М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Вариационное исчисление (Задачи и упражнения), страница 12

Показать, что если д = д(х) и д = д(х) и т)(х) — две близкие экстремали, то с точностью до величины высшего порядка малости сравнительно с расстоянием первого порядка между этими экстремалями функция т)(х) удовлетворяет уравнению Якоби: Р„„т)+ Р„„т) (Рау т)+ Р„„т| ) О. очевидно выполняются, 110) =О, а шп — их 5 Г 5|п'[=х) и' о 4 4 а у (к) = — соз и — к. Тогда получим би 5 % т1 ПОЛЕ ЗКЕТРБМАЛПЯ 2'. Достаточные условия Лежандра. Достаточным условием для включения экстремалн функционала к, У [у) = ~ т (х, у, у') дх! х, у(хо) =уо у(х,) =у, в поле экстремалей является выполнение усиленного услозая Лежандра.

Оно состоит в требовании аьполнения неравенства Уз,а, >О во всех точках рассматриваемой экстремали (т. е. при всех х щ [хо, хч)). П р им е р 13. Дан функционал 3 у[у) = [ (у'+у') дх; у(О)=1, . у(2)=б. Эхстремали — прямые у = С,х+ Сз. Искомой зкстремалыо, удо. в,четворяющей задааныы граничным условиям, является прямая у=2х+1, В данном случае с" °, = 12у' + 2 и во всех точках экс- 3 а а трсмали у = 2т+ 1 имеем с" ° ° = — 50 > О. Усиленное условнеЛезз жандра выполнено и, следовательно, экстремаль у = 2х+ 1 может быть включена в поле экстремалсй. Это видно и непосредственно.

Экстремаль у = 2х+ 1 содержится в однопараметрическом семействе зкстремалей у = 2х+ и (и — параметр), образучощих собственное поле. Г! р и и е р ПК Дан функционал ! ) (х'у'з -1- 12у') д Р -! у( — !)= — 1, у(1)=1. Р е ш е н и е. Уравнение Эйлера для этого ф! нкционзла нмеевид х'ун + 2ху' — 12у = О. Его общее рещение— у = С,хо+ С,х-'. Поставленным граничным уловиям удовлетворяет зкстремаль у = х'. экстремум оункционллов 1гл, и ВВ Ее нельзя вкл~очить в поле. Единственным однонараметрическим семейством экстремалей, содержащим ее, является семейство у = их'.

Последнее не покрывает области, содержащей точку с абсцчссой х = О (через точки осн Оу с ордннатами, отличными. от нуля, экстремалн этого семейства не проходят]. В данном случае Р'... ° = 2лт, н условие Лежандра не вынолняется цри х = О. Проверить возможность включения экстремали в поле для след]поп!ни функционалов: 142. У(д] = ] (д' — ду') иг.т] д(0) =О, д(1) =О. а 143. У (д] = ~ д" с(х; д(0) =О, д (а) =Ь ) О. о х, 144.

У(гу] = ~, н(д) )г! + д" (х)г(х; к. д(х„) =д„д(х,)=!ун п(д) ) О. а 145. У(д] = ~ (6д' — д")г(х; о д(0)=0, д(а)=Ь, а)0, Ь)0. 5 8. Достаточные условия экстремума функционала Рассматривается простейшая вариационная задача для функционала х, У[у)=] Р(х, у, у']йх, к, у(хе)=уа, у(х~)=уь 1К Достаточные условия Вейерщтрасса. Функцией Вейер штрасги Е(х, у, р, у') называется функция, определяемая равенством Е(х, у, р, у') =у (х, у, у') — Р (х, у, р) — (у' — р) Ра (х, у, р), (3) где р = р(х, у) — наклон поля экстремалей рассматриваемой варианионной задачи (1] — (2) в точке (х, у). Достаточные условия слабого экстремума.

Кривая С доставляет слабый экстремум Функционалу (1), если; й з) ДОСТЯТОЧИЫЕ УСЛОВИЯ Э!ССТРЕМУМД 89 1. Криаал С являегсл экстремалью функционала (1), удо . влегеоряющей лраничным условиям (2), т. е. лзляется решением уравнения Эйлера для функг(пинала (!), удовлетворяющим условиям (2). 2. Эьстрелгаль С лгожег быть вклгочена в лоле экгтрема.шй; в юстногги, это будет, если аьшолнеио условие Якоби 3. Фуню!ия Вейерштрагса Е(х, у, р, у') должна сохранлть знак ао осел точках (х, у), близких к эксгрел~али С, и для близких к р(х, у) значений у'. Функционал 1[у] будет иметь л!аксгы!Улг на С, если Е ( О, и минимум, если Е ~ь О.

Достаточные условия с|гл[ нога экстремума. Кривая С доставляет сильный экстремум функционалу (1), если: 1. Кривая С является экстре,налью фуякционила (1), удовлегворлющей грена шыи условиям (2). 2. Экстрел~аль С может бьгть эк,гючена в лоле экстремалей. 3. Функция Вейершграгса Е(х, у, р, у') сохраняет знак во всех гочспх (х,у), близких к экстремали С, и длл произвольных аначений у', При Е т 0 будет максимум, а при Е ) 0 — мини. л~улг. 3 а и е ч а н а е.

