х")).

Если х"-!-х и х — точка минимума функции ((х), то йгаб !(х")-ьО прн и-ь оо, Прим ер 6. Найгн точку минимума функции )(х) = хт. Р е ш е н и е. Воз~нем, например, точку х' = 1. Имеем Егаб)(ха) 2ха! 2! ть О Поэтому х'=х' — Ь ° 2=1 — 2й, где й>0. Далее, йгаб)(х!) =2(! — 2й) 1. 1 Если й ~ —, то дгаб) (х') ~ 0 и хг — х' — 2й (1 — 28) — (! 2й)г Продолжая этот пропесс, находим х" = (1 — 2Ь)ч.

Ясно, что если 0 < Ь < 1, то х"-ьО при и- оо, Точка х = 0 1 есть точка минимума функции !"(х) = х'. Если же й= —, то 2 ° х' = О, ягаб ) (х') = О, н мы получаем стационарную последовательность (О), предел которой есть нуль. П р им ер 7. Найти точку минимума функции )(х, у) = ха+ у'. Решение. Возьмем, например, точку (1,1), т. е, х' = 1, ре = 1. Находим йгаб((1, Ц 2г+ 2). й т1 услопныя экстремум 10 Тан как бган /(1, 1) че О, то полагаем хг — хо 2хей ! 2й (И) 0) у~ — ую 2уой 1 2/г Имеем ьйгаб/(х', у')=2(1 — 2/г)/+ 2(1 — 2Ь) / ~ 0 (Ь не — ~, 2 /' поэтому берем х'= х' — 2х' ° А = (! — 2й)т, (' 11 (й>о, й~ — 1 уз = у' — 2у' ° /г = (! — 2/г)з.

1 2/ Продолжая этот процесс, получим х" = (1 — 2Ь)и, у" = (1 — 2й)и, так что при 0 ( Ь < ! будем иметь последовательность точек й4 (х", у ), сходяшуюся к точке минимума Ы(0, 0) заданной функции. Очеввдно, что йгаб/(хи, у") =2(! — 26)" !+ 2(1 — 2й)" /-ьО при и-ь оо, Итак, точка минимума функции /(х,у) ха+уз есть точка (О, 0). Методом градиентного спуска найти точку минимума функцнв х = хи + ут — 2х + 4у + Б.

$2. Условный экстремум Пусть имеем функцию х = ((хь хи ..., х ) от и пешчени ных, определенную в некоторой области Р пространства Е . Пусть, кроме того, ва хь хз...,, х наложено еше ги дополнительных условий (т «С п): фг(хи хм ..., хи) =О, 1 фю (хи хе "., хи) = О / называемых уравнениями связи. ПУсть х' /=(хг, хто, ..., х„) — внУтРеннЯЯ точка области Р. Говорят, что ) (х!, ха, ..., х„) имеет в точке (хн хз, ..., х'„) условный максимум (соответственно условный минимум), если неравенство /(х!, хт, ..., хи) чч /(хн хз, ° ° °, х ) (2) (соответственно ) (х!, хз, ..., х„) >)(х,, ха, ..., х„)) выполняется в некоторой окрестности точки (х„ хз, ..., х„) прн 10 вкптРемум Фунхнни мнОГих пеРеменных (Гл, 1 условии что точки (хп хм..., х„) и (х!, хо,..., х„) удовле- творяют уравнениям связи (1], П р им е р 1.

Функция г = хе+ у" имеет безусловный мини- мум в точке (0,0), равный нулю. Присоединим уравнение снязн «+ у — 1 = О, т. е. будем искать минимум аппликат точек по- верхности г х'+уз лишь для тех значений х н у, которые удовлетворяют уравнению х+ у — ! = О. Условный лгинимум не может постигаться в точке (О, 0), так кек эта последняя не удо- влетворяет уравнению связи. Разрешнм уравнение связи х+ ° (- у — 1 = 0 относительно у и подставим найденное значение у = ! — х в уравнение поверхности.