Условие Бсйерпгтрасса необходимо для наличия экстремума в следующем смысле — если в точках эксгремали для некоторык значений у' функция Е имеет противоположные знаки, то сильный экстремум не достигается. Если это свойство имеет место при сколь угодно близких к р значениях у', то не достигается и слабый экстремум. П р и м е р 1, Исследовать на экстремум функционал ! / [у[ = ~ (у'з + у') с!х, у (0) = О, у (!) = 2, о Р еш си и е. Уравнение Эйлера дчя данного функционала имеет вид у'у" = О, так что экстремалими являются прямыв у(х) = Сгх+ Ст. Экстремзлью, удовлетворяющей заданным граничным условиям, является прямая у = 2х.

Наклон поля в точ. ках этой экстремали р = 2. Очевидно, данная экстремаль у = 2х включается в центральное поле экстремалей у = Сх с центром а точке 0(0,0). Нетрудно также проверить, что в данном слу. чае выполнено условие Якоби. Уравнение 5!коби в данном слу. й чае имеет внд — — (бу'и') =О, где в силу уравнепия экстре. йх мали имеем у' = 2. Следовательно, уравнение Якоби примет вид и" (х) = О, откуда и(х) = С,х+ Ст, Йз условия и(0) = 0 полу. чаем С, = О.

Так как зто решение и = С,х при С~ Ф О, кроме точки х О, нигде в нуль пе обращается, то условие Якоба выполнено. Составляем функцию Вейерштрасса: Е(,, уг) лэч,г рл, (у. р) (3рт !.1) (у' — р)' (у'.+ 2р). (гл. и ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ 90 Первый множитель всегда неотрицателен при любых у', а вто. рой положителен прн значениях и', близких к 2. Следователыю, выполнены все условия существования слабого минимума. Одвако, как легко видеть, если у' ( — 4, то функция Е будет уже отрицательной, и достаточное условие скльного экстремума не выполняется, так как в условиях сильного экстремума требуется, чтобы функция Вейер~нтрасса Е сохраняла знак при любых значениях и'.

Учитывая замечание аа стр 89, заклю. чаем, что сильного экстремуча в данном случае нет. П р н м е р 2. Исследовать на экстремум фувкциопал ! У(р) = ~ (х+ 2р+ — у' ) с(х, о р(0) =О, р(» =О. Р е ш ен не. Уравнение Эй. лера для этого функционала имеет ннд у" = 2. Экстремаля. ми являются параболы д = = х'+ С~х+ Сз. Экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям, есть р = х' — х. Составляем ураввение Якоби г) — — (и') = 0 или и" = О. с)х Его общее решение и(х) =ч С~к+ Ст. Условие и(0) =О дает С,=О, а так как п(х) = С,х при С, чь 0 нигде на отрезке (О, 1) в нуль не обращается, кроме точки х = О, то условие Якоби выполняется, и значит, экстремаль р = хз — х можно включить в центральное поле зкстремалей с центром в точке 0(0,0), а именно; р = х'+ + Сх (рис.

11). Функция Вейерштрасса имеет вид Е(х, у, р, р') = ! г = — (у' — р)',Отсюда видно, что для произвольных значений р 2 1 будет Е = — (р' — р)т) О. Следовательно, ва экстремалн р 2 = х' — х данный функционал достигает сильного минимума, ко- ! торый равен з!х' — х) = —. 3' Исследовать на экстремум следующие функ- ционалы.

й з! достлточыыв вслов!!н зкствимвмл 9! 146. У[у]= ~ е [у~+ — у' ) ц!х; у(0) =1, у(!) = е. о ! 147. У[у]= ] е"у' г(х; у(О) =О, у(1) =]п4. о 148. Х[у]= ~ — г(х; у(1) = 1, у(2) =4. ! р и 149. Х [у] = ~ —;; у (0) = О, у (а) = Ь, а > О, Ь > О. о ! 150. У[у] = ] (1+ х) у" с(х) у(0) =О, у(1) = 1. о я!3 151. У[у]= ~ (уз — у")с(х; у(0) =1, у(-;~=1. о 152. Х[у]= ~ у'(1+хзу')с(х1 у( — 1)=1,у(2)=4. ! ! 153. У [у] = [ (у'з+ у") с(х) у ( — 1) = — 1, у (1) = 3.

— ! 2'. Достаточные условия Лежандра. Пусть функция Р(х, у, р') имеет непрерывную частную пронзводпуюри,„, (х, у, у') и пусть зкстремаль С вкл!анена в поле экстрема5ей. Если на зкстремали С имеем Ри,„.>0, то на крявой С до- стигается слабый манил!ум; если Ри.и,<0 на зкстремалк С, то на ней достигается слабый максимум функционала (1). Эти усло- вия назыаа!отса рсияенными условиями Лев!андри, В том случае, когда Р„.„.(х, йп у') >О в тачках (х, у), близких к зкстремали С, прн произвольных значениях и', т! имеем сильный минимум, а в случае, когда для указнных значе- вий аргументов Р„,„.(х, у, р') ~( О, имеем силы!ый максимум.

П р и м е р О. йсследовать на экстремум функционзл ! У(р] = ~ (дю — пр') и!х, у (0) = О, у (1) = — 2, о (сз — любое действительное число). 92 экстРемУм ФункЦиОнАлов (гл. и Р е ш е и и е. Так как подынтегральная функция заапснт только от у', то экстремалями являются прямые у = Сгх+ Сз. Эктремалью, удоалетаоряющеи граничным успениям, будет прямая у = — 2х, которая может быть включена а центральное поле экстремалей у = Сх. На этой экстремали наклон поля р = — 2. Далее яаходим Ек.а.